在机械臂的控制领域中，轨迹规划是至关重要的一环，它直接影响着机械臂运动的平稳性、准确性以及效率。本文将介绍利用 Matlab 实现机械臂关节空间的 B 样条轨迹规划，特别是三次非均匀、五次非均匀和七次非均匀 B 样条轨迹规划。
B 样条轨迹规划算法基础
B 样条曲线是一种广泛应用于计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学（CG）的曲线表示方法。它具有良好的局部控制性、光滑性以及灵活性，非常适合机械臂的轨迹规划。对于非均匀 B 样条曲线，节点向量（knot vector）可以根据具体需求灵活设置，这使得它在适应不同运动特性的机械臂轨迹规划上具有独特优势。
三次非均匀 B 样条轨迹规划
理论基础
三次 B 样条曲线由四个控制点定义一段曲线，其基函数通过德布尔 - 考克斯（De Boor - Cox）递推公式计算。在非均匀情况下，节点向量根据机械臂运动的具体要求分布。
Matlab 代码实现
% 定义控制点
P = [0 0; 1 1; 2 0; 3 1];
% 定义节点向量
knots = [0 0 0 0 1 2 3 4 4 4 4];
% 生成参数值
u = linspace(knots(4), knots(end - 3), 100);
n = size(P, 1);
m = length(knots);
d = 3; % 三次 B 样条
curve = zeros(length(u), 2);
for i = 1:length(u)
for j = 1:n
basis = 1;
for k = 1:d
numer1 = u(i) - knots(j + k - 1);
numer2 = knots(j + d) - knots(j + k - 1);
numer3 = knots(j + d + 1) - u(i);
numer4 = knots(j + d + 1) - knots(j + k);
if numer2 ~= 0
basis = basis * numer1 / numer2;
end
if numer4 ~= 0
basis = basis * numer3 / numer4;
end
end
curve(i, :) = curve(i, :) + basis * P(j, :);
end
end
% 绘图
figure;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro - ', 'DisplayName', 'Control Points');
hold on;
plot(curve(:, 1), curve(:, 2), 'b - ', 'DisplayName', 'Cubic Non - uniform B - spline Curve');
legend;
xlabel('X - axis');
ylabel('Y - axis');
title('Cubic Non - uniform B - spline Trajectory');
代码分析
- 首先定义了控制点
P，这些点决定了曲线的大致形状。这里简单设置了四个点。 - 接着定义了节点向量
knots，非均匀性就体现在这个节点向量的分布上。前四个和后四个节点重复，这是三次 B 样条曲线的常见设置，中间部分根据实际需求分布。 - 通过
linspace函数生成参数u的取值范围，这个范围决定了曲线采样的密度。 - 利用嵌套循环计算每个参数
u对应的曲线上的点。在循环内部，通过德布尔 - 考克斯递推公式计算基函数值，然后乘以对应的控制点坐标并累加，得到最终曲线上的点。 - 最后绘图展示控制点和生成的三次非均匀 B 样条曲线。
五次非均匀 B 样条轨迹规划
理论基础
五次 B 样条曲线由六个控制点定义一段曲线，相比三次 B 样条，它具有更高的光滑度和更多的控制自由度。同样，在非均匀情况下，节点向量根据机械臂运动特性灵活设置。
Matlab 代码实现
% 定义控制点
P = [0 0; 1 1; 2 0; 3 1; 4 0; 5 1];
% 定义节点向量
knots = [0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6];
% 生成参数值
u = linspace(knots(6), knots(end - 5), 100);
n = size(P, 1);
m = length(knots);
d = 5; % 五次 B 样条
curve = zeros(length(u), 2);
for i = 1:length(u)
for j = 1:n
basis = 1;
for k = 1:d
numer1 = u(i) - knots(j + k - 1);
numer2 = knots(j + d) - knots(j + k - 1);
numer3 = knots(j + d + 1) - u(i);
numer4 = knots(j + d + 1) - knots(j + k);
if numer2 ~= 0
basis = basis * numer1 / numer2;
end
if numer4 ~= 0
basis = basis * numer3 / numer4;
end
end
curve(i, :) = curve(i, :) + basis * P(j, :);
end
end
% 绘图
figure;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro - ', 'DisplayName', 'Control Points');
hold on;
plot(curve(:, 1), curve(:, 2), 'b - ', 'DisplayName', 'Quintic Non - uniform B - spline Curve');
legend;
xlabel('X - axis');
ylabel('Y - axis');
title('Quintic Non - uniform B - spline Trajectory');
代码分析
- 控制点
P增加到六个，以适应五次 B 样条曲线的定义。 - 节点向量
knots的设置根据五次 B 样条的特点，开头和结尾分别有六个重复节点，中间部分同样按需分布。 - 参数
u的生成范围根据五次 B 样条节点向量的有效范围调整。 - 计算曲线上点的过程与三次类似，只是
d设置为 5，对应五次 B 样条。 - 最后同样绘图展示控制点和五次非均匀 B 样条曲线。
七次非均匀 B 样条轨迹规划
理论基础
七次 B 样条曲线由八个控制点定义一段曲线，具有更高的光滑性和更复杂的形状控制能力。非均匀节点向量依旧是根据机械臂运动要求定制。
Matlab 代码实现
% 定义控制点
P = [0 0; 1 1; 2 0; 3 1; 4 0; 5 1; 6 0; 7 1];
% 定义节点向量
knots = [0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8];
% 生成参数值
u = linspace(knots(8), knots(end - 7), 100);
n = size(P, 1);
m = length(knots);
d = 7; % 七次 B 样条
curve = zeros(length(u), 2);
for i = 1:length(u)
for j = 1:n
basis = 1;
for k = 1:d
numer1 = u(i) - knots(j + k - 1);
numer2 = knots(j + d) - knots(j + k - 1);
numer3 = knots(j + d + 1) - u(i);
numer4 = knots(j + d + 1) - knots(j + k);
if numer2 ~= 0
basis = basis * numer1 / numer2;
end
if numer4 ~= 0
basis = basis * numer3 / numer4;
end
end
curve(i, :) = curve(i, :) + basis * P(j, :);
end
end
% 绘图
figure;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro - ', 'DisplayName', 'Control Points');
hold on;
plot(curve(:, 1), curve(:, 2), 'b - ', 'DisplayName', 'Septimic Non - uniform B - spline Curve');
legend;
xlabel('X - axis');
ylabel('Y - axis');
title('Septimic Non - uniform B - spline Trajectory');
代码分析
- 控制点增加到八个，以符合七次 B 样条曲线的定义。
- 节点向量两端各有八个重复节点，中间按需分布。
- 参数
u根据七次 B 样条节点向量的有效范围生成。 - 计算曲线上点的循环部分，将
d设置为 7 以计算七次 B 样条的基函数和曲线上的点。 - 绘图展示控制点和七次非均匀 B 样条曲线。
通过以上三种不同次数的非均匀 B 样条轨迹规划在 Matlab 中的实现，我们可以根据机械臂的具体运动需求，选择合适次数的 B 样条曲线来规划其关节空间轨迹，以达到理想的运动效果。在实际应用中，还需要结合机械臂的动力学模型以及实际工作环境等因素进行更深入的优化。
