六自由度机器人逆运动学详解及 Matlab 实现

前言

前面机器人正运动学主要讲关节变量到末端执行器位姿的关系，也就是知道了关节变量与连杆参数就可以利用 D-H 参数表来表达末端位姿。而逆运动学就是已知末端的位姿与连杆参数，来求得关节变量的过程。本文首先介绍何为逆运动学，再以例子的形式利用 D-H 参数表与齐次变换矩阵对机器人进行逆解。

一、运动学逆解

上面提到，已知末端执行器的位姿来求解这一位姿对应的全部关节变量就是逆解，然而由于机械结构的差异，有些时候一个末端位姿可能对应着不同的反解情况 (多解)。逆运动学问题实质就是非线性超越方程组的求解问题，其解法分为两大类（封闭解法和数值解法），本文主要讲封闭解法。

1.【封闭解法】概述

封闭解法是指具有解析形式的解法，其计算速度快、效率高，更便于实时控制，具体又可以分为代数解法和几何解法。Pieper 准则是机械臂存在封闭逆解的充分条件，并且满足其一即可，具体内容为：

Pieper 准则：

1. 三个相邻关节轴相交于一点；
2. 三个相邻关节轴相互平行。

为简化逆解运算，如今机械臂厂家的大多机械臂结构都满足这一准则，比如下面常见的PUMA560 机械臂 (6R 机械臂)，属于关节式机器人，一共有 6 个关节且都是转动关节，前 3 个关节确定手腕参考点的位置，后 3 个关节确定手腕的方位：

为了方便写下面的逆变换求解，先把该机器人对应的 D-H 参数表列在下方：

2. 逆解具体过程（代数详解）

PUMA560 六自由度机器人的 2、3、4 关节轴平行，所以满足 Pieper 准则，运用封闭解法来对其进行运动学逆解如下：

首先先列写其一般变换方程如下式（要知道 $ _{6}^{0}T $ 可以通过连杆参数等，一步步乘出结果）：

$ {6}^{0}T=\begin{bmatrix} n{x} & o_{x} & a_{x} & p_{x}\ n_{y} & o_{y} & a_{y} &p_{y} \ n_{z} & o_{z} & a_{z} &p_{z} \ 0 & 0& 0& 1 \end{bmatrix}= _{1}^{0}T\left ( \theta {1} \right ){2}^{1}T\left ( \theta {2} \right ){3}^{2}T\left ( \theta {3} \right ){4}^{3}T\left ( \theta {4} \right ){5}^{4}T\left ( \theta {5} \right ){6}^{5}T\left ( \theta _{6} \right )$

末端执行器的位姿为 $\vec{n}$、$\vec{o}$、$\vec{a}$、$\vec{p}$，问题也就转变为知道这些参量，来求解 $\theta$ 这 6 个关节变量。过程就是用未知的连杆逆变换来左乘上式的等号两边，这样就能把关节变量分离出来，进而就能求解，具体如下：

① $\theta _{1}$ 求解

将一般变换方程两端左乘 $ _{1}^{0}T^{-1}\left (\theta _{1} \right )$ 得到下式，这样左侧就分离出只有 $\theta _{1}$ 的变量：