一、阻抗控制器（Impedance Controller）
1. 弹簧阻尼系统的例子
Fig. 1 弹簧阻尼系统
如图 1 (a) 所示的弹簧阻尼系统，设弹簧的自然长度为 x_0，当对系统施加外力 F_ext 时，系统动力学方程为： m\ddot{x}=F_{ext}+K(x-x_{0})+D\dot{x} \tag{1}
现在的问题： 给定图 1 (b) 所示的一个物体，质量为 M，物体上有位移传感器可以实时的测量到物体的位置 x，还有一个力传感器可以实时的测量物体受到的外力 F_ext，请问你可以设计控制率使得物体 M 在受到外力 F_ext 时，和图 1 (a) 中的物体 m 的动力学特性（即物体 M 的运动也满足 (1) 式）一样吗？
我们可以设计一个力控制器，力控制器的输出的控制量为力 F，此时物体 M 满足的动力学方程为： M\ddot{x}=F+F_{ext} \tag{2}
将 (1) 式变形为： \ddot{x}=\frac{F_{ext}+K(x-x_{0})+D\dot{x}}{m} \tag{3}
注意，(3) 式中的 F_ext 可以从力传感器中直接测量，x 可以从位置传感器中直接测量，\dot{x} 可以对 x 求微分得到。
将 (3) 式代入 (2) 式，得到控制量 F 为： F=M\frac{F_{ext}+K(x-x_{0})+D\dot{x}}{m}-F_{ext} \tag{4}
此时，我们可以 (4) 式代入 (2) 式，发现： \ddot{x} = \frac{F_{ext}+K(x-x_{0})+D\dot{x}}{m} \tag{5}
即物体 M 的动力学特性和图 1 (a) 中的物体 m 的动力学特性一样。
如果图 1 (a) 中的 F_ext 是屏幕前的你给的，你会感觉到在推一个弹簧阻尼系统。同时，你又以同样的力 F_ext 来推图 1 (b) 中的物体 M，此时系统由 (4) 式的控制率控制，你将会得到和推图 1 (a) 同样的感受。
自动控制让我们在推动不同质量的物体时，得到了相同的感受，同时，系统也得到了同样的动力学响应。另外，一般如果系统是位置控制（我们的很多系统都是纯位置控制），位置控制的优点是位置精度高，缺点是不安全（尤其是在人机交互过程中）。如果我们按照上述图 2 (b) 中所介绍的，将系统虚拟成一个弹簧阻尼系统，就安全很多（因为它有了弹簧阻尼系统的动力学特性）。
2. 统一的阻抗控制器框架
Fig. 2 阻抗控制器控制框图
在图 2 中，x_d 是期望位移，F_ext 是作用在系统的外力（必须可以得到，或者直接通过力传感器，或者通过观测器），x 是系统的真实位移（必须可以得到，直接通过传感器，一般系统都有位置传感器），阻抗控制器的输出为控制力 F。
为了简单直观，不妨设： 系统动力学方程（Plant Dynamics）： F+F_{ext}=m\ddot{x} \tag{6}
即系统只由一个物体 m 组成，外力 F_ext 和控制力直接作用在这个物体 m 上。
期望的系统动力学特性 （Desired System Dynamics): M_{d}\ddot{e}+D_{d}\dot{e}+K_{d}e=F_{ext} \tag{7}
其中 e = x_d - x，M_d, D_d, K_d 为期望的质量系数，阻尼系数，刚度系数。
我们注意到，\ddot{e}=\ddot{x}{d}-\ddot{x}，代入到 (6) 中可以得到： F+F{ext} = m(\ddot{e}+\ddot{x}_{d}) \tag{8}
与 1. 弹簧阻尼系统的例子 中介绍的一样，将 (7) 式变形为： \ddot{e} = \frac{F_{ext}-D_{d}\dot{e}-K_{d}e}{M_{d}} \tag{9}
将 (9) 式代入 (8) 式得到： F=m(\frac{F_{ext}-D_{d}\dot{e}-K_{d}e}{M_{d}}+\ddot{x}{ext} \tag{10}
