路径类动态规划入门：3 道经典例题详解（最小路径和、迷雾森林、过河卒）

迷雾森林

题目描述

解题思路

状态定义 dp[i][j] 表示从 [m, 1] 格子走到 [i, j] 格子时，一共有多少种方案。

状态转移 同样根据最后一步推导。题目规定只能向上或向右走。假设当前格子为 [i, j]，那么上一个格子可能是 [i, j-1]（右侧来）或者 [i+1, j]（下方来）。格子 [i, j] 的方案数即为这两个来源之和。

需要注意的是，本题只能走空地（值为 0），遇到树（值为 1）不能走。因此只有空地方能使用状态转移方程，森林格子保持初始值 0。 状态转移方程为： 若 a[i][j] == 0: dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i + 1][j] 若 a[i][j] == 1: dp[i][j] = 0

初始化

• 全局数组默认初始化为 0，无需额外 memset。
• 因为是求解方案数，后续格子方案数是从第一个格子累加而来，所以将 dp[m][1] 初始化为 1。注意填表时不覆盖这个起始点。

填表顺序 根据转移方程，需要访问左边和下边格子，所以填表顺序是从下往上填每一行，每行内从左往右。

结果输出 dp[1][n]

注意：答案需要对 2333 取模。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

const int N = 3010;
const int MOD = 2333;
int m, n;
int a[N][N], dp[N][N];

int main() {
    // 处理输入
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    // 初始化
    dp[m][1] = 1;

    // 按序填表
    for (int i = m; i >= 1; i--) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // [m][1] 格子以及初始化，无需再次填
            if (i == m && j == 1) continue;
            if (a[i][j] == 0) dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i + 1][j]) % MOD;
        }
    }

    // 输出结果
    cout << dp[1][n];
    return 0;
}

过河卒

题目描述

解题思路

坐标偏移 本题强制规定从 [0, 0] 格子开始填表，为了方便处理数组越界问题，我们将题目输入的 B 点坐标和马的坐标统一加 1。这样就相当于将整个棋盘往下和往右移了一格，可以从 [1, 1] 格子开始填表。

状态定义 dp[i][j] 表示从 [1, 1] 格子走到 [i, j] 格子时，一共有多少种方案。

状态转移 卒只能向下或向右走。状态转移方程： dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]

但要注意，如果走到马的控制点，则不能通过，保持初始值 0 即可。只有不是马控制点的格子才能用方程填表。

初始化

• dp 数组：将 dp[1][1] 置为 1，因为方案数需要从起点开始累加。
• a 数组：用于标记马的控制点。将马的 9 个控制点全部置为 1，其余点保持 0。借助方向向量实现初始化比较方便。

填表顺序 从左往右，从上往下。

结果输出 dp[n][m]

注意事项

1. 马所在的点也是马的控制点。
2. dp 数组要用 long long 类型，因为方案数增长极快，数据量较大。

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 25;
int n, m, c, d;
int a[N][N];
LL dp[N][N];

// 方向向量
int dx[8] = {2, 2, 1, 1, -1, -1, -2, -2};
int dy[8] = {1, -1, 2, -2, 2, -2, 1, -1};

int main() {
    // 处理输入
    cin >> n >> m >> c >> d;
    n++, m++, c++, d++;

    // 初始化
    dp[1][1] = 1;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        a[c + dx[i]][d + dy[i]] = 1;
    }
    a[c][d] = 1;

    // 按序填表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            if (a[i][j] == 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
        }
    }

    // 输出结果
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}