C++：AVL 树原理、旋转策略与完整实现代码

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子；

插入结点，会增加高度，所以新增结点在 parent 的右子树，parent 的平衡因子++，新增结点在 parent 的左子树，parent 平衡因子--；

parent 所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

2.2.2.2 更新停止条件

1. 更新后 parent 的平衡因子等于 0，更新中 parent 的平衡因子变化为 -1->0 或者 1->0，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后 parent 所在的子树高度不变，不会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，更新结束。
2. 更新后 parent 的平衡因子等于 1 或 -1，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 0->1 或者 0->-1，说明更新前 parent 子树两边一样高，新增的插入结点后，parent 所在的子树一边高一边低，parent 所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了 1，会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
3. 更新后 parent 的平衡因子等于 2 或 -2，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 1~>2 或者 -1~>-2，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent 所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent 所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个——

4. 不断更新，更新到根，跟的平衡因子是 1 或 -1 也停止了。

2.2.3 示例演示

更新到 10 结点，平衡因子为 2，10 所在的子树已经不平衡，需要旋转处理——

更新到中间结点，3 为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束——

最坏更新到根停止——

3 探讨 AVL 树的旋转问题

3.1 右单旋转

如下图，10 为根的树，有 a / b / c 抽象为三棵高度为 h 的子树 (h >= 0)，a / b / c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里 a / b / c 是高度为 h 的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图 2 / 图 3 / 图 4 / 图 5 进行了详细描述。

在 a 子树中插入一个新结点，导致 a 子树的高度从 h 变成 h + 1，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 -1 变成 -2，10 为根的树左右高度差超过 1，违反平衡规则。10 为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为 5 < b 子树的值 < 10，将 b 变成 10 的左子树，10 变成 5 的右子树，5 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h + 2，符合旋转原则。如果插入之前 10 整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

下面的四种情况演示只是作为参考，比较抽象，具象图画不完的，但是抽象图可以很好地代表具象图，具象图也是这个逻辑，大家作为参考就好了——

3.1.1 情况 1：插入前 a / b / c 高度 h == 0

3.1.2 情况 2：插入前 a / b / c 高度 h == 1

3.1.3 情况 3：插入前 a / b / c 高度 h == 2

3.1.4 情况 4：插入前 a / b / c 高度 h == 3

3.2 左单旋转

如下图所展示的是 10 为根的树，有 a / b / c 抽象为三棵高度为 h 的子树 (h >= 0），a / b / c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里 a / b / c 是高度为 h 的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。

在 a 子树中插入一个新结点，导致 a 子树的高度从 h 变成 h + 1，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 1 变成 2，10 为根的树左右高度差超过 1，违反平衡规则。10 为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为 10 < b 子树的值 < 15，将 b 变成 10 的右子树，10 变成 15 的左子树，15 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h + 2，符合旋转原则。如果插入之前 10 整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

3.3 左右双旋

通过下面情况 1 和情况 2 的两张图，我们可以观察到：**当左边高时，如果插入位置不是在 a 子树，而是插入在 b 子树，b 子树高度从 h 变成 h + 1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。**右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在 b 子树中，10 为跟的子树不再是单纯的左边高，对于 10 是左边高，但是对于 5 是右边高，需要用两次旋转才能解决——以 5 为旋转点进行一个左单旋，以 10 为旋转点进行一个右单旋，这棵树就平衡了。

这个顺序是有讲究的，不能调换，这里不能说先左单旋再右单旋，大家可以自己去画图软件上面画一画，这里一定是左单旋再右单旋，先变成纯粹的左单旋，再右单旋，才平衡。

3.3.1 情况 1：插入前 a / b / c 高度 h == 0

3.3.2 情况 2：插入前 a / b / c 高度 h == 1

上面两张图分别为左右双旋中 h == 0 和 h == 1 两种情况的具体场景的流程分析，下面我们将 a / b / c 子树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进一步展开为 8 和左子树高度为 h -1 的 e 和 f 子树，因为我们要以 b 的父亲节点 5 为旋转点进行左单旋，左单旋需要动 b 树中的左子树。b 子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 8 的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论——

3.4 右左双旋

了解了左右双旋转的实现逻辑之后，右左双旋的流程也可以自己试着分析一下。

4 AVL 树的实现层

4.1 AVL 树的结构

4.2 AVL 树的插入

AVL 树的插入，跟搜索二叉树的插入规则一样，多了一个平衡因子（右子树高度 - 左子树高度），其它都是一样的，我们可以直接复用搜索二叉树的插入即可，不过还是有区别的——

4.3 AVL 树的旋转：实现

4.3.1 右单旋转

4.3.2 左单旋转

4.3.3 左右双旋

4.3.4 右左双旋

4.4 AVL 树的删除

AVL 树的删除我们不做过多介绍，很复杂，像前面介绍二叉搜索树的时候也是，插入并不复杂，但是删除非常麻烦，AVL 树底层是一棵搜索二叉树，所以它的删除也是非常棘手的一个问题！

如果感兴趣，可以参考相关书籍——

图书推荐：《殷人昆 数据结构：用面向对象方法与 C++ 语言描述》

简单介绍一下 AVL 树删除的一个大致过程：用搜索二叉树的方式进行删除——

5 完整代码示例与实践演示（测试）

AVLTree.h：

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#include<assert.h>

// AVL 树的结构
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode {
    // 需要 parent 指针，后序更新平衡因子的时候，就可以看到
    pair<K, V> _kv;
    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    int _bf; // balance factor：平衡因子

    //节点的构造
    AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv) :_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0) { }
};

template<class K, class V>
struct AVLTree {
    typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
    // 这里 AVL 树的插入和搜索二叉树的插入规则是一样的，就多了一个平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）
    bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(kv);
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            // 比 kv_first 大就往右边走，比 kv_first 小就往左边走，相等就 return false
            if (cur->_kv.first < kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else {
                return false;
            }
        }
        cur = new Node(kv);
        // cur->_bf = 0;
        if (parent->_kv.first < kv.first) {
            parent->_right = cur;
        } else {
            parent->_left = cur;
        }
        // 构建好了三叉链结构：父亲指向孩子，孩子反过来也指向了父亲
        cur->_parent = parent;
        // 控制平衡：对平衡要进行单独的控制
        // 1、更新平衡因子
        while (parent) {
            if (cur == parent->_left) {
                parent->_bf--;
            } else {
                parent->_bf++;
            }
            if (parent->_bf == 0) {
                // parent 所在的子树的高度不变，不会再影响上一层，更新结束
                break;
            } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
                // parent 所在的子树的高度不变，会再影响上一层，继续向上更新
                cur = parent;
                parent = parent->_parent;
            } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
                // parent 所在的子树已经不平衡了，需要旋转处理
                if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {
                    RotateR(parent);
                } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {
                    RotateL(parent);
                } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {
                    RotateLR(parent);
                } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) {
                    RotateRL(parent);
                } else {
                    assert(false);
                }
                break;
            } else {
                assert(false);
            }
        }
        return true;
    }

    // 右单旋
    void RotateR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        parent->_left = subLR;
        if (subLR) subLR->_parent = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;
        subL->_right = parent;
        parent->_parent = subL;
        if (parent == _root) // 根节点
        {
            _root = subL;
            subL->_parent = nullptr;
        } else {
            if (parentParent->_left == parent) // 如果是子树
            {
                parentParent->_left = subL;
            } else {
                parentParent->_right = subL; // 如果是根节点
            }
            subL->_parent = parentParent;
        }
        parent->_bf = subL->_bf = 0;
    }

    // 左单旋
    void RotateL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        //parent->_right = subR->_left;
        parent->_right = subRL;
        if (subRL) subRL->_parent = parent;
        //subRL->_right;
        Node* parentParent = parent->_parent;
        subR->_left = parent;
        parent->_parent = subR;
        //if (parentParent == nullptr)
        if (parent == _root) {
            _root = subR;
            subR->_parent = nullptr;
        } else {
            if (parent == parentParent->_left) {
                parentParent->_left = subR;
            } else {
                parentParent->_right = subR;
            }
            subR->_parent = parentParent;
        }
        parent->_bf = subR->_bf = 0;
    }

    // 左右双旋
    void RotateLR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        int bf = subLR->_bf;
        RotateL(parent->_left);
        RotateR(parent);
        // 平衡因子的条件
        if (bf == 0) {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = 0;
            subLR->_bf = 0;
        } else if (bf == 1) {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = -1;
            subLR->_bf = 0;
        } else if (bf == -1) {
            parent->_bf = 1;
            subL->_bf = 0;
            subLR->_bf = 0;
        } else {
            assert(false);
        }
    }

    // 右左双旋
    void RotateRL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        int bf = subRL->_bf;
        RotateR(parent->_right);
        RotateL(parent);
        if (bf == 0) {
            subR->_bf = 0;
            subRL->_bf = 0;
            parent->_bf = 0;
        } else if (bf == 1) {
            subR->_bf = 0;
            subRL->_bf = 0;
            parent->_bf = -1;
        } else if (bf == -1) {
            subR->_bf = 1;
            subRL->_bf = 0;
            parent->_bf = 0;
        } else {
            assert(false);
        }
    }

    // 查找
    Node* Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < key) {
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_kv.first > key) {
                cur = cur->_left;
            } else {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }

    int Size() { return _Size(_root); }
    int Height() { return _Height(_root); }
    bool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); }
    void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; }

private:
    // 传根，不能直接传，外部调用内部
    int _Size(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

    // 求高度
    int _Height(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        int lh = _Height(root->_left);
        int rh = _Height(root->_right);
        return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1; // 后序求
    }

    // 实现要写成递归，IsBalance
    // 递归计算平衡因子绝对值是否<=2
    bool _IsBalanceTree(Node* root) {
        // 空树也是 AVL 树
        if (nullptr == root) return true;
        // 计算 pRoot 结点的平衡因子：即 pRoot 左右子树的高度差
        // 求出左右子树的高度
        int lh = _Height(root->_left);
        int rh = _Height(root->_right);
        // 如果计算出的平衡因子与 pRoot 的平衡因子不相等，或者
        // pRoot 平衡因子的绝对值超过 1，则一定不是 AVL 树
        if (rh - lh != root->_bf || abs(root->_bf) >= 2) {
            cout << root->_kv.first << ":平衡因子异常" << endl;
            return false;
        }
        // pRoot 的左和右如果都是 AVL 树，则该树⼀定是 AVL 树
        return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); // 递归检测左子树和右子树
    }

    int _InOrder(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
        _InOrder(root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};

Test.cpp：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"AVLTree.h"

void TestAVLTree1() {
    AVLTree<int, int> t;
    // 常规的测试例
    //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
    // 特殊的带有双旋场景的测试用例
    int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
    for (auto e : a) {
        if (e == 14) {
            int i = 0;
        }
        t.Insert({ e,e });
        cout << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
    }
    //t.InOrder();
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能
void TestAVLTree2() {
    const int N = 100000;
    vector<int> v;
    v.reserve(N);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        v.push_back(rand() + i);
    }
    size_t begin2 = clock();
    AVLTree<int, int> t;
    for (auto e : v) {
        t.Insert(make_pair(e, e));
    }
    size_t end2 = clock();
    cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
    cout << "Height:" << t.Height() << endl;
    cout << "Size:" << t.Size() << endl;
    size_t begin1 = clock();
    // 确定在的值
    /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/
    // 随机值
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        t.Find((rand() + i));
    }
    size_t end1 = clock();
    cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

int main() {
    TestAVLTree1();
    //TestAVLTree2();
    return 0;
}

TestAVLTree1() 函数测试

TestAVLTree2() 函数测试

6 调试技巧

有些开发者喜欢通过对比代码的方式来解决 BUG，看看和别人写的哪里不一样？其实这是在走捷径！学习的意义：学知识，就是——锻炼学习能力、分析能力、解决问题能力。对比代码、问别人、求助于 AI……其实后面的两种能力都没有得到锻炼，这对于我们今后的工作是没有好处的。

调试的技巧有很多种，我们平常通过简单地调试实际上只能解决一小部分问题，很多问题仅凭调试是解决不了问题的。我们可以打印、可以打印日志（这个在公司里面很常用）——

7 关于 AVL 树和红黑树这部分知识的学习的说明

AVL 树、红黑树本质上不用特别熟悉，手撕链表什么的代表代表你的能力。

这部分知道旋转和插入怎么做的即可。