路径类动态规划是线性 DP 的一种常见变体,主要研究在 n×m 的网格中,根据特定行走规则,计算从起点到终点的方案数、最小路径和或最大路径和等问题。入门阶段的《数字三角形》其实就属于这一范畴。
矩阵的最小路径和
题目描述
解题思路
状态定义 dp[i][j] 表示从 [1, 1] 格子走到 [i, j] 格子时,所有方案下的最小路径和。
状态转移 推导状态转移方程时,我们关注最后一步。要到达最后一个格子 dp[n][m],只有两种可能:从上方 dp[n-1][m] 下来,或者从左侧 dp[n][m-1] 过来。因此,dp[n][m] 的值取这两者的较小值加上当前格子的权值 a[n][m]。 状态转移方程如下: dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + a[i][j]
初始化与边界 填表时需要访问左边和上边的格子,这意味着我们需要处理第 0 行和第 0 列。由于这些位置无意义,我们将它们初始化为无穷大。这样在取最小值时,永远不会选中无效区域。 同时,将 dp[1][1] 初始化为 a[1][1],因为起点的代价就是它本身。注意在循环中跳过 [1, 1] 格子,避免重复计算导致错误。
填表顺序 从上往下,从左往右。
结果输出 dp[n][m]
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510;
int n, m;
int a[N][N], dp[N][N];
int main() {
// 处理输入
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
// 初始化
memset(dp, 0x3f3f3f3f, sizeof(dp));
dp[1][1] = a[][];
( i = ; i <= n; i++) {
( j = ; j <= m; j++) {
(i == && j == ) ;
dp[i][j] = (dp[i - ][j], dp[i][j - ]) + a[i][j];
}
}
cout << dp[n][m] << endl;
;
}


