机器人动力学分析
机器人动力学分析方法包括牛顿欧拉法、拉格朗日法、高斯法、凯恩方法等。
Matlab 提供的逆动力学采用的是牛顿欧拉法（RNE——Recursive Newton-Euler）。该方法需要三个参数：给定最终的角度、速度、角加速度，返回各个关节所需要的力矩。可选参数有重力加速度和负载 fext。
牛顿欧拉法
我们的目标是给定机器人的关节位置 q、速度 qd 和加速度 qdd，计算出为了产生这个运动状态，每个关节需要施加多大的驱动力矩。
注意区分静力学与动力学。"力域雅可比"解决的是静力学或外力映射问题，目的是将作用在机器人末端执行器上的外力/力矩映射到对应的关节空间力矩。
区别在于：一个是给定运动状态，计算每个关节为了达到这个运动状态需要多大力；另一个则是给定末端的力，计算这个力分配在各个关节上是多大。
牛顿欧拉法的精髓在于正推和逆推：
- 正向递推（Forward Recursion）：从基座到末端，计算每个连杆的速度、加速度。
- 反向递推（Backward Recursion）：从末端到基座，计算每个关节需要提供的力和力矩。
动力学的核心是构建一个**'运动状态 - 力学参数'**的方程。已知各个关节的关节空间的速度、角速度、加速度，通过正推构建线速度、线加速度、角速度、角加速度以及质心和端点的速度关系。最难理解的是对 Zi 轴的求导，需拆成先微分再对时间求导。
构建运动状态和力的关系的等式如下：
牛顿方程：
用于解决刚体平移的动力学刻画，沟通力与线加速度的关系。
欧拉方程：
用于解决刚体旋转的动力学刻画，沟通力矩与角速度、角加速度的关系。
其中，
是刚体在{C}中的惯性张量。
要得到连杆质心的力和力矩，就必须要求线加速度、角速度、角加速度了。
由于串联机械臂具有强耦合关系，相邻关节之间存在一定递推关系。当前连杆的运动状态依赖于前一个连杆的运动参数。递推法就是计算当前连杆真实运动状态的方法。
正推
首先对连杆 1 进行计算，然后利用递推式，就能得知连杆 2 的运动状态直至关节 n。
旋转运动参数
角速度：
![\omega_i] (此处为图片占位，原文档链接保留)
真实的角速度是公转速度 + 自转速度。wi 指前一个关节的角速度，第二项是绕 Zi+1 的自转速度。
角加速度：
对角速度求时间的微分。重点在于如何对 \hat{Z}{i+1} 求导。为了简化计算，设 Z_i 和 Z{i+1} 互相垂直，d\hat{Z}_{i+1} 表示偏移量，可用叉积表示。
对于 dt 求导：
接着，将所有参数转入{i+1}系中，利用旋转矩阵统一上下标。
平移运动参数
线速度：
线速度不仅会由前一个连杆传递，如果前一个连杆是旋转关节，由于存在连杆长度 R，必然会产生由旋转而产生的线速度 v_rotate = ω × R。
是指{i}系原点指向{i+1}系原点的向量。
线加速度：
同理，求加速度就是对速度求时间的微分。将 \dot P^*_{i+1} 替换进求导的式子，先将各参数转入{i}参考系，再用旋转矩阵将运动参数转入{i+1}系中。
从质心到关节的变换
实际控制中控制的是关节，因此需要将质心处的参数变换到关节上。
规定关节坐标系原点指向质心的向量为 P^*{C{i+1}}，套用线速度的递推公式。
求导可得线加速度关系，并将其转入{i+1}系。
汇总可知，已掌握线速度、线角速度、角速度、角加速度的递推公式，以及力和力矩的递推公式。
反推
反推就是通过力、力矩和运动参数构成的方程，输入运动参数，获得各关节的力矩。
采用改进 DH 参数建模，第 i 连杆在第 i 关节的后面。每一个关节都独立产生控制力矩，对第 i 连杆受力分析：杆 i 会受到杆(i-1)的作用力 f_i，也会受到杆(i-1)的反作用力 f_{i-1}。
列出牛二：
其中 F 是该连杆质心处的合力。
统一到{i}坐标系中后，对连杆{i}受力分析。假设连杆{i}存在前后两段连杆{i-1}{i+1}，目的是分析连杆{i}质心处的受力情况。
关节{i-1}逆时针旋转，会给杆{i}一个向左上的力 f_i。关节{i}也逆时针旋转，会给杆{i}一个向右上的力 f_{i+1}，自身会受到杆{i+1}的反作用力 -f_{i+1}。
根据右手法则，四指由 f 指向 r，得到力矩 N 的方向。我们的目标是要计算质心处和合力矩。目前已经得到两端相邻连杆对杆{i}的作用力矩了，还要将其转换到质心处。
假设质心 Ci 向杆{i}坐标系原点的向量是 -^{i}P_{C_i}，那么质心 Ci 向杆{i+1}坐标系原点的向量就是 ^{i}P_{i+1}-^{i}P_{C_i}。对于作用于两端的力矩就可以通过这个公式合成到质心处：得到 ^{i}N_i 就是质心处的合力矩。
那么关节 i 应该施加的力可以通过移项得到 ^{i}n_i，观察公式，显然是和 ^{i+1}n_{i+1} 相关的，因此，要计算前一个关节的力矩，就必须得知后一个关节的力矩。这就是为什么计算力矩的过程叫做'逆推'！
^{i}n_i 并不是最终的关节力矩，而是中间计算过程中的一个变量——惯性力矩。惯性力矩考虑了当前杆件和相邻杆件的惯性力矩、外力和重力的影响。但是，我们的关节只能产生绕 z 轴旋转的力，至于重力或负载给的压力，它根本无法影响。因此我们还需要提取与绕 Z 轴相关的力矩，这很简单，直接用 Z 轴的方向向量点积即可提取出这个方向上作用的力：
至此为止，你就完全掌握了正逆推的过程！！！
静力学分析
特别地，当机械臂的速度加速度均为零时，也就是静止时，上面的式子可以得到简化。下式就刻画了静止时各关节力和力矩的计算方式，它可以分析静态下机械臂的负载能力。
这就是 Matlab 机器人工具箱的 rne 的实现逻辑。
为什么选择牛顿欧拉法？
时间复杂度最低——仅 O(n)。相对而言，拉格朗日法接近 O(n^3)。
| 方法 | 原理 | 计算效率 |
|---|---|---|
| 牛顿 - 欧拉法 | 牛顿第二定律 + 欧拉方程 | ⭐⭐⭐⭐⭐ O(n) |
| 拉格朗日法 | 能量法 | ⭐⭐ O(n³) |
| 高斯法 | 最小约束原理 | ⭐⭐ |
| 凯恩法 | 广义达朗贝尔原理 | ⭐⭐⭐ |
当然 RNE 也有缺点：
- 推导过程繁琐，依赖递归顺序。
- 不易直接得到显式动力学模型。
