C++ AVL 树原理与实现详解

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。插入结点，会增加高度，所以新增结点在 parent 的右子树，parent 的平衡因子++，新增结点在 parent 的左子树，parent 平衡因子-- parent 所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件

• 更新后 parent 的平衡因子等于 0，更新中 parent 的平衡因子变化为 -1->0 或者 1->0，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后 parent 所在的子树高度不变，不会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，更新结束。
• 更新后 parent 的平衡因子等于 1 或 -1，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 0->1 或者 0->-1，说明更新前 parent 子树两边一样高，新增的插入结点后，parent 所在的子树一边高一边低，parent 所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了 1，会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
• 更新后 parent 的平衡因子等于 2 或 -2，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 1->2 或者 -1->-2，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent 所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent 所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理。

旋转的目标

1. 把 parent 子树旋转平衡。
2. 降低 parent 子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

图例展示

更新到 10 结点，发现平衡因子变为 2，破坏了 10 子树结构，需要进行旋转。

更新到中间结点，3 为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束

最坏的情况一直更新到根结点

2.2.3 结点插入和平衡因子的更新

当一个新节点插入AVL树时，首先按照二叉查找树的方式插入节点。然后，通过遍历树的路径来检查是否有节点失衡，如果有，进行相应的旋转操作。

先找到插入结点的位置，在进行插入，然后检查更新平衡因子，这里我们在前面定义的_parent 的作用就逐渐体现出来了。

bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_kv.first < kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else
            return false;
    }
    cur = new Node(kv);
    if (kv.first < parent->_kv.first) {
        parent->_left = cur;
    } else
        parent->_right = cur;
    //链接父亲，方便后续更新平衡因子
    cur->_parent = parent;
    //控制平衡，平衡因子更新
    while (parent) {
        if (cur == parent->_left)
            parent->_BF--;
        else
            parent->_BF++;
        if (parent->_BF == 0)
            break;
        else if (parent->_BF == 1 || parent->_BF == -1) {
            cur = parent;
            parent = parent->_parent;
        }
        else if (parent->_BF == 2 || parent->_BF == -2) {
            //旋转处理
            break;
        }
        else
            return false;
    }
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则，让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点给的是具体值，方便观察。

2.3.2 右单旋

图例文字描述

图展示的是 10 为根的树，有 a/b/c 抽象为三棵高度为 h 的子树 (h>=0)，a/b/c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里 a/b/c 是高度为 h 的子树，是一种概括抽象表示，代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。

在 a 子树中插入一个新结点，导致 a 子树的高度从 h 变成 h+1，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 -1 变成 -2，10 为根的树左右高度差超过 1，违反平衡规则。10 为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。旋转核心步骤，因为 5 < b 子树的值 < 10，将 b 变成 10 的左子树，10 变成 5 的右子树，5 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h+2，符合旋转原则。如果插入之前 10 是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

右单旋的详细描述

右单旋代码

void RotateR(Node* parent) {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    // 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲
    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
        subLR->_parent = parent;
    Node* parentParent = parent->_parent;
    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;
    // parent 有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
    // 如果是整棵树的根，要修改_root
    // 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
    if (parentParent == nullptr) {
        _root = subL;
        subL->_parent = nullptr;
    }
    else {
        if (parent == parentParent->_left) {
            parentParent->_left = subL;
        }
        else {
            parentParent->_right = subL;
        }
        subL->_parent = parentParent;
    }
    parent->_BF = subL->_BF = 0;
}

2.3.3 左单旋

图例文字描述

展示的是 10 为根的树，有 a/b/c 抽象为三棵高度为 h 的子树 (h>=0)，a/b/c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里 a/b/c 是高度为 h 的子树，是一种概括抽象表示，代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类似。

在 a 子树中插入一个新结点，导致 a 子树的⾼度从 h 变成 h+1，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 1 变成 2，10 为根的树左右高度差超过 1，违反平衡规则。10 为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。旋转核心步骤，因为 10 < b 子树的值 < 15，将 b 变成 10 的右子树，10 变成 15 的左子树，15 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h+2，符合旋转原则。如果插入之前 10 整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

左单旋代码

void RotateL(Node* parent) {
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    parent->_right = subRL;
    if (subRL)
        subRL->_parent = parent;
    subR->_left = parent;
    Node* parent_Parent = parent->_parent;
    parent->_parent = subR;
    if (parent_Parent == nullptr) {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }
    else {
        if (parent == parent_Parent->_left)
            parent_Parent->_left = subR;
        else
            parent_Parent->_right = subR;
        subR->_parent = parent_Parent;
    }
    parent->_BF = subR->_BF = 0;
}

2.3.4 左右双旋

图形文字描述

通过下面的图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在 a 子树，而是插入在 b 子树，b 子树高度从 h 变 成 h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在 b 子树中，10 为跟的子树不再是单纯的左边高，对于 10 是左边高，但是对于 5 是右边高，需要用两次旋转才能解决，以 5 为旋转点进行一个左单旋，以 10 为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

只进行了右旋的错误示范图

下面我们将 a/b/c 子树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进⼀步展开为 8 和左子树高度为 h-1 的 e 和 f 子树，因为我们要对 b 的父亲 5 为旋转点进行左单旋，左单旋需要动 b 树中的左子树。b 子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 8 的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

场景 1：h >= 1 时，新增结点插入在 e 子树，e 子树高度从 h-1 并为 h 并不断更新 8->5->10 平衡因子， 引发旋转，其中 8 的平衡因子为 -1，旋转后 8 和 5 平衡因子为 0，10 平衡因子为 1。

场景 2：h >= 1 时，新增结点插入在 f 子树，f 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 8->5->10 平衡因子，引发旋转，其中 8 的平衡因子为 1，旋转后 8 和 10 平衡因子为 0，5 平衡因子为 -1。

场景 3：h == 0 时，a/b/c 都是空树，b 自己就是一个新增结点，不断更新 5->10 平衡因子，引发旋转，其中 8 的平衡因子为 0，旋转后 8 和 10 和 5 平衡因子均为 0。

代码书写

void RotateLR(Node* parent) {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_BF;
    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);
    if (bf == 0) {
        subLR->_BF = 0;
        parent->_BF = 0;
        subL->_BF = 0;
    }
    else if (bf == 1) {
        subLR->_BF = 0;
        parent->_BF = 0;
        subL->_BF = -1;
    }
    else if (bf == -1) {
        subLR->_BF = 0;
        parent->_BF = 1;
        subL->_BF = 0;
    }
    else {
        assert(false);
    }
}

重点是平衡因子的更新

2.3.5 右左双旋

跟左右双旋类似，下面将 a/b/c 子树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进一步展开为 12 和左子树高度为 h-1 的 e 和 f 子树，因为我们要对 b 的父亲 15 为旋转点进行右单旋，右单旋需要动 b 树中的右子树。b 子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 12 的平衡因子不同，这里同样要分三个场景讨论。

场景 1：h >= 1 时，新增结点插入在 e 子树，e 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 12->15->10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 -1，旋转后 10 和 12 平衡因子为 0，15 平衡因子为 1。

场景 2：h >= 1 时，新增结点插入在 f 子树，f 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 12->15->10 平衡因子， 引发旋转，其中 12 的平衡因子为 1，旋转后 15 和 12 平衡因子为 0，10 平衡因子为 -1。

场景 3：h == 0 时，a/b/c 都是空树，b 自己就是一个新增结点，不断更新 15->10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 0，旋转后 10 和 12 和 15 平衡因子均为 0。

代码展示

void RotateRL(Node* parent) {
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_BF;
    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);
    if (bf == 0) {
        subR->_BF = 0;
        subRL->_BF = 0;
        parent->_BF = 0;
    }
    else if (bf == 1) {
        subR->_BF = 0;
        subRL->_BF = 0;
        parent->_BF = -1;
    }
    else if (bf == -1) {
        subR->_BF = 1;
        subRL->_BF = 0;
        parent->_BF = 0;
    }
    else {
        assert(false);
    }
}

2.4 AVL树的查找

仿照二叉搜索树的逻辑进行查找，效率 O(log n)

Node* Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_kv.first > key)
            cur = cur->_left;
        else if (cur->_kv.first < key)
            cur = cur->_right;
        else
            return cur;
    }
    return nullptr;
}

2.5 AVL树平衡检测（了解）

实现的 AVL 树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

bool _IsBalanceTree(Node* root) {
    // 空树也是 AVL 树
    if (nullptr == root)
        return true;
    // 计算 pRoot 结点的平衡因子：即 pRoot 左右子树的高度差
    int leftHeight = _Height(root->_left);
    int rightHeight = _Height(root->_right);
    int diff = rightHeight - leftHeight;
    // 如果计算出的平衡因子与 pRoot 的平衡因子不相等，或者
    // pRoot 平衡因子的绝对值超过 1，则一定不是 AVL 树
    if (abs(diff) >= 2) {
        cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
        return false;
    }
    if (root->_BF != diff) {
        cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
        return false;
    }
    // pRoot 的左和右如果都是 AVL 树，则该树一定是 AVL 树
    return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

我们仿照前面二叉树的学习将高度和大小，中序遍历求解也写下

void _InOrder(Node* root) {
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    _InOrder(root->_right);
}

int _Height(Node* root) {
    if (root == nullptr) {
        return 0;
    }
    int Left_height = _Height(root->_left);
    int Right_height = _Height(root->_right);
    return Left_height > Right_height ? Left_height + 1 : Right_height + 1;
}

int _Size(Node* root) {
    if (root == nullptr)
        return 0;
    return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

我们同样按照二叉搜索树一样是将这些函数封装在 private 中，在 public 中在定义函数调用这些函数，不然在外面传根节点有点麻烦。

3. 完整代码（附测试代码函数）

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <vector>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode {
    pair<K, V> _kv;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    int _BF;
    AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) : _kv(kv), _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _BF(0){}
};

template<class K,class V>
class AVLTree {
    using Node = AVLTreeNode<K, V>;
public:
    //AVL树的构建和操作
    bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(kv);
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_kv.first > kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
                return false;
        }
        cur = new Node(kv);
        if (kv.first < parent->_kv.first) {
            parent->_left = cur;
        }
        else
            parent->_right = cur;
        //链接父亲，方便后续更新平衡因子
        cur->_parent = parent;
        //控制平衡，平衡因子更新
        while (parent) {
            if (cur == parent->_left)
                parent->_BF--;
            else
                parent->_BF++;
            if (parent->_BF == 0)
                break;
            else if (parent->_BF == 1 || parent->_BF == -1) {
                cur = parent;
                parent = parent->_parent;
            }
            else if (parent->_BF == 2 || parent->_BF == -2) {
                if (parent->_BF == 2 && cur->_BF == 1)
                    RotateL(parent);
                else if (parent->_BF == -2 && cur->_BF == -1)
                    RotateR(parent);
                else if (parent->_BF == 2 && cur->_BF == -1)
                    RotateRL(parent);
                else if (parent->_BF == -2 && cur->_BF == 1)
                    RotateLR(parent);
                else
                    assert(false);
                break;
            }
            else
                return false;
        }
        return true;
    }

    void RotateR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        parent->_left = subLR;
        if (subLR)
            subLR->_parent = parent;
        Node* parent_Parent = parent->_parent;
        subL->_right = parent;
        parent->_parent = subL;
        //parent 可能是整棵树的根，也可能是局部根
        //局部根要向上链接，更新祖父的结点信息
        if (parent_Parent == nullptr) {
            _root = subL;
            subL->_parent = nullptr;
        }
        else {
            if (parent_Parent->_left == parent)
                parent_Parent->_left = subL;
            else
                parent_Parent->_right = subL;
            subL->_parent = parent_Parent;
        }
        parent->_BF = subL->_BF = 0;
    }

    void RotateL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        parent->_right = subRL;
        if (subRL)
            subRL->_parent = parent;
        subR->_left = parent;
        Node* parent_Parent = parent->_parent;
        parent->_parent = subR;
        // 更新 parent_Parent 的子节点指针
        if (parent_Parent == nullptr) {
            _root = subR;
            subR->_parent = nullptr;
        }
        else {
            if (parent == parent_Parent->_left)
                parent_Parent->_left = subR;
            else
                parent_Parent->_right = subR;
            subR->_parent = parent_Parent;
        }
        parent->_BF = subR->_BF = 0;
    }

    void RotateLR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        int bf = subLR->_BF;
        RotateL(parent->_left);
        RotateR(parent);
        if (bf == 0) {
            subLR->_BF = 0;
            parent->_BF = 0;
            subL->_BF = 0;
        }
        else if (bf == 1) {
            subLR->_BF = 0;
            parent->_BF = 0;
            subL->_BF = -1;
        }
        else if (bf == -1) {
            subLR->_BF = 0;
            parent->_BF = 1;
            subL->_BF = 0;
        }
        else {
            assert(false);
        }
    }

    void RotateRL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        int bf = subRL->_BF;
        RotateR(parent->_right);
        RotateL(parent);
        if (bf == 0) {
            subR->_BF = 0;
            subRL->_BF = 0;
            parent->_BF = 0;
        }
        else if (bf == 1) {
            subR->_BF = 0;
            subRL->_BF = 0;
            parent->_BF = -1;
        }
        else if (bf == -1) {
            subR->_BF = 1;
            subRL->_BF = 0;
            parent->_BF = 0;
        }
        else {
            assert(false);
        }
    }

    Node* Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first > key)
                cur = cur->_left;
            else if (cur->_kv.first < key)
                cur = cur->_right;
            else
                return cur;
        }
        return nullptr;
    }

    void InOrder() {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    int Height() {
        return _Height(_root);
    }

    int Size() {
        return _Size(_root);
    }

    bool IsBalanceTree() {
        return _IsBalanceTree(_root);
    }

private:
    void _InOrder(Node* root) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
        _InOrder(root->_right);
    }

    int _Height(Node* root) {
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }
        int Left_height = _Height(root->_left);
        int Right_height = _Height(root->_right);
        return Left_height > Right_height ? Left_height + 1 : Right_height + 1;
    }

    int _Size(Node* root) {
        if (root == nullptr)
            return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

    bool _IsBalanceTree(Node* root) {
        // 空树也是 AVL 树
        if (nullptr == root)
            return true;
        // 计算 pRoot 结点的平衡因子：即 pRoot 左右子树的高度差
        int leftHeight = _Height(root->_left);
        int rightHeight = _Height(root->_right);
        int diff = rightHeight - leftHeight;
        // 如果计算出的平衡因子与 pRoot 的平衡因子不相等，或者
        // pRoot 平衡因子的绝对值超过 1，则一定不是 AVL 树
        if (abs(diff) >= 2) {
            cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
            return false;
        }
        if (root->_BF != diff) {
            cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
            return false;
        }
        // pRoot 的左和右如果都是 AVL 树，则该树一定是 AVL 树
        return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1() {
    AVLTree<int, int> t;
    // 常规的测试用例
    int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
    // 特殊的带有双旋场景的测试用例
    //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
    for (auto e : a) {
        t.Insert({ e, e });
    }
    t.InOrder();
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}

void test2() {
    AVLTree<int, int> tree;
    const int N = 100000;
    vector<int> v;
    v.reserve(N);
    srand(time(0));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        v.push_back(rand() + i);
    }
    for (auto e : v) {
        tree.Insert({ e, e });
    }
    size_t end2 = clock();
    cout << tree.IsBalanceTree() << endl;
    cout << "Height:" << tree.Height() << endl;
    cout << "Size:" << tree.Size() << endl;
    size_t begin1 = clock();
    // 确定在的值
    for (auto e : v) {
        tree.Find(e);
    }
    // 随机值
    /*for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        t.Find((rand() + i));
    }*/
}

int main() {
    //test2();
    TestAVLTree1();
    return 0;
}