二叉搜索树详解：概念、性能及 C++ 实现

1.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。它的左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 map/set 不支持插入相等值，multimap/multiset 支持插入相等值。

2.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：O(logN)。最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：O(N)。所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)。

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，所以有了二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树。

平衡二叉搜索树：AVL 树和红黑树。平衡多叉搜索树：B 树系列（B+ 树…）。

它们适用于我们在内存中存储和搜索数据，另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3.二叉搜索树的实现

1.二叉搜索树的结构

1. 准备树的节点（存放两个自己类型的指针找到左右孩子 + 保存某个类型的数据）
2. 准备二叉搜索树：存放根节点。
3. 这里实现的是不能含有重复的数据。

namespace xzy {
template<class K>
struct BSNode {
    BSNode<K>* _left;
    BSNode<K>* _right;
    K _key;
    BSNode(const K& key = K()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};

template<class K>
class BSTree {
public:
    //以下两种功能一样：都是取别名
    //typedef BSNode<K> Node;
    using Node = BSNode<K>;
private:
    Node* _root = nullptr; //给出缺省值
};
}

2.二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

树为空：则直接新增结点，赋值给 root 指针。树不空：按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

//迭代
bool Insert(const K& key) {
    //若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(key);
        return true;
    }
    //若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_key > key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else if (cur->_key < key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else {
            return false; //相等，则无法插入
        }
    }
    //找到了要插入的位置 + 它的父亲节点，然后判断插入的位置
    Node* newnode = new Node(key);
    if (parent->_key > key) {
        parent->_left = newnode;
    } else if (parent->_key < key) {
        parent->_right = newnode;
    }
    return true;
}

//递归
public:
void Insert(const K& key) { _root = _Insert(_root, key); }
private:
Node* _Insert(Node* root, const K& key) {
    if (root == nullptr) return new Node(key);
    if (root->_key < key) root->_right = _Insert(root->_right, key);
    else if (root->_key > key) root->_left = _Insert(root->_left, key);
    return root;
}

3.二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边走查找，x 比根值小则往左边走查找。最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。如下图，查找 3，要找到 1 的右孩子的那个 3 返回。

//循环
bool Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_key < key) {
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_key > key) {
            cur = cur->_left;
        } else {
            return true; //找到了
        }
    }
    return false; //未找到
}

//递归
public:
bool Find(const K& key) { return _Find(_root, key); }
private:
bool _Find(Node* _root, const K& key) {
    if (_root == nullptr) return false;
    bool ret1 = false;
    bool ret2 = false;
    if (_root->_key == key) {
        return true;
    } else if (_root->_key < key) {
        ret1 = Find(_root->_right, key);
    } else {
        ret2 = Find(_root->_left, key);
    }
    return ret1 || ret2;
}

4.二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：

要删除结点 N 左右孩子均为空。要删除的结点 N 左孩子为空，右孩子结点不为空。要删除的结点 N 右孩子为空，左孩子结点不为空。要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 结点（情况 1 可以当成情况 2 或者情况 3 处理，效果是一样的）

2. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点。

3. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子，直接删除 N 结点。

4. 无法直接删除 N 结点，因为 N 的两个孩子无处安放，可以用替换法删除。找 N 左子树的值最大结点 R（最右节点）或者 N 右子树的值最小结点 R（最左节点）替代 N，因为这两个结点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代 N 的意思就是 N 和 R 的两个结点的值交换，转而变成删除 R 结点，R 结点又符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。

bool Erase(const K& key) {
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    //找要删除的节点
    while (cur) {
        if (cur->_key > key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else if (cur->_key < key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else {
            //找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
            //1.删除节点的左孩子为空
            if (cur->_left == nullptr) {
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_right;
                } else {
                    if (parent->_left == cur) {
                        parent->_left = cur->_right;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            //2.删除节点的右孩子为空
            else if (cur->_right == nullptr) {
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_left;
                } else {
                    if (parent->_left == cur) {
                        parent->_left = cur->_left;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            //3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
            else {
                //用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
                //当然也可以使用右子树中最小值的节点
                Node* replace = cur->_left;
                Node* replaceParent = cur;
                while (replace->_right) {
                    replaceParent = replace;
                    replace = replace->_right;
                }
                cur->_key = replace->_key; //值覆盖
                //要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
                if (replaceParent->_left == replace) {
                    replaceParent->_left = replace->_left;
                } else {
                    replaceParent->_right = replace->_left;
                }
                delete replace;
            }
            return true;
        }
    }
    return false; //没有要删除的数据
}

5.二叉搜索树的中序遍历

1. 由于二叉搜索树的性质，左子树小于根，根又小于右子树，那么它的中序遍历就可以得到一个有序的数据
2. 但是由于要传入根节点，而外面是访问不到根节点的，可以封装另一个接口，如下：

public:
void InOrder() {
    _InOrder(_root);
    cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root) {
    if (_root == nullptr) return;
    _InOrder(_root->_left);
    cout << _root->_key << " ";
    _InOrder(_root->_right);
}

int main() {
    vector<int> v = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
    xzy::BSTree<int> t;
    for (auto& e : v) {
        t.Insert(e);
    }
    t.InOrder(); //输出：1 3 4 6 7 8 10 13 14
    return 0;
}

6.默认构造

//强制生成默认构造
BSTree() = default;

7.拷贝构造

前序遍历构造二叉搜索树

public:
BSTree(const BSTree& t) { _root = Copy(t._root); }
private:
Node* Copy(Node* root) {
    if (root == nullptr) return nullptr;
    Node* newRoot = new Node(root->_key);
    newRoot->_left = Copy(root->_left);
    newRoot->_right = Copy(root->_right);
    return newRoot;
}

8.赋值重载

现代写法：利用传值传参 + 拷贝构造

BSTree& operator=(BSTree tmp) {
    swap(_root, tmp._root);
    return *this;
}

9.析构函数

后序遍历析构二叉搜索树

public:
~BSTree() { Destory(_root); }
private:
void Destory(Node* _root) {
    if (_root == nullptr) return;
    Destory(_root->_left);
    Destory(_root->_right);
    delete _root;
}

4.二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景

1.key 搜索场景（set 容器）

只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了。

场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

2.key/value 搜索场景（map 容器）

每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 key 对应的 value。key/value 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改 key，修改 key 破坏搜索树结构了，可以修改 value。

场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储 key（英文）和 vlaue（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

5.key 二叉搜索树代码

namespace key {
template<class K>
struct BSNode {
    BSNode<K>* _left;
    BSNode<K>* _right;
    K _key;
    BSNode(const K& key = K()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};

template<class K>
class BSTree {
public:
    //以下两种功能一样：都是取别名
    //typedef BSNode<K> Node;
    using Node = BSNode<K>;

    bool Insert(const K& key) {
        //若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(key);
            return true;
        }
        //若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_key > key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else if (cur->_key < key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else {
                return false; //相等，则无法插入
            }
        }
        //找到了要插入的位置 + 它的父亲节点；然后判断左右孩子
        Node* newnode = new Node(key);
        if (parent->_key > key) {
            parent->_left = newnode;
        } else if (parent->_key < key) {
            parent->_right = newnode;
        }
        return true;
    }

    bool Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_key < key) {
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_key > key) {
                cur = cur->_left;
            } else {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    bool Erase(const K& key) {
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        //找要删除的节点
        while (cur) {
            if (cur->_key > key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else if (cur->_key < key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else {
                //找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
                //1.删除节点的左孩子为空
                if (cur->_left == nullptr) {
                    if (cur == _root) {
                        _root = cur->_right;
                    } else {
                        if (parent->_left == cur) {
                            parent->_left = cur->_right;
                        } else {
                            parent->_right = cur->_right;
                        }
                    }
                    delete cur;
                }
                //2.删除节点的右孩子为空
                else if (cur->_right == nullptr) {
                    if (cur == _root) {
                        _root = cur->_left;
                    } else {
                        if (parent->_left == cur) {
                            parent->_left = cur->_left;
                        } else {
                            parent->_right = cur->_left;
                        }
                    }
                    delete cur;
                }
                //3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
                else {
                    //用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
                    //当然也可以使用右子树中最小值的节点
                    Node* replace = cur->_left;
                    Node* replaceParent = cur;
                    while (replace->_right) {
                        replaceParent = replace;
                        replace = replace->_right;
                    }
                    cur->_key = replace->_key; //值覆盖
                    //要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
                    if (replaceParent->_left == replace) {
                        replaceParent->_left = replace->_left;
                    } else {
                        replaceParent->_right = replace->_left;
                    }
                    delete replace;
                }
                return true;
            }
        }
        return false; //没有要删除的数据
    }

    void InOrder() {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    void _InOrder(Node* _root) {
        if (_root == nullptr) return;
        _InOrder(_root->_left);
        cout << _root->_key << " ";
        _InOrder(_root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};
}

int main() {
    vector<int> v = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
    key::BSTree<int> t;
    for (auto& e : v) {
        t.Insert(e);
    }
    for (auto& e : v) {
        t.Erase(e);
        t.InOrder();
    }
    return 0;
}

6.key/value 二叉搜索树代码

namespace key_value {
template<class K, class V>
struct BSNode {
    BSNode<K, V>* _left;
    BSNode<K, V>* _right;
    K _key;
    V _value;
    BSNode(const K& key = K(), const V& value = V()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value) {}
};

template<class K, class V>
class BSTree {
public:
    //以下两种功能一样：都是取别名
    //typedef BSNode<K> Node;
    using Node = BSNode<K, V>;

    bool Insert(const K& key, const V& value) {
        //若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(key, value);
            return true;
        }
        //若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_key > key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else if (cur->_key < key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else {
                return false; //相等，则无法插入
            }
        }
        //找到了要插入的位置 + 它的父亲节点；然后判断左右孩子
        Node* newnode = new Node(key, value);
        if (parent->_key > key) {
            parent->_left = newnode;
        } else if (parent->_key < key) {
            parent->_right = newnode;
        }
        return true;
    }

    Node* Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_key < key) {
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_key > key) {
                cur = cur->_left;
            } else {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }

    bool Erase(const K& key) {
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        //找要删除的节点
        while (cur) {
            if (cur->_key > key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else if (cur->_key < key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else {
                //找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
                //1.删除节点的左孩子为空
                if (cur->_left == nullptr) {
                    if (cur == _root) {
                        _root = cur->_right;
                    } else {
                        if (parent->_left == cur) {
                            parent->_left = cur->_right;
                        } else {
                            parent->_right = cur->_right;
                        }
                    }
                    delete cur;
                }
                //2.删除节点的右孩子为空
                else if (cur->_right == nullptr) {
                    if (cur == _root) {
                        _root = cur->_left;
                    } else {
                        if (parent->_left == cur) {
                            parent->_left = cur->_left;
                        } else {
                            parent->_right = cur->_left;
                        }
                    }
                    delete cur;
                }
                //3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
                else {
                    //用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
                    Node* replace = cur->_left;
                    Node* replaceParent = cur;
                    while (replace->_right) {
                        replaceParent = replace;
                        replace = replace->_right;
                    }
                    cur->_key = replace->_key; //值覆盖
                    //要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
                    if (replaceParent->_left == replace) {
                        replaceParent->_left = replace->_left;
                    } else {
                        replaceParent->_right = replace->_left;
                    }
                    delete replace;
                }
                return true;
            }
        }
        return false; //没有要删除的数据
    }

    void InOrder() {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    void _InOrder(Node* _root) {
        if (_root == nullptr) return;
        _InOrder(_root->_left);
        cout << _root->_key << " " << _root->_value << endl;
        _InOrder(_root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};
}

int test01() {
    key_value::BSTree<string, string> dict;
    dict.Insert("left", "左边");
    dict.Insert("right", "右边");
    dict.Insert("insert", "插入");
    dict.Insert("string", "字符串");
    string str;
    while (cin >> str) {
        auto ret = dict.Find(str);
        if (ret) {
            cout << "->" << ret->_value << endl;
        } else {
            cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

int test02() {
    string arr[] = {"苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉"};
    key_value::BSTree<string, int> countTree;
    for (const auto& str : arr) {
        //先查找水果在不在搜索树中
        //1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果，1>
        //2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
        //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
        auto ret = countTree.Find(str);
        if (ret == NULL) {
            countTree.Insert(str, 1);
        } else {
            ret->_value++;
        }
    }
    countTree.InOrder();
    return 0;
}