在机械臂的控制领域中，轨迹规划是至关重要的一环，它直接影响着机械臂运动的平稳性、准确性以及效率。本文将介绍利用 Matlab 实现机械臂关节空间的 B 样条轨迹规划，特别是三次非均匀、五次非均匀和七次非均匀 B 样条轨迹规划。
B 样条轨迹规划算法基础
B 样条曲线是一种广泛应用于计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学（CG）的曲线表示方法。它具有良好的局部控制性、光滑性以及灵活性，非常适合机械臂的轨迹规划。对于非均匀 B 样条曲线，节点向量（knot vector）可以根据具体需求灵活设置，这使得它在适应不同运动特性的机械臂轨迹规划上具有独特优势。
三次非均匀 B 样条轨迹规划
理论基础
三次 B 样条曲线由四个控制点定义一段曲线，其基函数通过德布尔 - 考克斯（De Boor - Cox）递推公式计算。在非均匀情况下，节点向量根据机械臂运动的具体要求分布。
Matlab 代码实现
% 定义控制点
P = [0 0; 1 1; 2 0; 3 1];
% 定义节点向量
knots = [0 0 0 0 1 2 3 4 4 4 4];
% 生成参数值
u = linspace(knots(4), knots(end - 3), 100);
n = size(P, 1);
m = length(knots);
d = 3; % 三次 B 样条
curve = zeros(length(u), 2);
for i = 1:length(u)
for j = 1:n
basis = 1;
for k = 1:d
numer1 = u(i) - knots(j + k - 1);
numer2 = knots(j + d) - knots(j + k - 1);
numer3 = knots(j + d + 1) - u(i);
numer4 = knots(j + d + 1) - knots(j + k);
if numer2 ~= 0
basis = basis * numer1 / numer2;
end
if numer4 ~= 0
basis = basis * numer3 / numer4;
end
end
curve(i, :) = curve(i, :) + basis * P(j, :);
end
end
% 绘图
figure;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro - ', 'DisplayName', 'Control Points');
hold on;
plot(curve(:, 1), curve(:, 2), 'b - ', 'DisplayName', 'Cubic Non - uniform B - spline Curve');
legend;
xlabel('X - axis');
ylabel('Y - axis');
title('Cubic Non - uniform B - spline Trajectory');
代码分析
- 首先定义了控制点
P，这些点决定了曲线的大致形状。这里简单设置了四个点。 - 接着定义了节点向量
knots，非均匀性就体现在这个节点向量的分布上。前四个和后四个节点重复，这是三次 B 样条曲线的常见设置，中间部分根据实际需求分布。 - 通过
linspace函数生成参数u的取值范围，这个范围决定了曲线采样的密度。 - 利用嵌套循环计算每个参数
u对应的曲线上的点。在循环内部，通过德布尔 - 考克斯递推公式计算基函数值，然后乘以对应的控制点坐标并累加，得到最终曲线上的点。 - 最后绘图展示控制点和生成的三次非均匀 B 样条曲线。
五次非均匀 B 样条轨迹规划
理论基础
五次 B 样条曲线由六个控制点定义一段曲线，相比三次 B 样条，它具有更高的光滑度和更多的控制自由度。同样，在非均匀情况下，节点向量根据机械臂运动特性灵活设置。
Matlab 代码实现
% 定义控制点
P = [0 0; 1 1; 2 0; 3 1; 4 0; 5 1];
% 定义节点向量
knots = [0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6];
% 生成参数值
u = linspace(knots(6), knots(end - 5), 100);
n = size(P, 1);
m = length(knots);
d = 5; % 五次 B 样条
curve = zeros(length(u), 2);
for i = 1:length(u)
for j = 1:n
basis = 1;
for k = 1:d
numer1 = u(i) - knots(j + k - 1);
numer2 = knots(j + d) - knots(j + k - 1);
numer3 = knots(j + d + 1) - u(i);
numer4 = knots(j + d + 1) - knots(j + k);
if numer2 ~= 0
basis = basis * numer1 / numer2;
end
if numer4 ~= 0
basis = basis * numer3 / numer4;
end
end
curve(i, :) = curve(i, :) + basis * P(j, :);
end
end
% 绘图
figure;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro - ', 'DisplayName', 'Control Points');
hold on;
plot(curve(:, 1), curve(:, 2), 'b - ', 'DisplayName', 'Quintic Non - uniform B - spline Curve');
legend;
xlabel('X - axis');
ylabel('Y - axis');
title('Quintic Non - uniform B - spline Trajectory');
