动态规划入门：线性 DP 经典例题解析 | 极客日志

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动态规划入门：线性 DP 经典例题解析

线性动态规划是算法基础中的重点，本文选取台阶问题、最大子段和、传球游戏及乌龟棋四个典型实例，深入剖析状态定义、转移方程构建及初始化细节。内容涵盖从一维数组优化到四维状态压缩的实现技巧，配合 C++ 代码演示，旨在帮助开发者理解 DP 核心逻辑并提升实战解题能力。

DebugKing发布于 2026/3/25更新于 2026/5/912 浏览

动态规划入门：线性 DP 经典例题解析

线性动态规划核心解析

线性 DP 是动态规划中最基础、最常见的一类问题。其特点是状态转移只依赖于前一个或前几个状态，关系呈线性，通常可用一维或二维数组存储。我们在入门阶段解决的《下楼梯》以及《数字三角形》其实都属于此类，前者是一维，后者是二维。

台阶问题

题目描述

台阶问题示意图

解题思路

本题可视为下楼梯问题的加强版，总体思路不变。我们按照标准动规分析步骤来拆解：

状态表示：dp[i] 表示走到第 i 个台阶的所有方案数。
状态转移方程：第 i 个台阶的方案数等于从 i-1 阶到 i-k 阶所有方案数之和。由于数据较大，结果需对 100003 取模。注意边界检查，避免访问负下标。
```
dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % MOD; // j 从 1 到 k
```
初始化：将 dp[0] 置为 1 即可完成初始化，然后从 dp[1] 开始循环计算。
填表顺序：从左往右。
输出结果：dp[n] 即为最终答案。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10, MOD = 1e5 + 3;

int n, k;
LL dp[N];

int main() {
    cin >> n >> k;
    
    // 初始化
    dp[0] = 1;
    
    // 循环填表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
         ( j = ; j <= k; j++) {
            
             (i - j < ) ;
            dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % MOD;
        }
    }
    
    
    cout << dp[n] << endl;
     ;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n;
int a[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    
    // 初始化
    f[0] = 0;
    
    // 按序填表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = max(a[i], a[i] + f[i - 1]);
    }
    
    // 输出结果
    int ret = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ret = max(ret, f[i]);
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n;
int f[N];

int main() {
    cin >> n;
    
    // 初始化
    f[0] = 0;
    int ret = -0x3f3f3f3f;
    
    // 按序填表 + 更新 ret
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        f[i] = max(x, x + f[i - 1]);
        ret = max(ret, f[i]);
    }
    
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 40;
int n, m;
int dp[N][N]; // 次数，同学编号

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    // 初始化
    dp[0][1] = 1;
    
    // 按序填表
    // 从 1 开始枚举传递次数（枚举行）
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        // 填第 1 个同学
        dp[i][1] = dp[i - 1][2] + dp[i - 1][n];
        
        // 填第 2 到 n-1 个同学（枚举列）
        for (int j = 2; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1];
        }
        
        // 填第 n 个同学
        dp[i][n] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][n - 1];
    }
    
    // 输出结果
    cout << dp[m][1] << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 360;
const int M = 50;

int n, m;
int a[N], cnt[5], dp[M][M][M][M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    while (m--) {
        int x = 0;
        cin >> x;
        cnt[x]++;
    }
    
    // 初始化
    dp[0][0][0][0] = a[1];
    
    // 按顺序填表
    for (int i = 0; i <= cnt[1]; i++) {
        for (int j = 0; j <= cnt[2]; j++) {
            for (int k = 0; k <= cnt[3]; k++) {
                for (int z = 0; z <= cnt[4]; z++) {
                    // x 为当前访问格子下标
                    int x = 1 + i + 2 * j + 3 * k + 4 * z;
                    int &t = dp[i][j][k][z];
                    
                    if (i > 0) t = max(t, dp[i - 1][j][k][z] + a[x]);
                    if (j > 0) t = max(t, dp[i][j - 1][k][z] + a[x]);
                    if (k > 0) t = max(t, dp[i][j][k - 1][z] + a[x]);
                    if (z > 0) t = max(t, dp[i][j][k][z - 1] + a[x]);
                }
            }
        }
    }
    
    // 输出结果
    cout << dp[cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]][cnt[4]] << endl;
    return 0;
}