背景
在计算数学、数值积分理论、有限元方法（FEM）、谱方法以及计算机辅助证明等领域中，一个非常基础但又极其重要的问题是：
如何在三维单位球内部，对任意单项式进行积分，并得到'精确值'（解析结果）？
所谓'三维单位球'，通常指的是：
B = { (x, y, z) ∈ R³ | x² + y² + z² ≤ 1 }
而'单项式'则是形如：
x^a y^b z^c
其中 a, b, c 为非负整数。
在实际工程和科研中，这类积分广泛用于：
- 数值积分算法（如 Monte Carlo、Gaussian Quadrature）的误差验证
- 高阶有限元基函数在球域内的解析积分
- 物理学中动量矩、惯性矩的理论计算
- 数学软件与符号计算系统的正确性校验
如果能够直接返回解析精确值，不仅可以避免数值误差，还能作为其他算法的'金标准（ground truth）'。
因此，本项目的目标是：
使用 C++，在不依赖任何符号计算库的前提下，精确计算三维单位球内部任意单项式积分的解析值。
需求
本项目的需求可以明确拆分如下。
1. 输入参数
- 单项式指数：
a, b, c（非负整数）
对应被积函数：
f(x, y, z) = x^a y^b z^c
2. 积分区域
- 三维单位球：
x² + y² + z² ≤ 1
3. 输出要求
- 返回积分的精确解析值（使用
double表示） - 若积分值理论上为 0，应精确返回 0
4. 约束条件
- 不进行数值积分或随机采样
- 不使用符号计算库（如 SymPy、Maple）
- 仅基于数学解析公式与 C++ 实现
数学原理
要解决该问题，需要用到以下几个关键数学事实。
1. 奇偶性与对称性
三维单位球关于 x、y、z 三个坐标轴完全对称。
