C++ 递归算法实战：汉诺塔问题详解

C++ 递归算法实战：汉诺塔问题详解

题目描述

题目链接： 面试题 08.06. 汉诺塔问题 - 力扣（LeetCode）

有三根柱子 A、B、C，初始时 A 柱上有 n 个大小不同的圆盘，从小到大叠放。目标是将所有圆盘从 A 移动到 C，移动过程中需遵守以下规则：

1. 每次只能移动一个盘子；
2. 大盘子不能放在小盘子上面。

算法原理（递归）

思路

这是一道递归方法的经典题目，我们可以先从最简单的情况考虑：

• 假设 n=1，只有一个盘子，很简单，直接把它从 A 中拿出来，移到 C 上；
• 如果 n=2 呢？这时候我们要借助 B 了，因为盘子必须时刻都在大盘子上面，共需要 3 步（为了方便叙述，记 A 中的盘子从上到下为 1 号，2 号）：
  • 1 号盘子放到 B 上
  • 2 号盘子放到 C 上
  • 1 号盘子放到 C 上
• 如果 n>2 呢？这时我们需要用到 n=2 时的策略，将 A 上面的两个盘子挪到 B 上，再将最大的盘子挪到 C 上，最后将 B 上的小盘子挪到 C 上就完成了所有步骤。

因为 A 中最后处理的是最大的盘子，所以在移动过程中不存在大盘子在小盘子上的情况。 则本题可以解释为：

• 对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘子移动到 C 柱上。
• 规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的子问题：
  • a. 将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到 B 柱上。
  • b. 将 A 柱上的最大盘子移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到 C 柱上。
• 当问题的规模变为 n=1 时，即只有一个盘子时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱。

算法流程

递归函数设计：void dfs(vector& A, vector& B, vector& C, int n)

• 返回值：无；
• 参数：三个柱子上的盘子，当前需要处理的盘子个数（当前问题规模）。
• 函数作用：将 A 中的上面 n 个盘子挪到 C 中

递归函数流程：

• 当前问题规模为 n=1 时，直接将 A 中的最上面盘子挪到 C 中并返回；
• 递归将 A 中最上面的 n-1 个盘子挪到 B 中；
• 将 A 中最上面的一个盘子挪到 C 中；
• 将 B 中上面 n-1 个盘子挪到 C 中。

解法代码（C++）

class Solution {
public:
    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n) {
        if (n == 1) {
            C.push_back(A.back());
            A.();
            ;
        }
        (A, C, B, n - );
        C.(A.());
        A.();
        (B, A, C, n - );
    }
    
    {
         n = A.();
        (A, B, C, n);
    }
};