机器人正运动学与逆运动学
机器人运动学是研究机器人运动特性，而不考虑产生运动的力或力矩的几何学分支。它建立了机器人关节空间与操作空间之间的映射关系，是机器人轨迹规划、控制和仿真的基础。本节将系统阐述正运动学与逆运动学的核心概念、建模方法（重点介绍 D-H 参数法）、求解算法及其在机器人编程与控制中的关键作用。
概述：关节空间与操作空间
机器人的运动描述在两个不同的空间中：
- 关节空间：由机器人的所有关节变量（如旋转关节的角度 $\theta_i$、移动关节的位移 $d_i$）所张成的空间。一个 $n$ 自由度机器人的构型可由关节矢量 $q = [q_1, q_2, ..., q_n]^T$ 唯一确定，其中 $q_i$ 是广义关节坐标。
- 操作空间（任务空间）：描述机器人末端执行器位姿（位置和姿态）的空间。通常用六维向量表示：三维位置 $[p_x, p_y, p_z]^T$ 和三维姿态（如用欧拉角 $[\phi, \theta, \psi]^T$ 或四元数表示）。
正运动学与逆运动学正是连接这两个空间的桥梁：
- 正运动学：给定一组关节变量 $q$，计算末端执行器相对于基坐标系的位姿 $X$。这是一个确定的函数映射：
$$X = f(q)$$ - 逆运动学：给定末端执行器期望的位姿 $X_d$，求解所有可能的关节变量 $q$，使得 $f(q) = X_d$。这是一个可能存在多解、无解或求解困难的逆问题：
$$q = f^{-1}(X_d)$$
连杆与关节描述：D-H 参数法
为了系统化地建立运动学方程，Denavit 和 Hartenberg 提出了一种在机器人每个连杆上附着一个坐标系的系统方法，即D-H 参数法（标准 D-H 法）。该方法用四个参数来描述相邻连杆坐标系之间的变换关系。
对于从连杆 $i-1$ 到连杆 $i$ 的变换，定义四个 D-H 参数：
- 连杆长度 $a_{i-1}$：沿 $\hat{X}{i-1}$ 轴，从 $\hat{Z}{i-1}$ 轴移动到 $\hat{Z}_i$ 轴的距离。
- 连杆扭转角 $\alpha_{i-1}$：绕 $\hat{X}{i-1}$ 轴，从 $\hat{Z}{i-1}$ 轴旋转到 $\hat{Z}_i$ 轴的角度。
- 连杆偏距 $d_i$：沿 $\hat{Z}i$ 轴，从 $\hat{X}{i-1}$ 轴移动到 $\hat{X}_i$ 轴的距离。
- 关节角 $\theta_i$：绕 $\hat{Z}i$ 轴，从 $\hat{X}{i-1}$ 轴旋转到 $\hat{X}_i$ 轴的角度。
这四个参数完整定义了相邻连杆间的相对位姿，是构建机器人齐次变换矩阵的基础。
