机器人动力学：牛顿欧拉法推导与详解

用于解决刚体平移的动力学刻画，沟通力与线加速度的关系。

欧拉方程：

用于解决刚体旋转的动力学刻画，沟通力矩与角速度、角加速度的关系。

欧拉方程的具体推导可参考相关机器人学教材。此处暂视为已知公式。

其中，

是刚体在{C}中的惯性张量。惯性张量矩阵求法可参考相关文献。

要得到连杆质心的力和力矩，就必须要求线加速度、角速度、角加速度了。

由于串联机械臂具有强耦合关系，相邻关节之间存在一定递推关系。当前连杆的运动状态依赖于前一个连杆的运动参数。递推法就是计算当前连杆真实运动状态的方法。

正推

首先对连杆 1 进行计算，然后利用递推式，就能得知连杆 2 的运动状态直至关节 n。

我们只关心相邻连杆的运动状态关系：

旋转运动参数

角速度

对于角速度：

这个式子很好理解，地球自转的同时也绕着太阳公转，因此真实的角速度是公转速度加自转速度。在这里，wi 指前一个关节的角速度，即绕太阳的公转速度，第二项是地球绕地轴 Zi+1 的自转速度。

角加速度

对于角加速度：

角加速度无非是对角速度求时间的微分。第一项求导很正常。第二项求导要注意，是乘积求导法则。对于速度

求导没问题，重点在于如何对

求导

为了简化计算，我们不妨设

和

互相垂直，那么根据下图，此时的

表示

离原来偏移了多少，就可以用

与

叉积表示了！

前 X

的结果就是最大的红色箭头。假设经过 dt 后

从（前）变到（后），此时

正好与叉积结果平行！

叉积就是乘以 sin，于是有：

对于 dt 求导

这就是第三项的来源！

接着，由于我们是根据 i 系的运动状态计算 i+1 系的运动参数，因此要把所有参数转入{i+1}系中：同时利用旋转矩阵（{i}系与{i+1}系的旋转矩阵）将所有参数的上下标统一：

平移运动参数

线速度

线速度不仅会由前一个连杆传递；如果前一个连杆是旋转关节，由于存在连杆长度 R，必然会产生由旋转而产生的线速度

也就是 角速度X半径：

这个

是指{i}系原点指向{i+1}系原点的向量，也就是连杆长度。

线加速度

同理，求加速度就是对速度求时间的微分。第一项求导很正常。第二项求导要注意，是乘积求导法则。

是显然的线速度就是 角速度X半径 嘛

把

替换进求导的式子，得到上式。

接着，先将各参数转入{i}参考系，再用{i}系与{i+1}系的旋转矩阵

将运动参数转入{i+1}系中。

从质心到关节的变换

上面我们刻画了质心的运动参数递推关系，但是在实际控制中，我们肯定控制的是关节，因此还需要将质心处的参数变换到关节上：

线速度

规定关节坐标系原点指向质心的向量为

，那么这显然是一个类似'平移'的操作，因此套用线速度的递推公式：

线加速度

同理求导，下式关系显然满足（旋转引起的线速度=角速度 X 半径）。

因此求导可得：

同理，将其转入{i+1}系：

以下为关键公式的简要理解：

注：书本推导严谨但复杂，以下提供简化理解。

汇总

总而言之，我们已经掌握了线速度、线角速度、角速度、角加速度的递推公式：

同时，牛顿和欧拉两位大佬也给我们提供了力和力矩的递推公式：

至此，我们就完成了正推公式的推导和理解，我们已经能借助前一个连杆的运动参数计算当前连杆的运动参数了。

知道运动参数后，我们就可以通过从第 n 连杆往回推各关节需要的力矩了。

反推

反推就是通过力、力矩和运动参数构成的方程，输入运动参数，获得各关节的力矩。

我们采用改进 DH 参数建模，在改进 DH 建模方式中，最大的区别就是第 i 连杆在第 i 关节的后面。

每一个关节都独立产生控制力矩，我们对第 i 连杆受力分析：杆 i 会受到杆 (i-1) 的作用力

，也会受到杆 (i-1) 的反作用力

。

因此列出牛二：

其中 F 是该连杆质心处的合力，

、

是作用在两侧关节的力。

统一到{i}坐标系中：

接下来，我们对连杆{i}受力分析：

假设连杆{i}存在前后两段连杆{i-1}{i+1}：我们的目的是分析连杆{i}质心处的受力情况

假设所有关节的 z 旋转轴平行，且垂直纸面向外，这意味着逆时针旋转为正向。

首先，**关节{i-1}逆时针旋转，因此会给杆{i}**一个向左上的力

。

**关节{i}也逆时针旋转，因此会给杆{i}**一个向右上的力

，自身会受到**杆{i+1}**的反作用力

。

**杆{i-1}对杆{i}**施加 fi 的力，力臂为 r1，那么根据右手法则，四指由 f 指向 r，得到力矩 N 的方向朝下（纸内）；

**杆{i}对杆{i+1}施加 f1+1 的力，力臂为 ri+1，那么杆{i+1}**同样会施加给它一个反作用力-fi+1，于是四指由 f 指向 r，得到力矩 N 的方向朝上（纸外）；

我们的目标是要计算质心处和合力矩。目前已经得到两端相邻连杆对杆{i}的作用力矩了，还要将其转换到质心处：

假设质心 Ci 向杆{i}坐标系原点的向量是

，那么质心 Ci 向杆{i+1}坐标系原点的向量就是

。

对于作用于两端的力矩就可以通过这个公式合成到质心处：得到

就是质心处的合力矩。

那么关节 i 应该施加的力可以通过移项得到

，观察公式，显然是和

相关的，因此，要计算前一个关节的力矩，就必须得知后一个关节的力矩。

此即'逆推'名称由来。

而至于为什么要引入质心，就是为了构建上面的等式，构建前后关节的力矩关系，从而递推，他就是个中间变量。

我们继续，

实际上，

并不是最终的关节力矩，而是中间计算过程中的一个变量——惯性力矩。

那它和真正的'关节力矩'是什么关系呢？

惯性力矩考虑了当前杆件和相邻杆件的惯性力矩、外力和重力的影响。

但是，我们的关节只能产生绕 z 轴旋转的力，至于重力或负载给的压力，它根本无法影响，换句话说，重力、压力、等非绕 z 轴的力无法被关节控制。

因此我们还需要提取与绕 Z 轴相关的力矩，这很简单，直接用 Z 轴的方向向量点积即可提取出这个方向上作用的力：

如图，

是一个考虑了 xyz 三个方向和合力矩，但我们只想要 z 轴方向的力矩，因此乘以了

。

至此完成正逆推过程。

静力学分析

特别地，当机械臂的速度加速度均为零时，也就是静止时，上面的式子可以得到简化：下式就刻画了静止时各关节力和力矩的计算方式，它可以分析静态下机械臂的负载能力。

这就是 MATLAB 机器人工具箱的 rne 的实现逻辑。

为什么选择牛顿欧拉法？

时间复杂度最低——仅 O(n)

相对而言，拉格朗日法接近 O(n^3)

当然 RNE 也有缺点：

• 推导过程繁琐，依赖递归顺序。
• 不易直接得到显式动力学模型。