FOC 电机控制深度解析：有感与无感原理及无人机应用

• 定子磁场是旋转的：三相电流 i_U、i_V、i_W 随时间变化，合成磁场以同步转速旋转；
• 转子磁场是跟随转子转动的：永磁体固定在转子上，其磁场方向与转子机械角度严格对应。

两个磁场的夹角（称为'转矩角 θ'）决定了电磁转矩的大小。根据电磁力公式，转矩 T_e 与 sinθ成正比 —— 这就是为什么 FOC 需要精确控制 θ：只有让 θ稳定在合适角度，才能输出稳定且高效的转矩。

1.3 从磁场到转矩：关键公式推导

电磁转矩是电机旋转的动力，其计算公式可由洛伦兹力推导得出。对 PMSM，忽略铁芯饱和时，转矩公式为：

关键结论：

• 表面式 PMSM（L_d = L_q）：转矩仅由 i_q 决定（T_e = (3/2) pψ_f i_q），此时控制 i_q 即可控制转矩；
• 内嵌式 PMSM（L_d < L_q）：可通过注入负 i_d（弱磁）利用磁阻转矩，提高转矩输出。

这正是 FOC 的核心思想：通过坐标变换，将三相电流分解为 i_d 和 i_q，分别控制磁链和转矩，实现解耦控制。

二、FOC 基本原理：把交流电机'变成'直流电机

FOC 的本质是'坐标变换'—— 通过数学方法将三相旋转坐标系下的电流，转换到与转子同步旋转的 d-q 坐标系，从而实现像直流电机一样的'励磁'（i_d）和'电枢'（i_q）分离控制。

2.1 坐标变换：从三相到两相的'降维打击'

三相电机的电流 i_U、i_V、i_W 是随时间变化的正弦量，直接控制难度大。FOC 通过两步变换将其简化：

第一步：Clark 变换（三相→两相静止）

将三相电流（i_U、i_V、i_W）转换到 α-β两相静止坐标系（垂直正交的两个轴），公式如下：

物理意义：用两个垂直的电流分量（i_α、i_β）等效替代三相电流产生的磁场，简化计算（三相电流满足 i_U + i_V + i_W = 0，实际可只测两相）。

第二步：Park 变换（两相静止→两相旋转）

将 α-β坐标系的电流（i_α、i_β）转换到 d-q 旋转坐标系（d 轴与转子磁场同向，q 轴垂直于 d 轴），公式如下：

物理意义：d-q 坐标系随转子同步旋转，因此 i_d 和 i_q 在稳态时是直流（不再随时间变化）—— 这就把交流电机的控制问题转化成了直流电机的控制问题！

2.2 FOC 控制环路：三环嵌套的'精准控制'

FOC 的控制逻辑是'三环嵌套'，从内到外分别是电流环、速度环、位置环，每一环都用 PI 调节器实现：

工作流程：

1. 上位机给出位置指令 θ*，位置环根据 θ 与 θ的误差输出速度指令 n；
2. 速度环根据实际转速 n 与 n的误差输出转矩指令 i_q（通常 i_d*=0，表面式 PMSM）；
3. 电流环根据 i_d、i_q 与指令的误差，输出电压指令 u_d*、u_q*；
4. 电压指令经反 Park、反 Clark 变换后，生成三相电压指令，通过 SVPWM 驱动逆变器输出电流。

SVPWM（空间矢量脉宽调制）是 FOC 的'执行器'，其作用是让逆变器输出的电压矢量尽可能接近理想圆形旋转磁场，相比传统 SPWM，SVPWM 能提高直流电压利用率 15%，这对电池供电的无人机至关重要。

三、有感 FOC：靠传感器'看清'转子位置

有感 FOC 的核心是'直接测量转子位置'，通过传感器获取 θ，再用于 Park 变换。传感器的精度和实时性直接决定 FOC 的性能。

3.1 常用位置传感器：原理与对比

有感 FOC 常用的传感器有三种：霍尔传感器、光电编码器、旋转变压器。

关键参数：

• 分辨率：每圈输出的脉冲数（如 1024 线编码器，每圈 1024 个脉冲，通过四倍频可达到 4096 步）；
• 响应速度：最高支持的转速（如光电编码器通常支持 10000rpm 以上）；
• 安装方式：需要与转子轴刚性连接，对同心度要求高（误差过大会导致测量噪声）。

3.2 有感 FOC 的工作流程（以光电编码器为例）

1. 位置信号采集：编码器输出 A、B 相脉冲（相差 90°），通过单片机的定时器计数，计算当前转子角度 θ：
   • 脉冲数累加：θ = (脉冲数 / 总脉冲数) × 360°；
   • 方向判断：A 相超前 B 相为正转，反之反转。
2. 速度计算：通过相邻脉冲的时间间隔 Δt 计算转速 n = 60/(p×Δt)（p 为极对数），或对位置信号微分（需滤波）。
3. 坐标变换与控制：将 θ代入 Park 变换，后续流程与 FOC 基本原理一致。
4. 零位校准：首次上电时需要校准编码器零位（让转子 d 轴与定子 U 相对齐），否则会出现转矩波动。

3.3 有感 FOC 的优势与局限

四、无感 FOC：靠算法'猜准'转子位置

无感 FOC 去掉了传感器，通过电机本身的电气信号（电压、电流）估算转子位置 θ。这要求算法能从噪声中提取位置信息，是 FOC 的技术难点。

4.1 无感位置估算的核心依据：反电动势

根据法拉第电磁感应定律，转子旋转时，永磁磁场切割定子绕组会产生反电动势（Back EMF）。反电动势的相位与转子位置严格同步，其大小与转速成正比（E = k_e × n，k_e 为反电动势常数）。

对三相 PMSM，反电动势是正弦波，表达式为：

其中 Em 是反电动势峰值，θ 是转子电角度（θ = p× 机械角度）。

关键结论：反电动势的相位直接反映转子位置 θ，只要能准确检测反电动势，就能估算 θ。

4.2 主流无感估算算法：原理与对比

无感算法分三大类：反电动势法（适用于中高速）、高频注入法（适用于低速 / 零速）、模型参考自适应（MRAS，全速度段）。

4.2.1 反电动势法（最常用）

原理：通过测量定子端电压和电流，计算反电动势，再提取相位得到 θ。

端电压方程（忽略定子电阻）：U = L×di/dt + e（e 为反电动势），因此 e = U - L×di/dt。

实现步骤：

1. 采样三相电压 U_U、U_V、U_W 和电流 i_U、i_V；
2. 计算 α-β轴反电动势 e_α、e_β（通过 Clark 变换）；
3. 反电动势的相位 θ = arctan (e_β /e_α)，即转子位置。

改进：过零点检测

在电机中性点可测时，反电动势过零点（e_U = e_V = e_W = 0）对应 θ = 0°、120°、240°，过零点后 30°即为换相点（适用于方波驱动，FOC 中需插值细化）。

4.2.2 高频注入法（低速补偿）

原理：低速时反电动势很小（接近零速时 e=0），无法检测。向 d 轴注入高频电压（如 10kHz），利用电机的凸极效应（L_d ≠ L_q），检测电流响应中的高频分量，估算位置。

实现步骤：

1. 向 d 轴注入高频电压 u_hf = U_hf × sin (ω_hf t)；
2. 采样电流 i_d、i_q，提取高频分量 i_hf；
3. i_hf 的相位与位置误差相关，通过锁相环（PLL）跟踪误差，输出 θ。

4.2.3 模型参考自适应（MRAS）

原理：建立两个模型 —— 参考模型（用实际电流和电压计算反电动势）和可调模型（用估算位置计算反电动势），通过两者的误差调节估算位置。

优势：不依赖电机参数（鲁棒性强），可覆盖全速度段。

4.3 无感 FOC 的启动策略：从静止到旋转

无感 FOC 的最大难题是'启动'—— 静止时反电动势为零，无法估算位置。常用启动策略：

无人机电调常用'预定位 + I/F 加速'：先将转子定位到 U 相轴线，再按预设角度开环加速至反电动势可检测的转速（通常 > 500rpm），最后切换到反电动势法闭环控制。

4.4 无感 FOC 的优势与局限

五、理论实现 vs 软件实现：算法落地的'坑'

FOC 的理论模型是连续、理想的，但软件实现（嵌入式代码）是离散、有误差的。从公式到代码，需要解决一系列工程问题。

5.1 核心算法的理论与软件实现对比

5.2 软件实现的关键优化技巧

1. 定点运算替代浮点：无人机电调常用 32 位 MCU（如 STM32F4），浮点运算慢（约 10 个周期），用 Q15 格式（16 位整数，最高位为符号位，低 15 位为小数）可将乘法优化到 1 个周期。
2. 中断优先级设计：电流环中断（最高优先级）> 位置估算中断 > 通信中断，确保电流环按时执行（延迟 < 10μs）。
3. 死区补偿：逆变器上下管不能同时导通，需插入死区时间，但会导致实际输出电压比指令小。补偿方法：根据电流方向，延长导通时间（如电流为正时，延长上管导通时间）。
4. 参数自适应：电机参数（L、R、ψ_f）随温度变化，软件中可通过在线辨识（如注入小信号测响应）动态更新参数。

5.3 调试工具与常见问题

常见问题：

• 电流波形畸变：可能是死区未补偿或位置估算错误；
• 低速抖动：无感算法在低速时噪声大，需增加滤波；
• 高速失步：位置估算延迟过大，需优化 PLL 带宽。

六、无人机电调中的 FOC：为什么无感是主流？

无人机（尤其是多旋翼）对电调的要求苛刻：轻量、高效、快速响应。有感与无感 FOC 的选择，本质是性能与成本的平衡。

6.1 无人机电调的核心指标

6.2 有感 vs 无感 FOC 在无人机中的应用对比

关键结论：90% 以上的中小型无人机用电调采用无感 FOC，只有对低速稳定性要求极高的场景（如植保机悬停）才用有感。

6.3 无人机电调的 FOC 软件架构

以某开源电调（基于 STM32G431）为例，软件架构分三层：

保护逻辑是无人机安全的关键：当电流超过额定值 150% 时，电调需在 10μs 内关断 PWM，避免 MOSFET 烧毁。

七、效率最优角度：为什么超前 150°效率最高？

电机效率（η = 输出机械功率 / 输入电功率）与电流矢量角度密切相关。在某些场景下，电流超前转子磁场 150°时效率最高，这需要从转矩与损耗的平衡分析。

7.1 电机损耗的组成

输入电功率 P_in = 3×U×I×cosφ（φ 为功率因数角），输出机械功率 P_out = T_e×ω（ω 为机械角速度），效率 η = P_out / P_in = 1 - (P_loss / P_in)，其中损耗 P_loss 包括：

关键：铜损和铁损是效率的主要影响因素，且两者随电流角度的变化趋势相反 —— 这是存在最优角度的核心原因。

7.2 电流角度对损耗的影响（以表面式 PMSM 为例）

表面式 PMSM 的 L_d = L_q，转矩公式简化为 T_e = K×i_q（K 为常数）。为输出恒定转矩，i_q 需保持恒定，此时电流矢量角度 θ（与 d 轴夹角）变化仅影响 i_d（i_d = I×cosθ，i_q = I×sinθ，I 为电流幅值）。

• 当 θ=90°时：i_d=0，i_q=I（最大），铜损 P_cu = 3×I²×R_s（最大），但铁损最小（i_d=0，无去磁作用，B 最大？不，此时磁链由永磁体决定，铁损由转速和 B 决定）；
• 当 θ>90°（电流超前 d 轴）：i_d 为负（弱磁），i_q = I×sinθ 需保持恒定（因此 I = i_q /sinθ 随 θ增大而增大），铜损 P_cu = 3×(i_d² + i_q²)×R_s 增大，但弱磁导致 B 减小，铁损 P_fe 降低；
• 当 θ=150°时：i_d = -I×cos30°，i_q = I×sin30° = i_q（恒定），此时铁损降低的幅度超过铜损增加的幅度，总损耗最小，效率最高；
• 当 θ>150°时：i_d 绝对值过大，铜损急剧增加，总损耗上升，效率下降。

7.3 实验数据验证（某 2200kV 无人机电机）

结论：150°是该电机在额定转矩下的效率最优角度，这是铜损与铁损权衡的结果。不同电机（如内嵌式、不同磁钢材料）的最优角度可能不同，但核心逻辑一致 —— 找到总损耗最小的角度。

八、总结：有感与无感 FOC 的未来趋势

有感 FOC 和无感 FOC 不是替代关系，而是互补关系：有感在低速精密控制领域不可替代，无感在轻量化、低成本场景（如无人机）占据主导。

未来的发展方向包括：

1. 无感算法升级：融合高频注入与反电动势法，实现全速度段高精度估算（如大疆最新电调采用的'混合无感算法'）；
2. 集成化设计：将 FOC 算法集成到功率芯片（如 TI 的 DRV 系列），降低开发难度；
3. AI 优化：用神经网络学习电机特性，动态调整控制参数，进一步提高效率。

从麦克斯韦方程到无人机的每一次悬停，FOC 技术的进步都在悄悄改变我们的生活。理解它的原理，不仅能让我们更好地使用电机，更能体会到'数学让世界更高效'的魅力。