《C++ 递归、搜索与回溯》第1题：汉诺塔问题

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前言：

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目录

前言：

递归，搜索与回溯算法前置知识

1. 汉诺塔

算法原理（递归）：

思路：

算法流程：

解法代码（C++）：

博主手记（字体还请见谅哈）：

结尾：

递归，搜索与回溯算法前置知识

1. 汉诺塔

题目链接：

面试题 08.06. 汉诺塔问题 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

题目示例：

算法原理（递归）：

思路：

这是一道递归方法的经典题目，我们可以先从最简单的情况考虑：

• 假设 n=1 ，只有一个盘子，很简单，直接把它从A中拿出来，移到C上；
• 如果 n=2呢？这时候我们就要借助 B 了，因为先盘子必须时刻都在大盘子上面，共需要3步(为了方便叙述，记A中的盘子从上到下为 1号，2号)
  • 1号盘子放到 B 上
  • 2号盘子放到 C上
  • 3号盘子放到 C 上
    至此，C中的盘子从上到下为 1号，2号。
• 如果 n>2 呢？这时我们需要用到 n=2 时的策略，将A上面的两个盘子挪到 B 上，再将最大的盘子挪到 C 上 ，最后将 B 上的小盘子挪到 C 上就完成了所有步骤。假如 n=3 时如下图：

因为 A 中最后处理的是最大的盘子，所以在移动过程中不存在大盘子在小盘子上的情况。
则本题可以解释为：

• 对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘子移动到C柱上。
• 规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的子问题：
  • a.将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到B柱上。
  • b.将 A 柱上的最大盘子移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到C柱上。
• 当问题的规模变为 n=1 时，即只有⼀个盘子时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱
• 需要注意的是，步骤 2.b 考虑的是总体问题中的 子问题b 情况。在处理子问题的子问题b 时，我们应该将 A 柱中的最上面的盘子移动到 C 柱，然后再将 B 柱上的盘子移动到 C 柱。在处理总体问题的子问题b 时，A 柱中的最大盘子仍然是最上面的盘子，因此这种做法是通用的

算法流程：

递归函数设计：void hanotaa(vector& A, vector& B, vector& C, int n)

• 返回值：无；
• 参数：三个柱子上的盘子，当前需要处理的盘子个数（当前问题规模）。
• 函数作用：将 A 中的上面 n 个盘子挪到 C 中

递归函数流程：

• 当前问题规模为 n=1 时，直接将 A 中的最上面盘子挪到 C 中并返回
• 递归将 A 中最上面的 n-1 个盘子挪到 B 中；
• 将 A 中最上面的⼀个盘子挪到 C 中；
• 将 B 中上面 n-1 个盘子挪到 C 中

解法代码（C++）：

class Solution { public: void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C,int n) { if(n==1) { C.push_back(A.back()); A.pop_back(); return; } dfs(A,C,B,n-1); C.push_back(A.back()); A.pop_back(); dfs(B,A,C,n-1); } void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) { int n=A.size(); dfs(A,B,C,n); } };

博主手记（字体还请见谅哈）：

结尾：

汉诺塔问题的递归解法，通过分解问题规模，将n个盘子的移动转化为n-1个子问题。算法核心是将A柱的n-1个盘子暂存B柱，移动最大盘子到C柱，再将B柱盘子移到C柱。并强调递归终止条件（n=1时直接移动），展示了递归思想在经典算法问题中的应用