动态规划的基本思想(百度百科）

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有的解。动态规划算法与类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式

最长递增子序列问题

给定一个序列 An = a1 ,a2 ,  ... , an ，找出最长的子序列使得对所有 i < j ，ai < aj 。

转移方程：b[k]=max(max(b[j] | a[j]<a[k], j<k)+1,1); 如data[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 1, 9, 7, 1, 7 }, 则data的最长递增子序列为1 3 4 5 6 9    代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

// auxArrLen's element: the len before data[i]'s longest sequence's len
// auxArrIndex's element: the index of the maxest len in auxArrLen  
// which is smaller than auxArrlen[i]'s value 

int dp_lcs(int *data, int *retData, int len, int *maxLen)
{
	int auxArrLen[len], auxArrIndex[len];
	int i = 0, j = 0, curMaxSeqLen = 0;
	int maxIndex = 0;

	fill(&auxArrLen[0], &auxArrLen[len], 1);
	fill(&auxArrIndex[0], &auxArrIndex[len], -1);
	
	for(i=0; i<len; i++)
	{
		for(j=0; j<i; j++)
		{
			if(data[j]<data[i])
			{
				curMaxSeqLen = auxArrLen[j] + 1;
				if(curMaxSeqLen>auxArrLen[i])
				{
					auxArrLen[i] = curMaxSeqLen;
					auxArrIndex[i] = j;	
				}
			}
		}
	}

	//find the maxlen and the index in auxArrIndex	
	for(i=0; i<len; i++)
	{
		if(auxArrLen[i]>*maxLen)
		{
			*maxLen = auxArrLen[i];
			maxIndex = i;
		}
	}
 
	//asign the retData's elements
	for(i=*maxLen-1; i>=0; i--)
	{
		retData[i] = data[maxIndex];	
		maxIndex = auxArrIndex[maxIndex];
	}
}

int main(void)
{
	int data[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 1, 9, 7, 1, 7 };
	int retData[10] = { 0 };
	int maxLen = 0, i = 0;
	const int len = 14;

	dp_lcs(data, retData, len, &maxLen);
	for(i=0; i<maxLen; i++)
		cout << retData[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}