【动态规划篇】专题(六)：子序列问题——不连续的艺术
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LIS 模型及其衍生：回头看，全是风景
一、 前言：从 O(N) 到 O(N²)
💬 开篇：和子数组（必须连续）不同，子序列可以跳着选。
🚀 核心心法：状态定义：dp[i]表示以i位置结尾的最长子序列…状态转移：因为不连续，所以i可以接在0到i-1任何一个符合条件的j后面。因此通常需要一个双层循环。高阶技巧：如果一个数定不下规律（比如等差、斐波那契），那就定两个数（dp[i][j]表示以i和j结尾）。
二、 最长递增子序列 (Medium)
2.1 题目描述
题目链接：300. 最长递增子序列
描述：
找到最长严格递增子序列的长度。
示例：
输入：[10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4([2,3,7,101])
2.2 核心思路：LIS 模型
- 状态：
dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列长度。 - 转移：
我站在i位置，往回看所有j(0 <= j < i)。
如果nums[j] < nums[i]，说明我能接在j后面。
我要选一个最长的dp[j]接上去。dp[i] = max(dp[j] + 1)。
2.3 代码实现
classSolution{public:intlengthOfLIS(vector<int>& nums){int n = nums.size();// 初始化为 1，因为每个元素自己就是一个长度为 1 的子序列 vector<int>dp(n,1);int ret =1;for(int i =1; i < n; i++){// 回头看for(int j =0; j < i; j++){if(nums[j]< nums[i]){ dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1);}} ret =max(ret, dp[i]);}return ret;}};(注：这道题有 O(NlogN) 的贪心+二分据解法，但那是贪心专题的内容，这里专注 DP)
三、 摆动序列 (Medium)
3.1 题目描述
题目链接：376. 摆动序列
描述：
差值正负交替。求最长子序列长度。
示例：
输入：[1,7,4,9,2,5]
输出：6(差值：+6, -3, +5, -7, +3)
3.2 状态定义：波峰与波谷
我们不仅要知道长度，还要知道结尾是升还是降，才能决定下一个数怎么接。
f[i]：以i结尾，且最后一步是 上升 的最长摆动序列。g[i]：以i结尾，且最后一步是 下降 的最长摆动序列。
3.3 代码实现
classSolution{public:intwiggleMaxLength(vector<int>& nums){int n = nums.size();// 初始化为 1 vector<int>f(n,1),g(n,1);int ret =1;for(int i =1; i < n; i++){for(int j =0; j < i; j++){if(nums[j]< nums[i]){// 此时是上升，接在之前的下降 g[j] 后面 f[i]=max(f[i], g[j]+1);}elseif(nums[j]> nums[i]){// 此时是下降，接在之前的上升 f[j] 后面 g[i]=max(g[i], f[j]+1);}} ret =max(ret,max(f[i], g[i]));}return ret;}};(注：此题 O(N) 贪心解法更优，但 DP 解法有助于理解状态机思想)
四、 最长递增子序列的个数 (Medium)
4.1 题目描述
题目链接：673. 最长递增子序列的个数
描述：
同样是 LIS，这次要问：长度等于 LIS 的子序列一共有几个？
4.2 双重状态
只记录长度不够了，还要记录个数。
len[i]：以i结尾的最长长度。count[i]：以i结尾的最长长度的方案数。
转移逻辑：
当 nums[j] < nums[i] 时：
- 如果
len[j] + 1 > len[i]：
说明找到了一个更长的序列。更新len[i]，并且count[i]重置为count[j]。 - 如果
len[j] + 1 == len[i]：
说明找到了一个长度一样长的序列。len[i]不变，但count[i]累加count[j]。
4.3 代码实现
classSolution{public:intfindNumberOfLIS(vector<int>& nums){int n = nums.size(); vector<int>len(n,1),count(n,1);int maxLen =1;for(int i =1; i < n; i++){for(int j =0; j < i; j++){if(nums[j]< nums[i]){if(len[j]+1> len[i]){// 发现更长的，重置 len[i]= len[j]+1; count[i]= count[j];}elseif(len[j]+1== len[i]){// 长度相同，累加方案数 count[i]+= count[j];}}} maxLen =max(maxLen, len[i]);}// 统计所有达到 maxLen 的个数int ret =0;for(int i =0; i < n; i++){if(len[i]== maxLen) ret += count[i];}return ret;}};五、 最长数对链 (Medium)
5.1 题目描述
题目链接：646. 最长数对链
描述：[a, b]后面能接[c, d]当且仅当b < c。求最长链。
5.2 预处理：排序
这题简直就是 LIS 的翻版。唯一的区别是：数组可能是乱序的。
所以第一步：根据第一个元素排序。
然后就是标准的 LIS 模板：if pairs[j][1] < pairs[i][0]，则接上。
5.3 代码实现
classSolution{public:intfindLongestChain(vector<vector<int>>& pairs){// 关键步骤：排序sort(pairs.begin(), pairs.end());int n = pairs.size(); vector<int>dp(n,1);int ret =1;for(int i =1; i < n; i++){for(int j =0; j < i; j++){if(pairs[j][1]< pairs[i][0]){ dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1);}} ret =max(ret, dp[i]);}return ret;}};六、 最长定差子序列 (Medium)
6.1 题目描述
题目链接：1218. 最长定差子序列
描述：
求差值固定为difference的最长子序列。arr.length <= 10^5。
6.2 优化：Hash Map
如果还用双层循环 O(N²)，在这道题 10^5 的数据量下会超时。
关键点：这题的差是固定的！
对于 x = arr[i]，我们要找的前一个数必然是 x - difference。
我们可以用哈希表 hash[val] 记录以 val 结尾的最长长度。
状态转移变成 O(1)：hash[x] = hash[x - diff] + 1。
6.3 代码实现
classSolution{public:intlongestSubsequence(vector<int>& arr,int difference){ unordered_map<int,int> hash;// val -> lengthint ret =1;for(int x : arr){// 直接查找前一个数是否存在 hash[x]= hash[x - difference]+1; ret =max(ret, hash[x]);}return ret;}};七、 最长的斐波那契子序列的长度 (Medium)
7.1 题目描述
题目链接：873. 最长的斐波那契子序列的长度
描述：
找最长的子序列，满足x_i + x_{i+1} = x_{i+2}。
7.2 升维：双指针 DP
一个数确定不了斐波那契数列，两个数才能确定。
- 状态：
dp[i][j]表示以i和j(i < j) 结尾的斐波那契子序列长度。 - 转移：
nums[j]是当前数，nums[i]是前一个数。
我们要找前前一个数target = nums[j] - nums[i]。
如果能找到这个target(下标为k)，那么：dp[i][j] = dp[k][i] + 1。
优化：用哈希表预存 Value -> Index 的映射，方便快速找 k。
7.3 代码实现
classSolution{public:intlenLongestFibSubseq(vector<int>& arr){int n = arr.size();// 值 -> 下标 映射 unordered_map<int,int> idxMap;for(int i =0; i < n; i++) idxMap[arr[i]]= i;// dp[i][j] 以 i, j 结尾 vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(n,2));int ret =0;// 先固定 j (最后一个数)for(int j =2; j < n; j++){// 再枚举 i (倒数第二个数)for(int i =1; i < j; i++){int target = arr[j]- arr[i];// 如果 target 存在，且在 i 之前if(target < arr[i]&& idxMap.count(target)){int k = idxMap[target]; dp[i][j]= dp[k][i]+1; ret =max(ret, dp[i][j]);}}}return ret <3?0: ret;}};八、 最长等差数列 (Medium)
8.1 题目描述
题目链接：1027. 最长等差数列
描述：
求最长的等差子序列长度。公差不固定。
8.2 思路
和斐波那契几乎一样，两个数确定公差。
- 状态：
dp[i][j]以i,j结尾的等差数列长度。 - 公差：
diff = nums[j] - nums[i]。 - 前一个数：
target = nums[i] - diff。
这题可以直接存下标，也可以在遍历过程中动态维护 Hash。
8.3 代码实现
classSolution{public:intlongestArithSeqLength(vector<int>& nums){int n = nums.size();// dp[i][j] 表示以 i 和 j 结尾 vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(n,2));int ret =2;// 为了加速找 k，可以用 map 存// 但这题数据范围小，也可以遍历，或者边走边存// 既然已经 O(N^2)，最内层最好是 O(1)// 这里用一个 map 数组，indexMap[x] 表示值为 x 的下标// 实际上这题可以直接枚举公差，或者用 nums[i] 的值域做 hash// 下面是标准双指针解法，配合 hash 优化// 值 -> 下标// 注意：因为有重复元素，我们要在遍历过程中动态更新 hash unordered_map<int,int> hash;for(int i =0; i < n; i++){for(int j = i +1; j < n; j++){int target =2* nums[i]- nums[j];// nums[i] - (nums[j] - nums[i])if(hash.count(target)){int k = hash[target]; dp[i][j]= dp[k][i]+1;} ret =max(ret, dp[i][j]);}// 关键：遍历完 i 之后，才把 i 放入 hash// 这样保证取到的 k 一定在 i 之前 hash[nums[i]]= i;}return ret;}};九、 等差数列划分 II - 子序列 (Hard)
9.1 题目描述
题目链接：446. 等差数列划分 II - 子序列
描述：
求等差子序列的个数。
9.2 状态定义与累加
- 状态：
dp[i][j]以i,j结尾的等差数列个数。 - 转移：
找到k后，dp[i][j] += dp[k][i] + 1。
为什么要+1？dp[k][i]是以k, i为结尾的，加上j构成了... k, i, j，这些都是旧的序列延长。+1是指k, i, j这三个数新构成的一个长度为 3 的序列。 - 注意：因为是求个数，可能有多个相同的
k，所以哈希表要存下标列表List<Integer>。
9.3 代码实现
classSolution{public:intnumberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums){int n = nums.size();longlong ans =0;// dp[i][j] 以 i, j 结尾的等差数列个数 vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(n,0));// 优化：值 -> 下标列表 unordered_map<longlong, vector<int>> map;for(int i =0; i < n; i++) map[nums[i]].push_back(i);for(int j =1; j < n; j++){for(int i =0; i < j; i++){longlong target =2LL* nums[i]- nums[j];if(map.count(target)){for(int k : map[target]){if(k < i){// 累加个数 dp[i][j]+= dp[k][i]+1;}else{break;// 因为 map 里下标是递增的}}} ans += dp[i][j];}}return(int)ans;}};十、 总结
💬 总结：子序列问题的核心在于不连续。
- LIS 模型：
dp[i]依赖dp[0...i-1]，双层循环。 - 定值确定性：如果一个数能确定（如定差），用哈希表优化到 O(N)。
- 两数确定性：如果需要两个数确定规律（斐波那契、等差），升维到二维 DP
dp[i][j]。
恭喜你！到这里，你已经掌握了 线性 DP 的绝大部分套路。下一篇，我们将进入 回文串问题 —— 这是一个关于对称美学的专题，也是区间 DP 的入门课。准备好了吗？ 🚀
