【C++二叉搜索树】树语静谧：探寻二叉搜索树的内在秩序
公主请阅
1.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值.
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值
左子树比根小，右子树比根大
主要功能是搜索、排序
那么我们怎么进行查找操作呢？
因为我们这里的是搜索二叉树，左子树比根节点小，右子树比根节点大，
我们现在想去找这个4，4比8小，那么我们就没必要去右子树进行查找了，我们直接在左子树进行查找就行了
然后4比3大，那么我们直接在右子树上面找
4比6小，直接在左子树上找，然后就找到了
那么我们在搜索二叉树中进行数据的查找的话，那么我们只需要寻找高度次就可以找到对应的数据了
有点像之前学习的二分查找，效率是logN
但是存在缺陷：
1.要求有序
2.底层结构要求是数组，头部或者中间插入删除数据效率很低
排序的话那么就是按照中序遍历的话，那么整个排序出来的数组就是升序的，所以搜索二叉树的功能之一是排序
2.二叉树搜索的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为:log2N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为:N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为:0(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，二分查找也可以实现0(log2N)级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷:1.需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2.插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。
这里也就体现出了平衡二又搜索树的价值。
下面两个都是二叉搜索树
二叉树效率不错的前提是左右节点比较均衡接近完全二叉树
3.二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下:
1.树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2.树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3.如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插(要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走)入新结点。
4.二叉搜索树的查找
1.从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2.最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3.如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
4.如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回
#pragma once #include<iostream> using namespace std; template<class k> struct BSTNode { k _key; BSTNode<k>* _left; BSTNode<k>* _right; BSTNode(const k&key) :_key(key) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) { } }; template<class k> class BSTree { typedef BSTNode<k> Node;//内部进行简化下 public: bool Insert(const k& key) { if (_root == nullptr)//说明这棵树都是空的 { _root = new Node(key); return true; } //如果根不是空的话，我们进行插入的操作 Node* parent = nullptr;//父节点默认给空 Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树 { parent = cur; cur = cur->_left; } else//如果这个值已经存在的话，我们直接返回false { return false; } } //出了循环，那么就说cur走到了空了 cur = new Node(key);//我们申请的空间给了一个局部变量，实际上并没有进行插入操作了 if (parent->_key<key)//如果插入的值比父节点大的话 { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } void InOrder()//我们在私有中进行实现，然后在公有中进行包装一下，我们在外面调用直接进行这个函数的调用就行了 { _InOrder(_root); } bool Find(const k& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)//如果当前节点的值小于我们要找的值的话，那么我们取右子树找 { cur = cur->_right; } else if(cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return true; } } //出了循环的话还没有找到的话 return false; } private: void _InOrder(Node* root)//中序遍历 { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } Node* _root = nullptr; }; 
如果要求我们进行3的查找的话，并且这个3存在2两个，那么我们查找中序的第一个三就行了
5.二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理:(假设要删除的结点为N)
1.要删除结点N左右孩子均为空
2.要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3.要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4.要删除的结点N左右孩子结点均不为空对应以上四种情况的解决方案:
1.把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点(情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的)
2.把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3.把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4.无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
当前节点是要删除的，如果当前节点的左是空的，并且当前节点是父亲节点的右节点的话，我们直接让我们的父亲节点指向我们的要删除节点的右节点
if (cur->_left == nullptr)//cur的左为空 { //左子树为空的话，要删除当前节点 //那么我们让父亲指向右节点 if (cur == parent->_right) { parent->_right = cur->_right; } } 
现在我们要删除3这个节点的话
我们需要找到右子树中的最小节点
那么我们就在右子树中的左边进行最小节点的寻找操作
我们这里从6开始进行寻找，直到我们的左节点为空的话，我们就停下来
那么我们在6这里停下来，然后4就是3这个树中的最小的节点了
Node* minRight = cur->_right; while (minRight->_left) { minRight = minRight->_left; } 
但是我们这里删除的3是没有问题的，那么我们删除8呢？
删除8的话用程序代码就会报错了
我们要删除的8没有父节点了
因为我们这里的8的左节点是空，所以我们就没进行这个循环操作了
然后直接将10和8这两个节点的值进行交换了
交换完成之后我们对minRightParent进行操作，但是我们从一开始就是没有这个minRightParent节点的，所以这里是个坑
我们需要在一开始就对minRightParent进行初始化操作，不然的话因为我们跳过了循环，没有进行循环中的初始化操作，下面的代码就会崩
Node* minRightParent = cur;
初始化完成之后我们进行一个判断，乳沟我们的parent的左节点是最小的节点的话，我们就让我们的parent的左节节点变成最小节点的右节点，否则的话就是parent的右节点变成最小节点的右节点
else//左右都不为空 { //找右子树最小节点(最左边的)来替代我的位置 Node* minRightParent = cur; Node* minRight = cur->_right; while (minRight->_left) { minRightParent = minRight; //然后进行minRight的移动 minRight = minRight->_left; } //先将当前要删除的节点和右子树中最小的节点中的值进行交换 //然后将最小节点的那个节点进行删除了 cur->_key = minRight->_key; //这个最小节点的左边是空的 if (minRightParent->_left == minRight) { minRightParent->_left = minRight->_right; } else { minRightParent->_right = minRight->_right; } delete minRight; } 
那么考虑到父亲是否存在的这个问题了，我们之前的前两种情况我们需要重新进行判断了
我们现在需要删除8这个节点，
因为我们的8是第一个节点，所以是没有父亲节点的，我们进行下面的while循环就直接找到了我们的8这个节点，我们并没有进行循环中前面的两个条件判断，所以我们没有对parent进行更新操作
我们直接进入到else中，但是因为我们parent没有更新，所以后面的和parent相关的代码就会报错了
那么我们这里直接将root进行更新操作就行了，然后10就成为新的root了
完整的删除代码
bool Erase(const k& key) { Node* parent = nullptr;//父节点默认给空 Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树 { parent = cur; cur = cur->_left; } else//找到了这个值，我们进行删除的操作 { //因为左边是空的，并且我们要删除当前节点，所以我们直接让父亲指向我们的右边 if (cur->_left == nullptr)//cur的左为空，右边不是空的 { //if (parent == nullptr) if (cur==_root) { //如果父亲节点是空的话 //因为我们要删除的节点是我们的根节点， // 那么我们的parent就不会进行更新了 //所以我们要单独进行考虑这种情况 _root = cur->_right; } else { //左子树为空的话，要删除当前节点 //那么我们让父亲指向右节点 if (cur == parent->_right) { parent->_right = cur->_right; } else//当前节点是父亲节点的左节点的话 { parent->_left = cur->_right; } } delete cur;//将当前节点释放了 } else if (cur->_right == nullptr)//cur的右为空 { if (cur == _root)//和上面一样，删除的节点是根节点 { _root = cur->_left; } else { //右子树为空的话，要删除当前节点 //那么我们让父亲指向左节点 if (cur == parent->_right) { parent->_right = cur->_left; } else//当前节点是父亲节点的左节点的话 { parent->_left = cur->_left; } } delete cur;//将当前节点释放了 } else//左右都不为空 { //找右子树最小节点(最左边的)来替代我的位置 Node* minRightParent = cur; Node* minRight = cur->_right; while (minRight->_left) { minRightParent = minRight; //然后进行minRight的移动 minRight = minRight->_left; } //先将当前要删除的节点和右子树中最小的节点中的值进行交换 //然后将最小节点的那个节点进行删除了 cur->_key = minRight->_key; //这个最小节点的左边是空的 if (minRightParent->_left == minRight) { minRightParent->_left = minRight->_right; } else { minRightParent->_right = minRight->_right; } delete minRight; } return true; } } return false; } 6.二叉搜索树的场景
key的搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1:小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2:检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
7.2 key/value搜索场景:
每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查
找到key对应的value。key/alue的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1:简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2:商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3:统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，(单词，1)，单词存在，则++单词对应的次数。
可以进行次数的统计操作的
7.二叉搜索树的模式实现代码
#pragma once #include<iostream> using namespace std; namespace key { template<class k> struct BSTNode { k _key; BSTNode<k>* _left; BSTNode<k>* _right; BSTNode(const k&key) :_key(key) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) { } }; template<class k> class BSTree { typedef BSTNode<k> Node;//内部进行简化下 public: bool Insert(const k& key) { if (_root == nullptr)//说明这棵树都是空的 { _root = new Node(key); return true; } //如果根不是空的话，我们进行插入的操作 Node* parent = nullptr;//父节点默认给空 Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树 { parent = cur; cur = cur->_left; } else//如果这个值已经存在的话，我们直接返回false { return false; } } //出了循环，那么就说cur走到了空了 cur = new Node(key);//我们申请的空间给了一个局部变量，实际上并没有进行插入操作了 if (parent->_key<key)//如果插入的值比父节点大的话 { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } bool Find(const k& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)//如果当前节点的值小于我们要找的值的话，那么我们取右子树找 { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return true; } } //出了循环的话还没有找到的话 return false; } bool Erase(const k& key) { Node* parent = nullptr;//父节点默认给空 Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树 { parent = cur; cur = cur->_left; } else//找到了这个值，我们进行删除的操作 { //因为左边是空的，并且我们要删除当前节点，所以我们直接让父亲指向我们的右边 if (cur->_left == nullptr)//cur的左为空，右边不是空的 { //if (parent == nullptr) if (cur==_root) { //如果父亲节点是空的话 //因为我们要删除的节点是我们的根节点， // 那么我们的parent就不会进行更新了 //所以我们要单独进行考虑这种情况 _root = cur->_right; } else { //左子树为空的话，要删除当前节点 //那么我们让父亲指向右节点 if (cur == parent->_right) { parent->_right = cur->_right; } else//当前节点是父亲节点的左节点的话 { parent->_left = cur->_right; } } delete cur;//将当前节点释放了 } else if (cur->_right == nullptr)//cur的右为空 { if (cur == _root)//和上面一样，删除的节点是根节点 { _root = cur->_left; } else { //右子树为空的话，要删除当前节点 //那么我们让父亲指向左节点 if (cur == parent->_right) { parent->_right = cur->_left; } else//当前节点是父亲节点的左节点的话 { parent->_left = cur->_left; } } delete cur;//将当前节点释放了 } else//左右都不为空 { //找右子树最小节点(最左边的)来替代我的位置 Node* minRightParent = cur; Node* minRight = cur->_right; while (minRight->_left) { minRightParent = minRight; //然后进行minRight的移动 minRight = minRight->_left; } //先将当前要删除的节点和右子树中最小的节点中的值进行交换 //然后将最小节点的那个节点进行删除了 cur->_key = minRight->_key; //这个最小节点的左边是空的 if (minRightParent->_left == minRight) { minRightParent->_left = minRight->_right; } else { minRightParent->_right = minRight->_right; } delete minRight; } return true; } } return false; } void InOrder()//我们在私有中进行实现，然后在公有中进行包装一下，我们在外面调用直接进行这个函数的调用就行了 { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root)//中序遍历 { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } Node* _root = nullptr; }; } namespace key_value { template<class K, class V> struct BSTNode { // pair<K, V> _kv; K _key; V _value; BSTNode<K, V>* _left; BSTNode<K, V>* _right; BSTNode(const K& key, const V& value) :_key(key) , _value(value) , _left(nullptr) , _right(nullptr) {} }; template<class K, class V> class BSTree { typedef BSTNode<K, V> Node; public: BSTree() = default; bool Insert(const K& key, const V& value) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key, value); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key, value); if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { if (cur->_left == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_right; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; return true; } else if (cur->_right == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_left; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; return true; } else { Node* rightMinP = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinP = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } cur->_key = rightMin->_key; if (rightMinP->_left == rightMin) rightMinP->_left = rightMin->_right; else rightMinP->_right = rightMin->_right; delete rightMin; return true; } } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << ":" << root->_value << endl; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; } 
