【C++：AVL树】深入理解AVL树的平衡之道：从原理、旋转到完整实现代码

AVL树实现这里我们引入一个平衡因子（balancefactor）的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0 / 1 / -1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，类似于一个风向标，不用平衡因子也可以实现AVL树，但是那样会比较绕，大差不差，最终还是来控制高度。

AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，为什么不是高度差为0呢？0不是更好的平衡吗？我们用画图软件实践操作一下就会发现：不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的——比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0——也就是说，不是不想做，而是做不到！

AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可
以控制在O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升。

2 ~> AVL树要点解析

2.1 AVL树的平衡因子逻辑

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的过程

1、插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2、新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

3、更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4、更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2 更新平衡因子

2.2.2.1 更新原则

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子；

插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--；

parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

2.2.2.2 更新停止条件

1、更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前
parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会
影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

2、更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说
明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所
在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向
上更新。

3、更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1~>2或者-1~>-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个——

4、不断更新，更新到根，跟的平衡因子是1或-1也停止了。

2.2.3 示例演示

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理——

更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束——

最坏更新到根停止——

3 ~> 探讨AVL树的旋转问题

3.1 右单旋转

如下图，10为根的树，有a / b / c抽象为三棵高度为h的子树(h >= 0)，a / b / c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a / b / c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2 / 图3 / 图4 / 图5进行了详细描述。

在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h + 1，不断向上更新平衡因子，导致10的平
衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要
往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h + 2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

下面的四种情况演示只是作为参考，比较抽象，具象图画不完的，但是抽象图可以很好地代表具象图，具象图也是这个逻辑，大家作为参考就好了——

3.1.1 情况1：插入前a / b / c高度h == 0

3.1.2 情况2：插入前a / b / c高度h == 1

3.1.3 情况3：插入前a / b / c高度h == 2

3.1.4 情况4：插入前a / b / c高度h == 3

3.2 左单旋转

如下图所展示的是10为根的树，有a / b / c抽象为三棵高度为h的子树(h >= 0），a / b / c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a / b / c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。

在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h + 1，不断向上更新平衡因子，导致10的平
衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往
左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵
树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h + 2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

3.3 左右双旋

通过下面情况1和情况2的两张图，我们可以观察到：当左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h + 1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决——以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了。

这个顺序是有讲究的，不能调换，这里不能说先左单旋再右单旋，大家可以自己去画图软件上面画一画，这里一定是左单旋再右单旋，先变成纯粹的左单旋，再右单旋，才平衡。

3.3.1 情况1：插入前a / b / c高度h == 0

3.3.2 情况2：插入前a / b / c高度h == 1

上面两张图分别为左右双旋中h == 0和h == 1两种情况的具体场景的流程分析，下面我们将a / b / c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h -1的e和f子树，因为我们要以b的父亲节点5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论——

3.4 右左双旋

了解了左右双旋转的实现逻辑之后，右左双旋的流程也可以自己试着分析一下。

4 ~> AVL树的实现层

4.1 AVL树的结构

4.2 AVL树的插入

AVL树的插入，跟搜索二叉树的插入规则一样，多了一个平衡因子（右子树高度 - 左子树高度），其它都是一样的，我们可以直接复用搜索二叉树的插入即可，不过还是有区别的——

4.3 AVL树的旋转：实现

4.3.1 右单旋转

4.3.2 左单旋转

4.3.3 左右双旋

4.3.4 右左双旋

4.4 AVL树的删除

AVL树的删除我们不做过多介绍，很复杂，像前面介绍二叉搜索树的时候也是，插入并不复杂，但是删除非常麻烦，AVL树底层是一棵搜索二叉树，所以它的删除也是非常棘手的一个问题！

如果uu们感兴趣，可以去看这本书——

图书推荐：《殷人昆数据结构：用面向对象方法与C++语言描述》

艾莉丝这里简单介绍一下AVL树删除的一个大致过程：用搜索二叉树的方式进行删除——

5 ~> 完整代码示例与实践演示（测试）

AVLTree.h：

#pragma once #include<iostream> #include<vector> using namespace std; #include<assert.h> // AVL树的结构 template<class K,class V> struct AVLTreeNode { // 需要parent指针，后序更新平衡因子的时候，就可以看到 pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; int _bf; // balance factor：平衡因子 //节点的构造 AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv) :_kv(kv) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_bf(0) { } }; template<class K, class V> struct AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: // 这里AVL树的插入和搜索二叉树的插入规则是一样的，就多了一个平衡因子（右子树高度 - 左子树高度） bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); // 这里把搜索二叉树那里的key改成kv（pair的结构，包含key和value） return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { // 比kv_first大就往右边走，比kv_first小就往左边走，相等就return false if (cur->_kv.first < kv.first) // pair结果做kv时，first是key，second是value { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); // cur->_bf = 0; if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } // 构建好了三叉链结构：父亲指向孩子，孩子反过来也指向了父亲 cur->_parent = parent; // 控制平衡：对平衡要进行单独的控制 // 1、更新平衡因子 while (parent) { if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } if (parent->_bf == 0) { // parent所在的子树的高度不变，不会再影响上一层，更新结束 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { // parent所在的子树的高度不变，会再影响上一层，继续向上更新 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { // parent所在的子树已经不平衡了，需要旋转处理 if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); } else { assert(false); } break; } else { assert(false); } } return true; } // 右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* parentParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) // 根节点 { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) // 如果是子树 { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; // 如果是根节点 } subL->_parent = parentParent; } parent->_bf = subL->_bf = 0; } // 左单旋 void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; //parent->_right = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; //subRL->_right; Node* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //if (parentParent == nullptr) if (parent == _root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parent == parentParent->_left) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; } parent->_bf = subR->_bf = 0; } // 左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); // 平衡因子的条件 if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else { assert(false); } } // 右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if (bf == 0) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == 1) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) { subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { assert(false); } } // 查找 Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } int Size() { return _Size(_root); } int Height() { return _Height(_root); } bool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); // 不方便放根节点，所以套一层娃 } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: // 传根，不能直接传，外部调用内部 int _Size(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; } // 求高度 int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int lh = _Height(root->_left); int rh = _Height(root->_right); return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1; // 后序求 } // 实现要写成递归，IsBalance // 递归计算平衡因子绝对值是否<=2 bool _IsBalanceTree(Node* root) { // 空树也是AVL树 if (nullptr == root) return true; // 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差 // 求出左右子树的高度 int lh = _Height(root->_left); int rh = _Height(root->_right); // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树 if (rh - lh != root->_bf || abs(root->_bf) >= 2) { cout << root->_kv.first << ":平衡因子异常" << endl; return false; } // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); // 递归检测左子树和右子树 } int _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; };

Test.cpp：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include"AVLTree.h" void TestAVLTree1() { AVLTree<int, int> t; // 常规的测试例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; // 特殊的带有双旋场景的测试用例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; for (auto e : a) { if (e == 14) { int i = 0; } t.Insert({ e,e }); cout << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl; } //t.InOrder(); cout << t.IsBalanceTree() << endl; } // 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能 void TestAVLTree2() { const int N = 100000; vector<int> v; v.reserve(N); srand(time(0)); for (size_t i = 0; i < N; i++) { v.push_back(rand() + i); } size_t begin2 = clock(); AVLTree<int, int> t; for (auto e : v) { t.Insert(make_pair(e, e)); } size_t end2 = clock(); cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl; cout << t.IsBalanceTree() << endl; cout << "Height:" << t.Height() << endl; cout << "Size:" << t.Size() << endl; size_t begin1 = clock(); // 确定在的值 /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/ // 随机值 for (size_t i = 0; i < N; i++) { t.Find((rand() + i)); } size_t end1 = clock(); cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl; } int main() { TestAVLTree1(); //TestAVLTree2(); return 0; }

TestAVLTree1()函数测试

TestAVLTree2()函数测试

6 ~> 调试技巧

有些uu喜欢通过对比代码的方式来解决BUG，看看和别人写的哪里不一样？其实这是在走捷径！学习的意义：学知识，就是——锻炼学习能力、分析能力、解决问题能力。对比代码、问别人、求助于AI……其实后面的两种能力都没有得到锻炼，这对于我们今后的工作是没有好处的。

调试的技巧有很多种，我们平常通过简单地调试实际上只能解决一小部分问题，很多问题仅凭调试是解决不了问题的。我们可以打印、可以打印日志（这个在公司里面很常用）——

7 ~> 关于AVL树和红黑树这部分知识的学习的说明

AVL树、红黑树本质上不用特别熟悉，手撕链表什么的代表代表你的能力。

这部分知道旋转和插入怎么做的即可。

结尾

往期回顾：

【C++：map和set的使用】C++ map/multimap完全指南：从红黑树原理入门到高频算法实战

结语：都看到这里啦！那请大佬不要忘记给博主来个“一键四连”哦！

🗡博主在这里放了一只小狗，大家看完了摸摸小狗放松一下吧！🗡

૮₍ ˶ ˊ ᴥ ˋ˶₎ა

C++的两个参考文档

1 ~> 初识AVL树