C++ 递归算法基础与常见示例

一、递归的概念

递归是函数直接或间接调用自身的一种编程技巧。核心思想是将大问题分解为相似的小问题。递归函数通常包含两部分：基线条件（停止递归的条件）和递归条件（继续调用自身的条件）。

如果还不太理解，什么是基线条件？

（也叫基本条件）：就是'不用递归也能直接求出的条件'或者说'递归可以直接给出答案而不需要进一步调用的最简单情况'。

二、适合新手的递归示例

1. 阶乘计算

阶乘（n!）是经典的递归案例，定义如下：

基线条件：0! = 1 1! = 1 (0 和 1 的阶乘不用求也知道是 1) 递归条件：n! = n × (n-1)!

2. 斐波那契数列

斐波那契数列（0, 1, 1, 2, 3, 5…）中每个数是前两数之和：

基线条件：fib(0) = 0, fib(1) = 1 (前两个数题目一定会给出) 递归条件：fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

3. 汉诺塔问题（较难）

汉诺塔问题概述

汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个经典的递归问题，源于一个传说。问题描述为：有三根柱子，其中一根柱子上有若干大小不一的圆盘，圆盘按大小顺序叠放，小的在上，大的在下。目标是将所有圆盘移动到另一根柱子上，且在移动过程中任何时候都不能将大的圆盘放在小的圆盘上。

递归解法思路

递归的核心思想是将问题分解为更小的子问题。对于汉诺塔问题，可以将移动 n 个圆盘的任务分解为：

1. 将 n-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱。
2. 将第 n 个圆盘（最大的圆盘）从起始柱移动到目标柱。
3. 将 n-1 个圆盘从辅助柱移动到目标柱。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void hanoi(int n, char source, char auxiliary, char target) {
    if (n == 1) {
        // 处理最底层的情况：当只剩下 1 个盘子时
        cout << "Move disk 1 from " << source << " to " << target << endl;
        ;
    }
    
    (n - , source, target, auxiliary);
    cout <<  << n <<  << source <<  << target << endl;
    
    
    (n - , auxiliary, source, target);
}

{
     num_disks = ; 
    (num_disks, , , );
     ;
}