DAG 动态规划：嵌套矩形与地铁间谍问题

DAG 模型

嵌套矩形问题

有 n 个矩形，每个矩形可以用两个整数 a, b 描述，表示它的长和宽。矩形 x(a,b) 可以嵌套在矩形 Y(c,d) 中，当且仅当 a<c, b<d，或者 b<c, a<d（相当于把矩形 X 旋转 90 度）。例如，(1,5) 可以嵌套在 (6,2) 内，但不能嵌套在 (3,4) 内。你的任务是选出尽量多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解，矩形编号的字典序应尽量小。

解：

每个矩形可以用两个方向放置，但为了嵌套关系，我们需要标准化矩形：将长和宽统一成 (长，宽)，其中 长 ≥ 宽。

这样处理后，判断矩形 i 能嵌套进矩形 j 的条件为：长_i < 长_j 且 宽_i < 宽_j。

因为 长_i ≥ 宽_i，所以如果两个维度都严格小于，那么旋转后也一定可以嵌套。

每个矩形看作一个结点。如果矩形 i 能嵌套进矩形 j，则建立一条有向边 i→j，边权为 1（表示嵌套一次，长度增加 1）。

注意：

• 这是有向的（嵌套关系单向）。
• 无环：如果 i 能嵌套进 j，则 i 的尺寸严格小于 j，不可能出现循环嵌套。因此这是一个 DAG。

目标：求这个 DAG 的 最长路径（边权为 1 时，路径长度 = 边数，结点数 = 边数 + 1，所以求最长路径的边数再加起始的一个矩形即可，或者直接让 dp[i] 表示从 i 开始的最多矩形数，包括 i 自己）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Rect {
    int length; // 较大的边
    int width;  // 较小的边
    // 构造函数：自动标准化
    Rect(int a, int b) {
        length = max(a, b);
        width = min(a, b);
    }
    // 按长度排序，长度相同按宽度排序
    bool operator<(const Rect& other) const {
        if (length == other.length) return width < other.width;
        return length < other.length;
    }
};

int main() {
    int n;
    cout << ;
    cin >> n;
    vector<Rect> rects;
     ( i = ; i < n; i++) {
         a, b;
        cin >> a >> b;
        rects.((a, b)); 
    }
    
    (rects.(), rects.());
    
    
    ;
     ans = ;
     ( i = ; i < n; i++) {
         ( j = ; j < i; j++) { 
             (rects[j].length < rects[i].length && rects[j].width < rects[i].width) {
                dp[i] = (dp[i], dp[j] + );
            }
        }
        ans = (ans, dp[i]);
    }
    cout <<  << ans << endl;
    
    cout << ;
     ( i = ; i < n; i++) cout << dp[i] << ;
    cout << endl;
     ;
}