二叉搜索树深度解析：从原理实现到算法应用

前言

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）作为一种重要的树形数据结构，在计算机科学领域有着广泛的应用。它凭借其基于键值的有序性，能够高效地支持数据的插入、删除和查找等操作，是许多复杂算法和系统的基础组件。

本文将围绕二叉搜索树展开全面而深入的探讨。首先，我们将从其核心定义和关键性质出发，帮助读者建立对二叉搜索树的基本认知，包括其通过中序遍历可得到升序序列这一重要特性。随后，详细剖析二叉搜索树的各项基本操作，如插入、查找、删除等，并通过 C++ 代码实现进行具体演示，同时对比递归与非递归实现方式的异同。

此外，我们还将对二叉搜索树与有序数组的二分查找进行对比分析，明确各自的优势与局限。最后，结合一系列经典的算法题目，展示二叉搜索树在实际问题中的应用，帮助读者巩固所学知识，提升解决复杂问题的能力。无论是数据结构初学者，还是希望深化对二叉搜索树理解的开发者，都能从本文中获得有价值的参考。

二叉搜索树（二叉排序树或二叉查找树）

概念：是一颗空树或者是具有以下性质的二叉树：

1. 若左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2. 若右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树

引申：a. 用中序遍历去遍历二叉搜索树的结果正好是升序 c. 结点左边所有的树都比结点小；结点右边所有的树都比结点大

二叉搜索树的模拟实现

template <class K>
struct BSTreeNode {
    BSTreeNode<K>* _left;
    BSTreeNode<K>* _right;
    K _key;
    BSTreeNode(const K& key) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};

template <class K>
class BSTree {
    typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
    BSTree() : _root(nullptr) {}
    BSTree(const BSTree<K>& t) { _root = Copy(t._root); }
    BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) { swap(_root, t._root); return *this; }
    ~BSTree() { Destroy(_root); }

    bool Insert(const K& key) // 插入不了重复的值
    {
         (_root == ) {
            _root =  (key);
             ;
        }
        Node* parent = ;
        Node* cur = _root;
         (cur) {
             (key > cur->_key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }   (key < cur->_key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }  {
                 ;
            }
        }
        cur =  (key);
         (key > parent->_key) {
            parent->_right = cur;
        }  {
            parent->_left = cur;
        }
         ;
    }

    {
        Node* cur = _root;
         (cur) {
             (key > cur->_key) {
                cur = cur->_right;
            }   (key < cur->_key) {
                cur = cur->_left;
            }  {
                 ;
            }
        }
         ;
    }

    {
        Node* parent = ;
        Node* cur = _root;
         (cur) {
             (key > cur->_key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }   (key < cur->_key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }  {
                
                 (cur->_left == ) {
                     (cur == _root) {
                        _root = cur->_right;
                    }  {
                         (parent->_right == cur) {
                            parent->_right = cur->_right;
                        }  {
                            parent->_left = cur->_right;
                        }
                    }
                }   (cur->_right == ) {
                     (cur == _root) {
                        _root = cur->_left;
                    }  {
                         (parent->_right == cur) {
                            parent->_right = cur->_left;
                        }  {
                            parent->_left = cur->_left;
                        }
                    }
                }  {
                    
                    Node* p = cur;
                    Node* leftMax = cur->_left;
                     (leftMax->_right) {
                        p = leftMax;
                        leftMax = leftMax->_right;
                    }
                    (cur->_key, leftMax->_key);
                     (p->_left == leftMax) {
                        p->_left = leftMax->_left;
                    }  {
                        p->_right = leftMax->_left;
                    }
                    cur = leftMax;
                }
                 cur;
                 ;
            }
        }
         ;
    }

    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

:
     _InOrder(Node* root) {
         (root == ) ;
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << ;
        _InOrder(root->_right);
    }

    {
         (root == )  ;
        Node* copyroot =  (root->_key);
        copyroot->_left = (root->_left);
        copyroot->_right = (root->_right);
         copyroot;
    }

    {
         (root == ) ;
        (root->_left);
        (root->_right);
         root;
        root = ;
    }

:
    Node* _root;
};