【c++】AVL树（平衡搜索树）的概念讲解与模拟实现（万字详解）

Ne0inhk

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【c++】AVL树（平衡搜索树）的概念讲解与模拟实现（万字详解）
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前言

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本文由小编为大家介绍——【c++】AVL树（平衡搜索树）的概念讲解与模拟实现

一、AVL树的概念讲解

理想状态下，当数据乱序并且二叉搜索树的形态趋近于满二叉树的时候，二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)效率很高，二叉搜索树虽然可以提高查找的效率，但是当数据有序或接近有序的时候，二叉搜索树会退化成单支树，这时候进行数据查找的时间复杂度O(N)，相当于在顺序表中遍历数据进行查找，效率十分低。
  1. 基于上述情况，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年提出AVL树（这里可以看出AVL树是以人名命名的），即使用AVL树（平衡搜索树）解决上述问题
  2. AVL树是基于二叉搜索树实现的，即当向二叉搜素树中插入节点后，如果能保证二叉搜索树的左右子树的高度差的绝对值不超过1（通过对树中的节点进行旋转实现），即高度差取值 -1，0，1，那么就可以降低树的高度
  3. 从而使树的形态退而求其次的达到一种趋近于满二叉树的形态，达到一种平衡，从而减少平均搜索长度，这样被优化的二叉搜索树进行查找的时间复杂度也就会降为O(logN)，我们把这种被优化的二叉搜索树叫做AVL树
一颗AVL树要么是空树，要么是具有以下性质的二叉搜索树它的左右子树都是AVL树左右子树的高度差（平衡因子）的绝对值不超过1，即高度差取值-1，0，1AVL树的节点如果有N个，那么树的高度是logN，那么搜索的时间复杂度为O(logN)

二、AVL树的模拟实现

铺垫

  1. AVL树我们采用类模板的形式，使用key_value结构实现，同时要使用pair键值对必须要包头文件并且将命名空间展开
  2. 那么我们接下来就可以定义AVL树的节点，这个节点中的成员由于要经常被访问，于是我们使用struct定义这个模板类，那么成员变量就应该由pair键值对，左右指针，这里相对于二叉搜索树新增了平衡因子用于判断AVL树是否需要进行旋转降低树高度，并且还新增了一个父亲节点，这个父亲节点可以找到当前节点的父亲节点，这里的父亲节点用于后文小编实现的几种旋转中找到父亲节点进行链接，即这里的节点的结构是三叉链的结构
  3. 那么我们接下来实现出这个AVL树的节点的构造函数对成员变量进行初始化即可，初始状态的平衡因子值为0
  4. 接着我们进行AVL树的类模板的初始化，即需要一个根节点，但是使用AVL树的节点的类型AVLTreeNode<K, V>定义变量较为繁琐，所以我们为了简便将其typedef为Node
  5. 那么我们进行AVL树的构造函数，即进行根节点的初始化，初始化的时候让AVL树的根节点为空即可，当插入节点的时候，最开始AVL树中没有节点的时候会率先插入AVL树的根节点，这个AVL树的根节点的特点是没有父亲节点，即规定它的父亲节点为空nullptr，由于根节点我们不想让外部访问，所以我们使用访问限定符private限定它为私有成员变量
#pragmaonce#include<iostream>#include<assert.h>usingnamespace std;template<typenameK,typenameV>structAVLTreeNode{ pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}};template<typenameK,typenameV>classAVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:AVLTree():_root(nullptr){}private: Node* _root;};

平衡因子

前面小编总讲AVL树的平衡因子是用于判断是否需要进行旋转控制树的高度的，那么究竟平衡因子是什么，它如何计算，没有平衡因子可以控制高度吗？下面小编讲一 一解答
  1. 平衡因子本质是一个int类型的变量，它是用于判断是否需要进行旋转控制树的高度的，它的计算是采用当前节点的右子树的高度减去左子树的高度就为当前节点的平衡因子，在插入和删除过程中平衡因子需要频繁更新控制
  2. 没有平衡因子其实也可以判断是否需要旋转控制高度，但是如果不引入平衡因子那么就需要递归计算出左右子树的高度进行判断是否需要旋转，进而控制树的高度，这种方法较为效率较低，且会有大量重复计算的过程，所以小编这里引入平衡因子间接通过高度差判断是否需要进行旋转控制高度
  3. 同时我们知道AVL树的左右子树的高度差的绝对值不超过1，同时平衡因子指的就是高度差，即正常情况下平衡因子的取值为 -1，0，1，那么一旦平衡因子的绝对值超出这个区间[-1,1]，平衡因子为2或-2了，就说明当前节点的左右子树的高度差的绝对值大于1，此时不符合AVL树的性质了，不满足平衡，此时就需要进行旋转降低树的高度，进而控制树的高度让它达到平衡
  4. 其中为了控制树的高度进行的旋转有4种，左单旋，右单旋，右左双旋，左右双旋四种情况关于这四种情况，小编会在插入中进行讲解，这四种情况都是通过平衡因子判断出来的
  5. 下面是AVL树进行常规插入的情况下的平衡因子更新规律，即如果新插入的节点处于其父亲节点的右边，那么其父亲节点的平衡因子应该++，如果新插入的节点处于其父亲节点的左边，那么其父亲节点的平衡因子应该- -
在这里插入图片描述

插入

  1. 那么关于插入找插入节点的逻辑和小编模拟实现的二叉搜索树的key结构的非递归中的插入一样，那么关于如何操作，小编已经写好文章，点击后方蓝字链接即可跳转阅读 详情请点击<——，这里由于是三叉链的结构，所以还需要将我们标记的cur的父亲节点parent链接到cur中的父亲节点的指针_parent上
  2. 那么接下来我们完成了对节点的插入，接下来我们还需要完成一个至关重要的步骤，那就是更新控制当前插入节点的父亲的平衡因子，并且根据父亲平衡因子判断是否需要向上更新，以及是否继续向上停止更新，以及是否当前树处于不平衡的状态，是否需要进行旋转降低高度
  3. 那么关于平衡因子的更新以及如何根据平衡因子进行判断情况，小编已经细致的整理在了下方
在这里插入图片描述
boolInsert(const pair<K, V>& kv){if(_root ==nullptr){ _root =newNode(kv);returntrue;}else{ Node* parent =nullptr; Node* cur = _root;while(cur){if(kv.first > cur->_kv.first){ parent = cur; cur = cur->_right;}elseif(kv.first < cur->_kv.first){ parent = cur; cur = cur->_left;}else{returnfalse;}} cur =newNode(kv); cur->_parent = parent;//三叉链需要额外链接cur的父亲节点if(cur->_kv.first > parent->_kv.first){ parent->_right = cur;}else{ parent->_left = cur;}while(parent)//当parent == nullptr的时候，无法继续向上更新，退出即可{if(cur->_kv.first > parent->_kv.first){ parent->_bf++;}else{ parent->_bf--;}if(parent->_bf ==0)//此时父亲节点的平衡因子为0，退出即可{break;}elseif(parent->_bf ==1|| parent->_bf ==-1)//迭代cur和parent，继续{//向上更新 cur = parent; parent = parent->_parent;}elseif(parent->_bf ==2|| parent->_bf ==-2)//这里需要进行旋转{//怎么判断是什么情况的旋转if(parent->_bf ==2&& cur->_bf ==1)//以及如何旋转请看后文{RotateL(parent);}elseif(parent->_bf ==-2&& cur->_bf ==-1){RotateR(parent);}elseif(parent->_bf ==2&& cur->_bf ==-1){RotateRL(parent);}elseif(parent->_bf ==-2&& cur->_bf ==1){RotateLR(parent);}else//如果cur的平衡因子不符合为1或-1的情况，说明在插入前树已经不是AVL树了{//直接断言错误即可assert(false);}break;}else//如果parent的平衡因子不符合为0，1或-1，2或-2的情况{//说明在插入前树已经不是AVL树了，直接断言错误即可assert(false);}}}returntrue;}

四种旋转

进行旋转需要注意的问题需要保证它是搜索树变成平衡树并且降低这颗子树的高度
  1. 旋转分为左单旋，右单旋，右左双旋，左右双旋，这四种旋转我们不希望暴露给用户，所以我们将这四种旋转使用private访问限定符设置为私有成员
左单旋
  1. 左单旋的讲解以及步骤示意图如下
  2. 左单旋是parent节点的右边（右子树）高于左边（左子树），右边是一条直线，符合此时平衡因子parent == 2 && cur == 1的情况，那么此时AVL树不平衡，parent的右边高，为了降低整棵子树的高度维持平衡，此时就应该进行左单旋
在这里插入图片描述
voidRotateL(Node* parent){ Node* ppnode = parent->_parent; Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left; parent->_right = curleft;if(curleft){ curleft->_parent = parent;} cur->_left = parent; parent->_parent = cur;if(ppnode ==nullptr){ _root = cur; cur->_parent =nullptr;}else{ cur->_parent = ppnode;if(ppnode->_left == parent){ ppnode->_left = cur;}else{ ppnode->_right = cur;}} parent->_bf = cur->_bf =0;}
右单旋
  1. 右单旋的讲解以及步骤示意图如下
  2. 右单旋是parent节点的左边（左子树）高于右边（右子树），左边是一条直线，符合此时平衡因子parent == -2 && cur == -1的情况，那么此时AVL树不平衡，parent的左边高度高，为了降低整棵子树的高度维持平衡，此时就应该进行右单旋
  3. 同时右单旋的步骤和左单旋的步骤都是十分类似的，在进行右单旋的学习中可以对照左单旋进行学习
在这里插入图片描述
voidRotateR(Node* parent){ Node* ppnode = parent->_parent; Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right; parent->_left = curright;if(curright){ curright->_parent = parent;} cur->_right = parent; parent->_parent = cur;if(ppnode ==nullptr){ _root = cur; cur->_parent =nullptr;}else{if(ppnode->_left == parent){ ppnode->_left = cur; cur->_parent = ppnode;}else{ ppnode->_right = cur; cur->_parent = ppnode;}} parent->_bf = cur->_bf =0;}
右左双旋
  1. 右左双旋，顾名思义需要进行两次旋转，先以cur为旋转点进行右旋转，再以parent为旋转点进行左旋转
  2. 当平衡因子满足parent == 2 && cur == -1，parent和cur和curleft所在的节点构成曲线的时候，此时不能使用单纯的左单旋或右单旋，即不能使用一次旋转去完成降低高度控制平衡，而是要使用两次旋转去完成降低高度控制平衡，先以cur所在的节点完成右单旋，再以parent所在的节点完成左单旋，此时就可以降低树的高度控制平衡了，并且进行分类讨论更新平衡因子即可
  3. 具体讲解和操作步骤如下图
在这里插入图片描述
voidRotateRL(Node* parent){ Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);if(bf ==0)//此时对应h == 0的情况，尽管我们调用的左单旋和右单旋中已经对parent和cur{//和curleft的平衡因子进行了无脑置0，但是这里为了解耦，即降低耦合性，所以 parent->_bf =0;//我们需要手动置0，降低耦合性 cur->_bf =0; curleft->_bf =0;}elseif(bf ==-1){ parent->_bf =0; cur->_bf =1; curleft->_bf =0;}elseif(bf ==1){ parent->_bf =-1; cur->_bf =0; curleft->_bf =0;}else//如果bf出现其它情况，那么插入前该树已经不是AVL树，所以直接断言false即可{assert(false);}}
左右双旋
  1. 左右双旋是进行两次旋转，先以cur为旋转点进行左单旋，再以parent为旋转点进行右单旋
  2. 左右双旋可以参考右左双旋进行学习
  3. 进行左右双旋的平衡因子需要满足：parent == -2 && cur == 1，并且分三种情况，第一种情况h > 0，插入点在curright的左边，第二种情况h > 0，插入点在curright的右边，第三种情况h == 0，curright自己本身就是插入点，这三种不同的情况对应的平衡因子的更新情况都各不相同，可以提前保存插入节点后的curright的平衡因子bf进行判断区分这三种情况，bf == -1对应第一种情况，bf == 1对应第二种情况，bf == 0对应第三种情况
在这里插入图片描述
voidRotateLR(Node* parent){ Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if(bf ==0){ parent->_bf =0; cur->_bf =0; curright->_bf =0;}elseif(bf ==-1){ parent->_bf =1; cur->_bf =0; curright->_bf =0;}elseif(bf ==1){ parent->_bf =0; cur->_bf =-1; curright->_bf =0;}else{assert(false);}}

IsBalance

Height

  1. 那么我们知道AVLTree的最重要的特点就是左右子树的高度差的绝对值不超过1，那么这里我们递归AVL树验证每一层的节点使用高度计算函数Height计算出的右子树的高度减去左子树的高度，即我们计算出并验证每一层的左右子树的高度差的绝对值是否都不超过1，如果不超过那么对应就是AVLTree，否则不是AVLTree
  2. 同时我们还可以顺便验证我们计算出来当前节点的左右子树的高度差是否等于当前节点存储的平衡因子_bf，因为平衡因子就是左右子树的高度差，如果不相等那么打印出对应节点的key值即_kv中的成员变量first，以及将节点对应的异常的平衡因子一并打印出来，尽管节点中存储的_bf不等于我们计算出来的左右子树的高度差，此时并不代表它不是AVL树，因为有可能节点中存储的_bf不正确，有可能继续递归下去左右子树的高度差的绝对值仍然不超过1符合AVL树的性质，但是由于节点中存储的_bf已经不正确了，此时那么代表平衡因子已经不能作为判断旋转位置AVL树的依据了，所以这里我们返回false
  3. 由于递归IsBalance需要控制变量root，但是我们在外部调用这个IsBalance的时候又不能直接的访问AVLTree的根节点_root，所以我们采取子函数的形式进行递归，IsBalance()和IsBalance(Node* root)构成函数重载可以同时存在，同时这里的Height()和Height(Node* root)也是类似的道理，同时关于二叉树的高度的计算这里小编之间的文章中已经讲解过了，不熟悉如何计算高度的读者友友可以点击后方蓝字链接进行学习 详情请点击<——
intHeight(){returnHeight(_root);}intHeight(Node* root){if(root ==nullptr){return0;}int heightL =Height(root->_left);int heightR =Height(root->_right);return heightL > heightR ? heightL +1: heightR +1;}boolIsbalance(){returnIsbalance(_root);}boolIsbalance(Node* root){if(root ==nullptr){returntrue;} Node* left = root->_left; Node* right = root->_right;int heightL =Height(left);int heightR =Height(right);int bf = heightR - heightL;if(bf != root->_bf){ cout <<"平衡因子异常"<< root->_kv.first <<':'<< root->_bf << endl;returnfalse;}returnabs(bf)<=1&&Isbalance(left)&&Isbalance(right);}

三、验证我们的代码是否可以构建出AVL树

简单验证

  1. 那么此时我们实现了一个基本的AVL树，接下来我们使用第一组数据验证一下
#include<iostream>#include"AVLTree.h"usingnamespace std;intmain(){int arr[]={16,3,7,11,9,26,18,14,15};//int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; AVLTree<int,int> alv;for(auto e : arr){ alv.Insert(make_pair(e, e)); cout << e <<':'<< alv.Isbalance()<< endl;}return0;}
运行结果如下，正确
  1. 使用第二组数据验证一下
#include<iostream>#include"AVLTree.h"usingnamespace std;intmain(){//int arr[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int arr[]={4,2,6,1,3,5,15,7,16,14}; AVLTree<int,int> alv;for(auto e : arr){ alv.Insert(make_pair(e, e)); cout << e <<':'<< alv.Isbalance()<< endl;}return0;}
运行结果如下，正确

更严格更随机更大量的数据进行验证

  1. 其实仅仅靠上面小编给出的两组数据不能够验证小编所编写的AVLTree代码的正确性，还需要更严格更随机更大量的数据进行验证，这里小编先使用srand函数设置好随机数种子，然后使用rand函数随机生成一千万的随机数数据构成AVLTree进行验证正确性
#include<iostream>#include"AVLTree.h"#include<time.h>#include<vector>usingnamespace std;intmain(){srand((unsignedint)time(NULL));constint N =10000000; vector<int> v; v.reserve(N);//提前扩容，防止频繁扩容带来的消耗for(int i =0; i < N; i++){ v.push_back(rand());} AVLTree<int,int> avl;for(auto e : v){ avl.Insert(make_pair(e, e));} cout << avl.Isbalance()<< endl; cout << avl.Height()<< endl;return0;}
运行结果如下，正确

四、源代码

AVLTree.h

#pragmaonce#include<iostream>#include<assert.h>usingnamespace std;template<typenameK,typenameV>structAVLTreeNode{ pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}};template<typenameK,typenameV>classAVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:AVLTree():_root(nullptr){}boolInsert(const pair<K, V>& kv){if(_root ==nullptr){ _root =newNode(kv);returntrue;}else{ Node* parent =nullptr; Node* cur = _root;while(cur){if(kv.first > cur->_kv.first){ parent = cur; cur = cur->_right;}elseif(kv.first < cur->_kv.first){ parent = cur; cur = cur->_left;}else{returnfalse;}} cur =newNode(kv); cur->_parent = parent;if(cur->_kv.first > parent->_kv.first){ parent->_right = cur;}else{ parent->_left = cur;}while(parent){if(cur->_kv.first > parent->_kv.first){ parent->_bf++;}else{ parent->_bf--;}if(parent->_bf ==0){break;}elseif(parent->_bf ==1|| parent->_bf ==-1){ cur = parent; parent = parent->_parent;}elseif(parent->_bf ==2|| parent->_bf ==-2){if(parent->_bf ==2&& cur->_bf ==1){RotateL(parent);}elseif(parent->_bf ==-2&& cur->_bf ==-1){RotateR(parent);}elseif(parent->_bf ==2&& cur->_bf ==-1){RotateRL(parent);}elseif(parent->_bf ==-2&& cur->_bf ==1){RotateLR(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}}returntrue;}intHeight(){returnHeight(_root);}intHeight(Node* root){if(root ==nullptr){return0;}int heightL =Height(root->_left);int heightR =Height(root->_right);return heightL > heightR ? heightL +1: heightR +1;}boolIsbalance(){returnIsbalance(_root);}boolIsbalance(Node* root){if(root ==nullptr){returntrue;} Node* left = root->_left; Node* right = root->_right;int heightL =Height(left);int heightR =Height(right);int bf = heightR - heightL;if(bf != root->_bf){ cout <<"平衡因子异常"<< root->_kv.first <<':'<< root->_bf << endl;returnfalse;}returnabs(bf)<=1&&Isbalance(left)&&Isbalance(right);}private:voidRotateL(Node* parent){ Node* ppnode = parent->_parent; Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left; parent->_right = curleft;if(curleft){ curleft->_parent = parent;} cur->_left = parent; parent->_parent = cur;if(ppnode ==nullptr){ _root = cur; cur->_parent =nullptr;}else{ cur->_parent = ppnode;if(ppnode->_left == parent){ ppnode->_left = cur;}else{ ppnode->_right = cur;}} parent->_bf = cur->_bf =0;}voidRotateR(Node* parent){ Node* ppnode = parent->_parent; Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right; parent->_left = curright;if(curright){ curright->_parent = parent;} cur->_right = parent; parent->_parent = cur;if(ppnode ==nullptr){ _root = cur; cur->_parent =nullptr;}else{if(ppnode->_left == parent){ ppnode->_left = cur; cur->_parent = ppnode;}else{ ppnode->_right = cur; cur->_parent = ppnode;}} parent->_bf = cur->_bf =0;}voidRotateRL(Node* parent){ Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);if(bf ==0){ parent->_bf =0; cur->_bf =0; curleft->_bf =0;}elseif(bf ==-1){ parent->_bf =0; cur->_bf =1; curleft->_bf =0;}elseif(bf ==1){ parent->_bf =-1; cur->_bf =0; curleft->_bf =0;}else{assert(false);}}voidRotateLR(Node* parent){ Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if(bf ==0){ parent->_bf =0; cur->_bf =0; curright->_bf =0;}elseif(bf ==-1){ parent->_bf =1; cur->_bf =0; curright->_bf =0;}elseif(bf ==1){ parent->_bf =0; cur->_bf =-1; curright->_bf =0;}else{assert(false);}}private: Node* _root;};

test.cpp

#include<iostream>#include"AVLTree.h"usingnamespace std;//int main()//{// //int arr[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };//// AVLTree<int, int> alv;//// for (auto e : arr)// {// alv.Insert(make_pair(e, e));//// cout << e << ':' << alv.Isbalance() << endl;// }//// return 0;//}#include<time.h>#include<vector>intmain(){srand((unsignedint)time(NULL));constint N =10000000; vector<int> v; v.reserve(N);for(int i =0; i < N; i++){ v.push_back(rand());} AVLTree<int,int> avl;for(auto e : v){ avl.Insert(make_pair(e, e));} cout << avl.Isbalance()<< endl; cout << avl.Height()<< endl;return0;}

总结

以上就是今天的博客内容啦,希望对读者朋友们有帮助
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