动态规划：买卖股票的最佳时机 III

1. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接

---

2. 题目解析

（此处原文包含图片，已移除）

---

3. 算法原理

状态表示： 以某一个位置为结尾或者以某一个位置为起点。dp[i] 表示：第 i 天结束之后，此时的最大利润。两种情况：

1. f[i][j] 表示：第 i 天结束之后，完成了 j 次交易，处于买入状态，此时的最大利润。
2. g[i][j] 表示：第 i 天结束之后，完成了 j 次交易，处于卖出状态，此时的最大利润。

状态转移方程： 在第 i-1 天处于买入状态，看买入状态能不能到自己，看卖出状态能不能到买入状态，另一个状态也是如此，一共 4 种状态。

1. f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j] - prices[i])
2. g[i][j] = max(g[i-1][j], f[i-1][j-1] + prices[i])

初始化： 把 dp 表填满不越界，让后面的填表可以顺利进行。因为是在第 i-1 天处于买入/卖出状态，所以当交易次数为 0 时，就相当于在第 i 天为 -1，那么就会导致越界。所以我们可以修改一下第二个状态转移方程来判断一下，我们可以看到卖出状态到自己的情况是不会改变的，所以只用修改买入状态到卖出状态：

1. g[i][j] = g[i-1][j]（此状态一定不会越界）
2. if(j-1>=0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i-1][j-1] + prices[i])

在查找 f[i-1][j-1] + prices[i] 状态的时候先判断一下下标是否合法 (if(j-1>=0))，然后再求 max。 定义一个正无穷大/小的时候涉及到需要进行加减操作的时候，不要使用 INT_MIN/MAX，因为如果 INT_MIN 减去一个数的话就会变成一个非常大的整数而导致溢出，所以我们最好用 +/- 0x3f3f3f3f 来表示最小值。 本题初始化就是先将表里的所有值都初始化为 - 无穷大，再把 f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0。

填表顺序： 本题的填表顺序是：从上往下填写每一行，每一行从左往右，两个表同时填。

返回值： 题目要求 + 状态表示。因为是要最大利润，所以买入状态不用考虑。本题的返回值是：g 表里最后一行里面的最大值。

---

4. 代码

动态规划的固定四步骤：

1. 创建一个 dp 表
2. 在填表之前初始化
3. 填表（填表方法：状态转移方程）
4. 确定返回值

class Solution {
public:
    const int INF = 0x3f3f3f3f; // 将无穷大赋予给 INF
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        // 1. 创建 dp 表
        // 3：交易次数的三列：0，1，2，再将所有的位置都变成负无穷大
        vector<vector<>> (n, <>(, -INF));
         g = f;
        
        f[][] = -prices[];
        g[][] = ;
        
        ( i = ; i < n; i++) {
            ( j = ; j < ; j++) 
            {
                f[i][j] = (f[i][j], g[i][j] - prices[i]);
                g[i][j] = g[i][j];
                (j >= ) g[i][j] = (g[i][j], f[i][j] + prices[i]);
            }
        }
        
         ret = ;
        ( j = ; j < ; j++) ret = (ret, g[n][j]);
         ret;
    }
};