Day 57 经典时序模型（1）——差分、ACF/PACF 与 AR/MA/ARMA
文章目录
- Day 57 · 经典时序模型（1）——差分、ACF/PACF 与 AR/MA/ARMA
- 一、让序列更平稳：差分
- 二、处理季节性：季节性差分
- 三、模型选择：AR / MA / ARMA 与 ACF/PACF
- 总结
Day 57 · 经典时序模型（1）——差分、ACF/PACF 与 AR/MA/ARMA
学习要点
- 平稳性为什么重要（很多经典模型的前提）。
- 差分如何消除趋势（让序列更接近平稳）。
- 季节性差分如何消除周期波动。
- ACF / PACF如何辅助判断：AR§、MA(q)、ARMA(p,q)。
注意
- 下面的例子主要用模拟数据，目的是把概念“看见”。
- ACF/PACF 的经验规律适用于已经平稳的序列；如果原序列不平稳，请先差分。
先回顾：我们要检验什么？
做经典时间序列建模（如 ARIMA）前，常见的“体检项目”包括：
- 自相关性（ACF/PACF）：序列是否存在滞后相关（是否“有记忆”）。
- 平稳性（ADF）：均值/方差等统计特性是否随时间变化。
- 季节性：是否存在固定周期（如月度数据的 12 个月周期）。
接下来我们主要处理两类“常见问题”：
- 趋势导致的非平稳 → 用（普通）差分处理。
- 季节性导致的周期结构 → 用季节性差分处理。
而“自相关性”并不是要消除的毛病，反而是后续选择 AR/MA/ARMA 的重要线索。
一、让序列更平稳：差分
1.1 为什么要平稳？
很多经典时序模型假设序列的统计特性相对稳定（均值、方差、协方差不随时间漂移）。
如果序列存在明显趋势（均值在变）或波动强度在变（方差在变），模型会更难“抓住规律”。
1.2 普通差分（处理趋势）
差分的思想：把“水平”变化转为“变化速度”。
- 一阶差分：
Δ y t = y t − y t − 1 \Delta y_t = y_t - y_{t-1} Δyt=yt−yt−1 - 二阶差分（对一阶差分再差分）：
Δ 2 y t = Δ y t − Δ y t − 1 \Delta^2 y_t = \Delta y_t - \Delta y_{t-1} Δ2yt=Δyt−Δyt−1
实践中通常先尝试一阶差分；差分次数越高，越容易把结构“过度差分”掉（信息被抹平）。
# 通用依赖与工具函数import warnings warnings.filterwarnings("ignore")import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from statsmodels.tsa.stattools import adfuller from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA # 尽量避免中文乱码：优先使用 SimHei，没有的话会回退到其他字体 plt.rcParams["font.sans-serif"]=["SimHei","Arial Unicode MS","DejaVu Sans"] plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=Falsedefadf_test(series: pd.Series, name:str="序列"):"""ADF 单位根检验：p-value 越小，越倾向于拒绝“存在单位根（非平稳）”的原假设。""" series = pd.Series(series).dropna() stat, p_value, _, _, critical_values, _ = adfuller(series, autolag="AIC")print(f"[{name}] ADF Statistic: {stat:.4f}")print(f"[{name}] p-value : {p_value:.6f}")print(f"[{name}] Critical : {{k:round(v,4)for k, v in critical_values.items()}}")1.3 用“随机游走 + 趋势”构造一个典型的非平稳序列
随机游走（Random Walk）是时间序列里非常经典的“非平稳”例子：
- 它会随时间漂移，没有稳定的均值；
- 叠加一个线性趋势后，非平稳性会更明显。
下面我们生成一段数据，并用 ADF 检验 + 一阶差分来观察“治疗前后”的变化。
# 1) 生成非平稳数据：随机游走 + 线性趋势 np.random.seed(42) n =500 random_walk = np.random.randn(n).cumsum()# 累积和 -> 随机游走 trend = np.linspace(0,100, n)# 线性趋势 data = pd.Series(random_walk + trend) data.index = pd.date_range(start="2022-01-01", periods=n, freq="D") plt.figure(figsize=(12,4)) plt.plot(data) plt.title("原始序列：随机游走 + 趋势（明显非平稳）") plt.tight_layout() plt.show() adf_test(data, name="原始序列")
[原始序列] ADF Statistic: 0.1358 [原始序列] p-value : 0.968421 [原始序列] Critical : {'1%': np.float64(-3.4435), '5%': np.float64(-2.8673), '10%': np.float64(-2.5699)} # 2) 一阶差分：尝试消除趋势 data_diff_1 = data.diff().dropna() plt.figure(figsize=(12,4)) plt.plot(data_diff_1) plt.axhline(0, color="gray", linewidth=1, linestyle="--") plt.title("一阶差分后的序列（通常更接近平稳）") plt.tight_layout() plt.show() adf_test(data_diff_1, name="一阶差分后")
[一阶差分后] ADF Statistic: -22.3130 [一阶差分后] p-value : 0.000000 [一阶差分后] Critical : {'1%': np.float64(-3.4435), '5%': np.float64(-2.8674), '10%': np.float64(-2.5699)} 二、处理季节性：季节性差分
很多序列（销量、客流、气温）会在固定周期内重复波动，这就是季节性。
2.1 季节性差分（Seasonal Differencing）
思想与普通差分相同，只是“减去的不是上一期”，而是“减去上一个周期的同位置”。
Δ s y t = y t − y t − s \Delta_s y_t = y_t - y_{t-s} Δsyt=yt−yt−s
- 月度数据的年度季节：
s = 12 - 季度数据的年度季节：
s = 4
如果序列同时存在趋势 + 季节性，常见做法是：
- 先做季节性差分（去周期），再对结果做一阶差分（去趋势）。
# 生成一段“趋势 + 季节性 + 噪声”的月度序列，并做季节性差分 np.random.seed(7)# 4 年月度数据（48个点），周期为 12 time_index = pd.date_range(start="2020-01-01", periods=48, freq="M") seasonal =10* np.sin(np.arange(48)*(2* np.pi /12))# 振幅10，周期12 trend = np.linspace(0,20,48) noise = np.random.randn(48)*2 seasonal_data = pd.Series(seasonal + trend + noise, index=time_index) seasonal_diff_12 = seasonal_data.diff(periods=12).dropna() fig, axes = plt.subplots(2,1, figsize=(12,6), sharex=True) axes[0].plot(seasonal_data) axes[0].set_title("原始季节性序列（趋势 + 季节 + 噪声）") axes[1].plot(seasonal_diff_12) axes[1].axhline(0, color="gray", linewidth=1, linestyle="--") axes[1].set_title("季节性差分后（s=12）") plt.tight_layout() plt.show() adf_test(seasonal_data, name="原始季节性序列") adf_test(seasonal_diff_12, name="季节性差分后（s=12）")
[原始季节性序列] ADF Statistic: 0.7819 [原始季节性序列] p-value : 0.991338 [原始季节性序列] Critical : {'1%': np.float64(-3.6155), '5%': np.float64(-2.9413), '10%': np.float64(-2.6092)} [季节性差分后（s=12）] ADF Statistic: -5.5909 [季节性差分后（s=12）] p-value : 0.000001 [季节性差分后（s=12）] Critical : {'1%': np.float64(-3.6327), '5%': np.float64(-2.9485), '10%': np.float64(-2.613)} 三、模型选择：AR / MA / ARMA 与 ACF/PACF
现在假设我们已经拿到了平稳序列（原序列平稳，或通过差分变得平稳）。
3.1 ACF 与 PACF：分别在看什么？
- ACF（自相关）： y t y_t yt 与 y t − k y_{t-k} yt−k 的相关性（包含间接影响）。
- PACF（偏自相关）：控制了中间滞后项后， y t y_t yt 与 y t − k y_{t-k} yt−k 的“直接相关”。
3.2 “截尾”与“拖尾”（经验规律）
| 模型 | ACF 特征 | PACF 特征 |
|---|---|---|
| AR§ | 拖尾 | 在 p 阶后截尾 |
| MA(q) | 在 q 阶后截尾 | 拖尾 |
| ARMA(p,q) | 拖尾 | 拖尾 |
注意：这是非常常用的入门规律，但真实业务数据里常需要结合 AIC/BIC、残差白噪声检验等一起判断。
3.3 AR§：自回归（“惯性/记忆”）
AR§ 的直观解释：当前值由过去 p 期的值线性决定（再加上随机扰动）。
y t = ϕ 1 y t − 1 + ⋯ + ϕ p y t − p + ε t y_t = \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t yt=ϕ1yt−1+⋯+ϕpyt−p+εt
下面模拟一个 AR(2) 序列，并用 ACF/PACF 验证“PACF 在 2 阶后截尾”的现象。
# --- 案例一：AR(2) ---print("--- 案例一：AR(2) 模型 ---")# AR(2)：y_t = 0.7 y_{t-1} + 0.2 y_{t-2} + ε_t ar_params = np.array([0.7,0.2]) ma_params = np.array([])# from_coeffs 的 AR 系数会按统计学常见写法自动处理符号 ar_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params) np.random.seed(100) ar_data = ar_process.generate_sample(nsample=500) fig, axes = plt.subplots(3,1, figsize=(10,9)) axes[0].plot(ar_data) axes[0].set_title("模拟序列：AR(2)") plot_acf(ar_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（AR 通常拖尾）") plot_pacf(ar_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（AR(p) 通常在 p 阶截尾）") plt.tight_layout() plt.show()--- 案例一：AR(2) 模型 --- 
# 使用 ARIMA(p,d,q) 形式拟合：AR(2) 等价于 ARIMA(2,0,0) model_ar = ARIMA(ar_data, order=(2,0,0)).fit()print(model_ar.summary()) SARIMAX Results ============================================================================== Dep. Variable: y No. Observations: 500 Model: ARIMA(2, 0, 0) Log Likelihood -724.007 Date: Fri, 09 Jan 2026 AIC 1456.014 Time: 15:58:24 BIC 1472.873 Sample: 0 HQIC 1462.629 - 500 Covariance Type: opg ============================================================================== coef std err z P>|z| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------ const -0.0971 0.578 -0.168 0.867 -1.231 1.036 ar.L1 0.6557 0.042 15.552 0.000 0.573 0.738 ar.L2 0.2646 0.043 6.096 0.000 0.180 0.350 sigma2 1.0562 0.066 16.075 0.000 0.927 1.185 =================================================================================== Ljung-Box (L1) (Q): 0.04 Jarque-Bera (JB): 3.45 Prob(Q): 0.84 Prob(JB): 0.18 Heteroskedasticity (H): 0.96 Skew: 0.19 Prob(H) (two-sided): 0.79 Kurtosis: 3.15 =================================================================================== Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step). 3.4 MA(q)：移动平均（“短期冲击”）
MA(q) 的直观解释：当前值由当前与过去 q 期的**随机冲击（误差项）**叠加形成。
y t = ε t + θ 1 ε t − 1 + ⋯ + θ q ε t − q y_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} yt=εt+θ1εt−1+⋯+θqεt−q
它很适合描述“突发冲击会影响一小段时间然后消失”的现象，例如：
- 生产线短暂故障、突发促销、短期测量误差。
MA(q) 的典型经验规律：ACF 在 q 阶后截尾，而 PACF 往往拖尾。
# --- 案例二：MA(2) ---print("--- 案例二：MA(2) 模型 ---")# MA(2)：y_t = ε_t + 0.8 ε_{t-1} + 0.4 ε_{t-2} ar_params = np.array([]) ma_params = np.array([0.8,0.4]) ma_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params) np.random.seed(200) ma_data = ma_process.generate_sample(nsample=500) fig, axes = plt.subplots(3,1, figsize=(10,9)) axes[0].plot(ma_data) axes[0].set_title("模拟序列：MA(2)") plot_acf(ma_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（MA(q) 通常在 q 阶截尾）") plot_pacf(ma_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（MA 通常拖尾）") plt.tight_layout() plt.show()--- 案例二：MA(2) 模型 --- 
# MA(2) 等价于 ARIMA(0,0,2) model_ma = ARIMA(ma_data, order=(0,0,2)).fit()print(model_ma.summary()) SARIMAX Results ============================================================================== Dep. Variable: y No. Observations: 500 Model: ARIMA(0, 0, 2) Log Likelihood -704.426 Date: Fri, 09 Jan 2026 AIC 1416.852 Time: 15:58:25 BIC 1433.710 Sample: 0 HQIC 1423.467 - 500 Covariance Type: opg ============================================================================== coef std err z P>|z| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------ const 0.0582 0.100 0.584 0.559 -0.137 0.253 ma.L1 0.8252 0.041 19.978 0.000 0.744 0.906 ma.L2 0.4180 0.041 10.099 0.000 0.337 0.499 sigma2 0.9785 0.063 15.604 0.000 0.856 1.101 =================================================================================== Ljung-Box (L1) (Q): 0.42 Jarque-Bera (JB): 0.01 Prob(Q): 0.51 Prob(JB): 0.99 Heteroskedasticity (H): 1.08 Skew: -0.01 Prob(H) (two-sided): 0.62 Kurtosis: 2.99 =================================================================================== Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step). 3.5 ARMA(p,q)：惯性 + 冲击的混合
真实世界经常同时存在：
- 惯性（AR）：例如销量受上个月销量影响；
- 短期冲击（MA）：例如某次活动/舆情导致短期偏离。
ARMA(p,q) 的经验特征：ACF 与 PACF 往往都会拖尾，因此仅凭图形精确定阶会更难。
常见策略是从低阶（如 (1,1)）开始，结合 AIC/BIC 与残差诊断逐步选择。
# --- 案例三：ARMA(1,1) ---print("--- 案例三：ARMA(1,1) 模型 ---")# ARMA(1,1)：y_t = 0.8 y_{t-1} + ε_t + 0.5 ε_{t-1} ar_params = np.array([0.8]) ma_params = np.array([0.5]) arma_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params) np.random.seed(300) arma_data = arma_process.generate_sample(nsample=500) fig, axes = plt.subplots(3,1, figsize=(10,9)) axes[0].plot(arma_data) axes[0].set_title("模拟序列：ARMA(1,1)") plot_acf(arma_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（ARMA 常拖尾）") plot_pacf(arma_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（ARMA 常拖尾）") plt.tight_layout() plt.show()--- 案例三：ARMA(1,1) 模型 --- 
# ARMA(1,1) 等价于 ARIMA(1,0,1) model_arma = ARIMA(arma_data, order=(1,0,1)).fit()print(model_arma.summary()) SARIMAX Results ============================================================================== Dep. Variable: y No. Observations: 500 Model: ARIMA(1, 0, 1) Log Likelihood -709.905 Date: Fri, 09 Jan 2026 AIC 1427.810 Time: 15:58:25 BIC 1444.669 Sample: 0 HQIC 1434.426 - 500 Covariance Type: opg ============================================================================== coef std err z P>|z| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------ const 0.4134 0.284 1.455 0.146 -0.144 0.970 ar.L1 0.7579 0.032 24.059 0.000 0.696 0.820 ma.L1 0.5038 0.043 11.664 0.000 0.419 0.588 sigma2 0.9982 0.062 16.094 0.000 0.877 1.120 =================================================================================== Ljung-Box (L1) (Q): 0.49 Jarque-Bera (JB): 11.71 Prob(Q): 0.48 Prob(JB): 0.00 Heteroskedasticity (H): 0.82 Skew: 0.35 Prob(H) (two-sided): 0.20 Kurtosis: 3.26 =================================================================================== Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step). 总结
今日所学
- 趋势导致的非平稳：用 一阶/二阶差分（
Series.diff()）。 - 季节性：用 季节性差分（
Series.diff(periods=s)）。 - 定阶线索：在平稳序列上观察 ACF/PACF 的截尾与拖尾。
与 ARIMA 的关系
ARIMA(p, d, q) 三个参数含义：
p：AR 阶数（常从 PACF 的截尾特征获取线索）d：差分次数（让序列更接近平稳）q：MA 阶数（常从 ACF 的截尾特征获取线索）
