C++ 递归经典案例：汉诺塔问题详解

C++ 递归经典案例：汉诺塔问题详解

问题描述

汉诺塔（Tower of Hanoi）是递归算法的经典入门题。规则如下：

• 有三根柱子，分别记为 A、B、C。
• A 柱上有 n 个大小不同的圆盘，从小到大叠放。
• 目标是将所有盘子从 A 移动到 C。
• 移动过程中，大盘子不能压在小盘子上面。
• 每次只能移动一个盘子。

题目链接：面试题 08.06. 汉诺塔问题 - LeetCode

解题思路

面对这个问题，直接思考如何一次性移动 n 个盘子会非常复杂。作为工程师，我们习惯将大问题拆解为小问题。这里的核心思想是分治法配合递归。

假设我们要把 n 个盘子从 A 移到 C，借助 B：

1. 第一步：先把 A 上面的 n-1 个盘子看作一个整体，借助 C 移动到 B 上。此时 A 只剩下最大的那个盘子，B 上有 n-1 个小盘子。
2. 第二步：将 A 中剩下的最大盘子直接移动到 C 上。这是合法的，因为 C 是空的或者上面只有比它大的盘子（实际上此时 C 是空的）。
3. 第三步：现在问题变成了把 B 上的 n-1 个盘子移动到 C 上，借助 A。这完全重复了第一步的逻辑，只是起始和终点变了。

当 n=1 时，不需要拆分，直接从源柱子移到目标柱子即可。这就是递归的终止条件。

关键点说明

• 辅助柱子的角色：在递归过程中，辅助柱子（B）的角色是动态变化的。第一次调用时它是中间站，第二次调用时它变成了起点。代码中通过参数传递来体现这种变化。
• 状态转移：dfs(A, C, B, n-1) 表示把 A 的 n-1 个移到 B（C 作辅助），dfs(B, A, C, n-1) 表示把 B 的 n-1 个移到 C（A 作辅助）。注意参数的顺序变化。

参考实现

下面是基于 C++ STL vector 的实现，模拟栈的操作。

#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    // 深度优先搜索，负责具体的移动逻辑
    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n) {
        // 递归终止条件：只剩一个盘子，直接移动
        if (n == 1) {
            C.push_back(A.());
            A.();
            ;
        }
        
        
        (A, C, B, n - );
        
        
        C.(A.());
        A.();
        
        
        (B, A, C, n - );
    }

    
    {
         n = A.();
        (A, B, C, n);
    }
};