1.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
C++算法
二叉搜索树详解：概念、性能及 C++ 实现
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，左子树节点值小于等于根节点，右子树大于等于根节点。其性能取决于树的形态，最优为 O(logN)，最坏为 O(N)。文章详细讲解了 BST 的结构定义、插入、查找、删除操作及中序遍历，并提供了 Key 和 Key/Value 两种场景下的 C++ 完整代码实现，适用于 Set 和 Map 容器底层逻辑理解。
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，左子树节点值小于等于根节点，右子树大于等于根节点。其性能取决于树的形态，最优为 O(logN)，最坏为 O(N)。文章详细讲解了 BST 的结构定义、插入、查找、删除操作及中序遍历，并提供了 Key 和 Key/Value 两种场景下的 C++ 完整代码实现，适用于 Set 和 Map 容器底层逻辑理解。
二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。它的左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 map/set 不支持插入相等值，multimap/multiset 支持插入相等值。
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：O(logN)。最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：O(N)。所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)。
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，所以有了二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树。
平衡二叉搜索树：AVL 树和红黑树。平衡多叉搜索树：B 树系列（B+ 树…）。
它们适用于我们在内存中存储和搜索数据，另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
namespace xzy {
template<class K>
struct BSNode {
BSNode<K>* _left;
BSNode<K>* _right;
K _key;
BSNode(const K& key = K()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};
template<class K>
class BSTree {
public:
//以下两种功能一样：都是取别名
//typedef BSNode<K> Node;
using Node = BSNode<K>;
private:
Node* _root = nullptr; //给出缺省值
};
}
插入的具体过程如下：
树为空：则直接新增结点，赋值给 root 指针。树不空：按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）
//迭代
bool Insert(const K& key) {
//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false; //相等，则无法插入
}
}
//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点，然后判断插入的位置
Node* newnode = new Node(key);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true;
}
//递归
public:
void Insert(const K& key) { _root = _Insert(_root, key); }
private:
Node* _Insert(Node* root, const K& key) {
if (root == nullptr) return new Node(key);
if (root->_key < key) root->_right = _Insert(root->_right, key);
else if (root->_key > key) root->_left = _Insert(root->_left, key);
return root;
}
从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边走查找，x 比根值小则往左边走查找。最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。如下图，查找 3，要找到 1 的右孩子的那个 3 返回。
//循环
bool Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true; //找到了
}
}
return false; //未找到
}
//递归
public:
bool Find(const K& key) { return _Find(_root, key); }
private:
bool _Find(Node* _root, const K& key) {
if (_root == nullptr) return false;
bool ret1 = false;
bool ret2 = false;
if (_root->_key == key) {
return true;
} else if (_root->_key < key) {
ret1 = Find(_root->_right, key);
} else {
ret2 = Find(_root->_left, key);
}
return ret1 || ret2;
}
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：
要删除结点 N 左右孩子均为空。要删除的结点 N 左孩子为空，右孩子结点不为空。要删除的结点 N 右孩子为空，左孩子结点不为空。要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。
对应以上四种情况的解决方案：
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//找要删除的节点
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
//找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
//1.删除节点的左孩子为空
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//2.删除节点的右孩子为空
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
else {
//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
//当然也可以使用右子树中最小值的节点
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key; //值覆盖
//要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false; //没有要删除的数据
}
public:
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr) return;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " ";
_InOrder(_root->_right);
}
int main() {
vector<int> v = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
xzy::BSTree<int> t;
for (auto& e : v) {
t.Insert(e);
}
t.InOrder(); //输出：1 3 4 6 7 8 10 13 14
return 0;
}
//强制生成默认构造
BSTree() = default;
前序遍历构造二叉搜索树
public:
BSTree(const BSTree& t) { _root = Copy(t._root); }
private:
Node* Copy(Node* root) {
if (root == nullptr) return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
现代写法：利用传值传参 + 拷贝构造
BSTree& operator=(BSTree tmp) {
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
后序遍历析构二叉搜索树
public:
~BSTree() { Destory(_root); }
private:
void Destory(Node* _root) {
if (_root == nullptr) return;
Destory(_root->_left);
Destory(_root->_right);
delete _root;
}
只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了。
场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 key 对应的 value。key/value 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改 key，修改 key 破坏搜索树结构了，可以修改 value。
场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储 key（英文）和 vlaue（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
namespace key {
template<class K>
struct BSNode {
BSNode<K>* _left;
BSNode<K>* _right;
K _key;
BSNode(const K& key = K()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
};
template<class K>
class BSTree {
public:
//以下两种功能一样：都是取别名
//typedef BSNode<K> Node;
using Node = BSNode<K>;
bool Insert(const K& key) {
//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false; //相等，则无法插入
}
}
//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点；然后判断左右孩子
Node* newnode = new Node(key);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true;
}
bool Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//找要删除的节点
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
//找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
//1.删除节点的左孩子为空
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//2.删除节点的右孩子为空
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
else {
//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
//当然也可以使用右子树中最小值的节点
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key; //值覆盖
//要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false; //没有要删除的数据
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr) return;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " ";
_InOrder(_root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
int main() {
vector<int> v = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
key::BSTree<int> t;
for (auto& e : v) {
t.Insert(e);
}
for (auto& e : v) {
t.Erase(e);
t.InOrder();
}
return 0;
}
namespace key_value {
template<class K, class V>
struct BSNode {
BSNode<K, V>* _left;
BSNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSNode(const K& key = K(), const V& value = V()) : _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value) {}
};
template<class K, class V>
class BSTree {
public:
//以下两种功能一样：都是取别名
//typedef BSNode<K> Node;
using Node = BSNode<K, V>;
bool Insert(const K& key, const V& value) {
//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key, value);
return true;
}
//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false; //相等，则无法插入
}
}
//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点；然后判断左右孩子
Node* newnode = new Node(key, value);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//找要删除的节点
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
//找到了，开始删除操作：删除 cur，cur 的父亲节点是 parent
//1.删除节点的左孩子为空
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//2.删除节点的右孩子为空
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空
else {
//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key; //值覆盖
//要删除的 replace 节点的孩子最多只有一个，复用情况 1/2
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false; //没有要删除的数据
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr) return;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " " << _root->_value << endl;
_InOrder(_root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
int test01() {
key_value::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("insert", "插入");
dict.Insert("string", "字符串");
string str;
while (cin >> str) {
auto ret = dict.Find(str);
if (ret) {
cout << "->" << ret->_value << endl;
} else {
cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
}
}
return 0;
}
int test02() {
string arr[] = {"苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉"};
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (const auto& str : arr) {
//先查找水果在不在搜索树中
//1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果，1>
//2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret == NULL) {
countTree.Insert(str, 1);
} else {
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}
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通过删除不必要的空白来缩小和压缩JSON。 在线工具，JSON 压缩在线工具，online