C++算法
C++ 二叉搜索树：概念、性能分析与代码实现
C++ 二叉搜索树又称二叉排序树，满足左子树节点值小于等于根节点、右子树大于等于根节点的性质。其平均时间复杂度为 O(log N)，最坏情况下退化为 O(N)。支持插入、查找、删除操作，删除时需处理四种情况，包括左右子树均非空时的替换法。适用于 Key 搜索（如车牌识别）及 Key/Value 搜索（如词频统计、字典翻译）场景。
C++ 二叉搜索树又称二叉排序树，满足左子树节点值小于等于根节点、右子树大于等于根节点的性质。其平均时间复杂度为 O(log N)，最坏情况下退化为 O(N)。支持插入、查找、删除操作，删除时需处理四种情况，包括左右子树均非空时的替换法。适用于 Key 搜索（如车牌识别）及 Key/Value 搜索（如词频统计、字典翻译）场景。
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树 (或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树 (或者类似单支)，其高度为：N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，后续需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树 AVL 树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
插入的具体过程如下：
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode {
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key) :_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};
template<class K>
class BSTree {
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
} else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>
int main() {
vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a) {
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
return 0;
}
bool Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (key > cur->_key) {
cur = cur->_right;
} else if (key < cur->_key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
查找 3，要求查找中序的第一个 3。具体后面会讲。
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理（假设要删除的结点为 N）：
对应以上四种情况的解决方案：
下面代码的实现思路：分为 3 种情况（将上面的情况 1 归为情况 2 或者是情况 3），分为情况 2，情况 3，情况 4 来进行删除结点。
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (key > cur->_key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (key < cur->_key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
//找到了，删除结点
//情况 2
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_right;
} else {
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//情况 3
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_left;
} else {
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//情况 4
else {
// 找右子树最小节点 (最左) 替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left) {
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight) {
minRightParent->_left = minRight->_right;
} else {
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode {
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key) :_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};
template<class K>
class BSTree {
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
} else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (key > cur->_key) {
cur = cur->_right;
} else if (key < cur->_key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (key > cur->_key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (key < cur->_key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
//找到了，删除结点
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_right;
} else {
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
} else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_left;
} else {
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
} else {
// 找右子树最小节点 (最左) 替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left) {
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight) {
minRightParent->_left = minRight->_right;
} else {
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>
int main() {
vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a) {
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
//if (t.Find(300))
//{
// cout << "找到了" << endl;
//}
//else
//{
// cout << "没找到" << endl;
//}
t.Erase(8);
t.InOrder();
t.Erase(14);
t.InOrder();
t.Erase(1);
t.InOrder();
for (auto e : a) {
t.Erase(e);
t.InOrder();
}
return 0;
}
只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了。
场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。树的结构中 (结点) 除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 key 对应的 value。key/value 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改 key，修改 key 破坏搜索树性质了，可以修改 value。
场景 1：简单中英互译字典，树的结构中 (结点) 存储 key(英文) 和 vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
template<class K, class V>
struct BSTNode {
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value) :_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};
template<class K, class V>
class BSTree {
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
} else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
//删除
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_right;
} else {
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
} else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
// 父亲指向我的左
if (cur == parent->_right) {
parent->_right = cur->_left;
} else {
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
} else {
// 找右子树最小节点 (最左) 替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left) {
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight) {
minRightParent->_left = minRight->_right;
} else {
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " " << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
#include"BSTree.h"
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };
BSTree<string, int> countTree;
for (auto& e : arr) {
auto ret = countTree.Find(e);
if (ret == nullptr) {
countTree.Insert(e, 1);
} else {
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}
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