前言
在之前的讨论中，我们提到关节是持续运动的，雅可比矩阵则是描述关节运动与末端运动映射关系的有力工具。然而，仅仅掌握映射关系只是分析机器人运动的开始。空间中两点间的运动轨迹有无数种可能，因此轨迹规划的概念应运而生。简单来说，轨迹规划就是寻求最优路径的过程，下文将展开介绍。
1. 什么是机器人轨迹规划？
要理解这个概念，得先搞清楚什么是'轨迹'。
轨迹指的是机器人手臂（末端点或操作点）的位置、速度、加速度随时间变化的历程。
我们在意的其实是机器人末端轨迹相对于工件的状态或相对关系。就像执行挂杯子的操作时，我们关心的是这两个空间点之间机械臂该如何运动，形成一个连续的轨迹。这就引出了轨迹规划的核心目的：根据作业任务要求，计算出预期的运动轨迹，并尽可能缩短运行时间。
这里需要区分几个容易混淆的概念：
- 任务规划：关注操作顺序和步骤。例如让机器人先抓杯子，再去挂到墙上。
- 路径规划：关注位置和姿态的几何路径。例如规划经过哪些确定位置，以及在该位置下的姿态（竖直还是水平）。目标是避开障碍物且路径最短，通常不考虑速度。
- 轨迹规划：包含时间变量的综合规划。它不仅规划位移，还规划了运动过程中的速度和加速度。
举个例子，移动滑台上的一杯水，如果轨迹规划得当，无论怎么移动水面都平稳；反之则可能倾斜溢出。一个好的轨迹规划算法能让工作任务更顺利。
1.1 轨迹规划中的运动类型
不同种类的机器人，其轨迹规划的侧重点有所不同。扫地机器人等主要依据环境反馈或地图确定行走路径；而工业机器人如焊接机械臂，则更侧重于对末端行走的曲线轨迹、速度与加速度曲线进行精细规划。
根据作业是否对路径有严格要求，可以将运动分为两类：
- 点到点运动：只规定起始点和目标点的运动，中间路径不敏感。
- 连续路径运动或轮廓运动：不仅规定起止点，还必须沿着特定路径运动。
1.2 轨迹规划的空间选择
实际规划时，轨迹描述通常在关节空间或笛卡尔空间（操作空间）中进行。
① 关节空间的轨迹规划
- 定义：规划每个关节的角度（或位移）随时间如何变化（包括速度、加速度）。
- 特点：路径只关心起点和终点的关节角度，中间过程由插值填充，不控制末端在空间的具体形状。
- 优点：计算简单，不会遇到奇异点（机械臂卡死状态）。
- 缺点：无法精确控制末端执行器在空间中的运动轨迹。
② 笛卡尔空间的轨迹规划
- 定义：规划机器人末端在三维空间中的位置、姿态、速度和加速度随时间的变化。
- 特点：要求末端沿特定的空间路径（如直线或圆弧）运动。
- 实现：需通过逆运动学把末端轨迹转换成各个关节的运动指令。
- 优点：能精确控制末端轨迹，适合高精度任务（如焊接、装配）。
- 缺点：计算复杂，可能遇到奇异点，且依赖机械臂结构。
2. 轨迹规划常用方法
2.1 两种主流思路
① 给出轨迹节点上的约束（关节空间）
直接在关节空间中对每个关节的角度、速度与加速度设计时间函数。首先选定轨迹节点上的显式约束（如初始点速度为 0），然后从一类函数中参数化轨迹，代入约束条件求解。
常用方法包括：
- 多项式插值法：三次多项式适用于给定位置和速度的情况（4 个条件）；五次多项式可同时满足位置、速度和加速度边界条件（6 个条件），轨迹更平滑，广泛用于点到点运动。
- 带抛物线过渡的线性插值 (LPB)：在匀速线段两端加入加速度恒定的抛物线过渡段，避免速度突变。
- 样条函数插值：如三次样条，保证位置和速度连续（C¹连续），部分实现加速度连续。
