一、改进 DH 法
使用改进 D-H 参数（Modified DH, MDH），将连杆坐标系 $i$ 建立在连杆的前端关节处。
二、标准 DH 与改进 DH 法的区别
我们知道一个连杆有两端，一端离基座近，一端离基座远。简单来说，标准 DH（SDH）将坐标系 $i$ 建立在连杆 $i$ 离基座近的一端，而改进 DH 建立在离基座远的一端。
2.1 机器人连杆与关节的标号
先标号，再建系。
- 连杆编号：基座为杆 0，从基座往后依次定义为杆 1，杆 2，…，杆 $i$；
- 关节编号：杆 $i$ 离基座近的一端（近端）的关节为关节 $i$，远的一端（远端）为关节 $i+1$。
一句话总结：连杆近端关节的标号和连杆标号是一致的。
2.2 两种建系方法的区别
区别一：连杆坐标系建立的位置不同。 SDH 方法将连杆 $i$ 的坐标系固定在连杆的远端，MDH 方法把连杆 $i$ 的坐标系固定在连杆的近端。
区别二：执行变换的顺序不同。 按照 SDH 方法变换时四个参数相乘的顺序依次为 $d \to \theta \to a \to \alpha$，而 MDH 方法则按照 $\alpha \to a \to \theta \to d$（正好与 SDH 相反）。
三、为什么要用改进 DH 法，而不选标准 DH 法
对于树形结构或者闭链机构的机器人来说，按照 SDH 方法建立的连杆坐标系会产生歧义，因为 SDH 的建系原则是把连杆 $i$ 的坐标系建立在连杆的远端，这就导致连杆 0 上同时出现了两个坐标系。而 MDH 把连杆坐标系建立在每个连杆的近端，则不会出现坐标系重合的情况，这就克服了 SDH 方法建系的缺点。
四、总结
- SDH 适合应用于开链结构的机器人；
- 当使用 SDH 表示树状或闭链结构的机器人时，会产生歧义；
- MDH 法对开链、树状、闭链结构的机器人都适用，推荐使用。
五、公式推导差异
部分旧版教材使用的是标准 DH 参数法，因此在后面推导几何雅可比矩阵的时候，提到 $z_{i-1}$ 和 $p_{i-1}$ 分别由 $R^0_{i-1}$ 与 $T^0_{i-1}$ 得到。
但是如果你用的是改进 DH 参数法进行建模，核心公式有所不同。原因是原本的标准 DH 的坐标系 $i-1$ 对应的 $z$ 轴 $z_{i-1}$ 就是改进的 DH 的坐标系 $i$ 的 $z$ 轴 $z_i$。
下面是基于改进 DH 计算几何雅可比的代码示例：
function J_geo = geometric_jacobian_from_q_corrected(q) % 根据关节角度计算几何雅可比矩阵，匹配 MATLAB 工具箱的顺序
% 输入：q - 7×1 关节角向量 (弧度)
% 输出：J_geo - 6×7 几何雅可比矩阵
% Franka Panda 的 DH 参数 (Modified DH)
% 格式：[alpha, a, d, theta]
MDH = [0, 0, 0.333, q(1); -pi/2, 0, 0, q(2); pi/2, 0, 0.316, q(3); pi/2, 0.0825, 0, q(4); -pi/2, -0.0825,0.384, q(5); pi/2, 0, 0, q(6); pi/2, 0.088, 0.107, q(7)];
% 计算每个关节的变换矩阵和位置
n = 7;
T = eye(4);
T_all = cell(n, 1);
p_all = zeros(3, n);
z_all = zeros(3, n);
for i = 1:n
alpha = MDH(i, 1);
a = MDH(i, 2);
d = MDH(i, 3);
theta = MDH(i, 4);
% 改进 DH 变换矩阵 Ti
Ti = [cos(theta), -sin(theta), 0, a;
sin(theta)*cos(alpha), cos(theta)*cos(alpha), -sin(alpha), -d*sin(alpha);
sin(theta)*sin(alpha), cos(theta)*sin(alpha), cos(alpha), d*cos(alpha);
0, 0, 0, 1];
T = T * Ti;
T_all{i} = T;
p_all(:, i) = T(1:3, 4);
z_all(:, i) = T(1:3, 3);
end
% 末端执行器位置
p_ee = p_all(:, end);
% 计算几何雅可比 - 修正关节编号对应关系
J_geo = zeros(6, n);
for i = 1:n
if i == 1
% 关节 1：使用基坐标系
p_i = [0; 0; 0];
z_i = [0; 0; 1];
else
% 关节 i：使用连杆 i-1 的坐标系
p_i = p_all(:, i); % 改进 DH：使用 i
z_i = z_all(:, i); % 改进 DH：使用 i
end
% MATLAB 顺序：线速度在前，角速度在后
J_geo(4:6, i) = z_i;
J_geo(1:3, i) = cross(z_i, p_ee - p_i);
end
end
function T = forward_kinematics_mdh(q) % 改进 DH 正运动学
MDH = [0, 0, 0.333, q(1); -pi/2, 0, 0, q(2); pi/2, 0, 0.316, q(3); pi/2, 0.0825, 0, q(4); -pi/2, -0.0825,0.384, q(5); pi/2, 0, 0, q(6); pi/2, 0.088, 0.107, q(7)];
T = eye(4);
for i = 1:7
alpha = MDH(i, 1);
a = MDH(i, 2);
d = MDH(i, 3);
theta = MDH(i, 4);
Ti = [cos(theta), -sin(theta), 0, a;
sin(theta)*cos(alpha), cos(theta)*cos(alpha), -sin(alpha), -d*sin(alpha);
sin(theta)*sin(alpha), cos(theta)*sin(alpha), cos(alpha), d*cos(alpha);
0, 0, 0, 1];
T = T * Ti;
end
end
