Chambolle-Pock 算法的数学基础
Chambolle-Pock 算法本质上是一种原始 - 对偶混合梯度方法，专门设计用于解决特定类型的凸优化问题。其核心思想是通过交替更新原始变量和对偶变量来逼近最优解，这种方法在保持收敛性的同时显著提升了计算效率。
1.1 算法核心组件
该算法建立在三个关键数学概念之上：
- 凸共轭函数：对于函数 H(z)，其凸共轭定义为 H*(y)=max{y^Tz-H(z)}，这一变换使得某些复杂优化问题能够被重新表述为更易处理的形式
- 近似点算子：prox_σH=argmin{H(z')+||z-z'||²/(2σ)}，用于处理非光滑项，是算法实现高效迭代的关键
- 原始 - 对偶框架：通过同时优化原始问题和对偶问题，利用两者的关系加速收敛
1.2 算法迭代步骤
Chambolle-Pock 算法的标准迭代过程可以概括为以下三步：
原始变量更新：
x_{n+1} = prox_τ[G](x_n - τA^Ty_{n+1})
对偶变量更新：
y_{n+1} = prox_σ[F^*](y_n + σA\bar{x}_n)
