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  1. 题目一:除自身以外数组的乘积
  2. 题目二:和为 K 的子数组
  3. 解法一:暴力枚举
  4. 解法二:前缀和 + 哈希表
  5. 题目三:和可被 K 整除的子数组
  6. 题目四:连续数组
Javajava算法

Java 算法:前缀和进阶应用

通过四个经典算法题讲解前缀和与前缀积的应用。包括除自身以外数组的乘积、和为 K 的子数组、和可被 K 整除的子数组以及连续数组。核心思路是利用前缀和数组或哈希表记录前缀信息,将区间查询转化为 O(1) 操作。重点讲解了处理负数取模的技巧、哈希表初始化时机以及将 0 转换为 -1 以统一计算的方法。代码均使用 Java 实现,适合算法初学者进阶学习。

深海蔚蓝发布于 2026/3/29更新于 2026/4/187 浏览

题目一:除自身以外数组的乘积

class Solution {
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] pre = new int[len];
        int[] last = new int[len];
        int[] ret = new int[len];
        pre[0] = 1;
        last[len-1] = 1;
        for(int i = 1; i < len; i++) {
            pre[i] = pre[i-1] * nums[i-1];
        }
        for(int i = len-2; i >= 0; i--) {
            last[i] = last[i+1] * nums[i+1];
        }
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            ret[i] = last[i] * pre[i];
        }
        return ret;
    }
}

前缀积:pre[i] 表示下标 i 左侧所有元素的乘积(不包含 nums[i])。 后缀积:last[i] 表示下标 i 右侧所有元素的乘积(不包含 nums[i])。 除当前下标外所有元素乘积:ret[i] = pre[i] * last[i]。

题目二:和为 K 的子数组

解法一:暴力枚举

class  {
       {
           nums.length;
           ;
        (   ; i < len; i++) {
               ;
            (   i; j < len; j++) {
                sum += nums[j];
                (sum == k) {
                    count++;
                }
            }
        }
         count;
    }
}
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Solution
public
int
subarraySum
(int[] nums, int k)
int
len
=
int
count
=
0
for
int
i
=
0
int
sum
=
0
for
int
j
=
if
return

两层循环枚举了所有的情况,sum 累加 nums[j] 动态计算 nums[i] 到 nums[j] 的和,不重不漏。

解法二:前缀和 + 哈希表

class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        int len = nums.length;
        int sum = 0, ret = 0;
        hash.put(0, 1);
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            sum += nums[i];
            ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0);
            hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1);
        }
        return ret;
    }
}

注意:

  1. 需要初始化 hash[0] = 1,如果没有初始化,当第一个元素等于 k 时,会漏掉这次计数。
  2. 先查 hash 表再更新哈希表。

题目三:和可被 K 整除的子数组

class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        int sum = 0, ret = 0;
        hash.put(0, 1);
        for(int x : nums) {
            sum += x;
            int modulus = (sum % k + k) % k;
            ret += hash.getOrDefault(modulus, 0);
            hash.put(modulus, hash.getOrDefault(modulus, 0) + 1);
        }
        return ret;
    }
}

补充:

  1. 通过同余定理可得:(sum - 某一前缀和) 得到子数组元素之和,要找 (sum - 前缀和) % k = 0;即 sum % k = 某一前缀和 % k;如果此时哈希表中正好存的是余数,就可以直接查询。
  2. 处理负数求余数,在 Java 中余数的符号由第一个操作数的符号决定,所以在求余数时需要经过以下处理:(sum % k + k) % k。解释如下:第一次求余数如果是负数,且这个负数的绝对值小于 k,那么加上一个 k 之后就会得到正数,再取余数就完成操作。

算法原理同上题。

题目四:连续数组

class Solution {
    public int findMaxLength(int[] nums) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0, -1);
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                nums[i] = -1;
            }
        }
        int sum = 0;
        int ret = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
            if(hash.containsKey(sum)) {
                ret = Math.max(i - hash.get(sum), ret);
            } else {
                hash.put(sum, i);
            }
        }
        return ret;
    }
}

算法原理:

  1. 将所有的 0 转化为 -1,这样就能把求相同数量的 0、1 转化为求子数组元素之和为 0。
  2. 每计算一个前缀和,如果这个前缀和在哈希表中,说明这两个下标之间的元素之和为 0,并且更新最大长度;如果不在哈希表中,就存入前缀和和下标。
  3. 细节问题:如何处理第一个数就为 0 的情况;hash.put(0, -1),此时如果第一个元素就为 0,长度就为 0 - (-1) = 1,符合题意。
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