双足机器人 2-RSS-1U 并联踝关节设计与运动学解析

3. 正运动学 (FK)

这是 IK 的逆问题：根据编码器读取的实际角度反算脚掌当前姿态。由于无法直接求得解析解，通常采用牛顿 - 拉夫逊（Newton-Raphson）迭代法。通过定义误差函数并利用雅可比矩阵的逆进行迭代更新，该方法收敛速度极快，通常在几次迭代内即可达到高精度，完全满足实时性要求。

核心算法 C++ 实现

为了便于工程落地，我们将上述逆运动学算法封装为 C++ 类。以下代码基于 Eigen 库实现，可直接用于测试和优化。

//g++ -std=c++17 -O2 -I/usr/include/eigen3 pm_ankle_example.cpp -o pm_ankle_example
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <stdexcept>

// 并联机构几何参数结构体
struct ExternalParameters {
    double pm_ankle_a_1[3] = {0.0, 53, 180}; // 执行器 1 的 A 点坐标 [mm]
    double pm_ankle_c_1[3] = {-70.0, 53, 0.0}; // 执行器 1 的 C 点初始坐标 [mm]
    double pm_ankle_bar_rod_1[2] = {70, 180}; // 执行器 1 连杆长度 [法兰杆，连杆] [mm]
    double pm_ankle_a_2[3] = {0.0, -53, 100.0}; // 执行器 2 的 A 点坐标 [mm]
    double pm_ankle_c_2[3] = {-70.0, -53, 0.0}; // 执行器 2 的 C 点初始坐标 [mm]
    double pm_ankle_bar_rod_2[2] = {70, 100}; // 执行器 2 连杆长度 [法兰杆，连杆] [mm]
};

// 单个执行器的几何参数
struct AnkleActuatorParams {
    Eigen::Vector3d r_Ai_0; // A 点在基坐标系下的位置向量 [mm]
    Eigen::Vector3d r_Ci_0_initial; // C 点在初始姿态下的位置向量 [mm]
    double l_bar; // 法兰杆长度 [mm]
    double l_rod; // 连杆长度 [mm]
    double alpha_offset_rad; // 电机零位偏移 [rad]
    double l_bar_sq; // l_bar 的平方，用于加速计算 [mm^2]
    double l_rod_sq; // l_rod 的平方，用于加速计算 [mm^2]

    AnkleActuatorParams() : l_bar(0), l_rod(0), alpha_offset_rad(0), l_bar_sq(0), l_rod_sq(0) {}

    AnkleActuatorParams(const Eigen::Vector3d& r_ai_0, const Eigen::Vector3d& r_ci_0_initial,
                        double lbar, double lrod, double alpha_rad = 0.0)
        : r_Ai_0(r_ai_0), r_Ci_0_initial(r_ci_0_initial), l_bar(lbar), l_rod(lrod), alpha_offset_rad(alpha_rad) {
        if (l_bar <= 1e-9) {
            throw std::runtime_error("l_bar 必须大于零");
        }
        l_bar_sq = l_bar * l_bar;
        l_rod_sq = l_rod * l_rod;
    }
};

// 绕 X 轴旋转的旋转矩阵
Eigen::Matrix3d Rx(double angle_rad) {
    return Eigen::AngleAxisd(angle_rad, Eigen::Vector3d::UnitX()).toRotationMatrix();
}

// 绕 Y 轴旋转的旋转矩阵
Eigen::Matrix3d Ry(double angle_rad) {
    return Eigen::AngleAxisd(angle_rad, Eigen::Vector3d::UnitY()).toRotationMatrix();
}

// 计算单个执行器的逆运动学
// 输入：roll 和 pitch 角度，执行器几何参数
// 输出：pair<电机角度 [rad], 计算是否成功>
std::pair<double, bool> calculate_single_theta_i_internal(double q_roll_rad, double q_pitch_rad,
                                                          const AnkleActuatorParams& params) {
    const Eigen::Vector3d& r_Ai = params.r_Ai_0;
    
    // 计算旋转后的 C 点位置
    Eigen::Matrix3d X_rot = Ry(q_pitch_rad) * Rx(q_roll_rad);
    Eigen::Vector3d r_Ci = X_rot * params.r_Ci_0_initial;
    Eigen::Vector3d r_Ci_minus_r_Ai = r_Ci - r_Ai;

    // 计算中间变量 a, b, c
    double a_val = r_Ci_minus_r_Ai.x();
    double b_val = (r_Ai - r_Ci).z();
    double norm_sq_r_Ci_minus_r_Ai = r_Ci_minus_r_Ai.squaredNorm();

    if (params.l_bar < 1e-9) {
        std::cerr << "错误：l_bar 接近零" << std::endl;
        return {0.0, false};
    }

    double c_val = (params.l_rod_sq - params.l_bar_sq - norm_sq_r_Ci_minus_r_Ai) / (2.0 * params.l_bar);

    // 检查 arcsin 参数的有效性
    double den_asin = a_val * a_val + b_val * b_val;
    double inner_sqrt_term = a_val * a_val + b_val * b_val - c_val * c_val;

    if (inner_sqrt_term < -1e-9) {
        std::cerr << "错误：配置不可达，平方根项为负 (" << inner_sqrt_term << ")" << std::endl;
        return {0.0, false};
    }
    if (inner_sqrt_term < 0) inner_sqrt_term = 0;

    double num_asin = b_val * c_val + std::abs(a_val) * std::sqrt(inner_sqrt_term);
    if (std::abs(den_asin) < 1e-12) {
        std::cerr << "错误：arcsin 分母接近零" << std::endl;
        if (std::abs(num_asin) < 1e-9) {
            std::cout << "警告：奇异构型，theta 未定义" << std::endl;
        }
        return {0.0, false};
    }

    double arg_asin = num_asin / den_asin;
    if (std::abs(arg_asin) > 1.0 + 1e-9) {
        std::cerr << "错误：arcsin 参数超出定义域 [-1, 1]: " << arg_asin << std::endl;
        return {0.0, false};
    }
    arg_asin = std::max(-1.0, std::min(1.0, arg_asin));

    // 计算电机角度
    double theta_i_rad = std::asin(arg_asin);
    theta_i_rad += params.alpha_offset_rad;
    return {theta_i_rad, true};
}

// 并联机构逆解结果
struct AnkleIKSolution {
    double theta_1_rad; // 执行器 1 的电机角度 [rad]
    bool success_1;     // 执行器 1 计算是否成功
    double theta_2_rad; // 执行器 2 的电机角度 [rad]
    bool success_2;     // 执行器 2 计算是否成功

    AnkleIKSolution() : theta_1_rad(0), success_1(false), theta_2_rad(0), success_2(false) {}
};

// 计算并联机构的逆运动学（两个执行器）
AnkleIKSolution calculate_ankle_ik_both_actuators(double q_roll_rad, double q_pitch_rad,
                                                  const AnkleActuatorParams& params_1,
                                                  const AnkleActuatorParams& params_2) {
    AnkleIKSolution solution;
    auto result_1 = calculate_single_theta_i_internal(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_1);
    solution.theta_1_rad = result_1.first;
    solution.success_1 = result_1.second;

    auto result_2 = calculate_single_theta_i_internal(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_2);
    solution.theta_2_rad = result_2.first;
    solution.success_2 = result_2.second;

    return solution;
}

// 并联机构控制类
class PMAnkle {
public:
    ExternalParameters ext_params;
    AnkleActuatorParams params_1; // 执行器 1 的参数
    AnkleActuatorParams params_2; // 执行器 2 的参数

    PMAnkle() {}

    // 初始化并联机构的几何参数
    void PMankleInit() {
        // 初始化执行器 1
        Eigen::Vector3d r_A_1_vec(ext_params.pm_ankle_a_1[0], ext_params.pm_ankle_a_1[1], ext_params.pm_ankle_a_1[2]);
        Eigen::Vector3d r_C_1_vec(ext_params.pm_ankle_c_1[0], ext_params.pm_ankle_c_1[1], ext_params.pm_ankle_c_1[2]);
        double L_bar_1 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_1[0];
        double L_rod_1 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_1[1];
        double alpha_1_rad = 0.0;
        params_1 = AnkleActuatorParams(r_A_1_vec, r_C_1_vec, L_bar_1, L_rod_1, alpha_1_rad);

        // 初始化执行器 2
        Eigen::Vector3d r_A_2_vec(ext_params.pm_ankle_a_2[0], ext_params.pm_ankle_a_2[1], ext_params.pm_ankle_a_2[2]);
        Eigen::Vector3d r_C_2_vec(ext_params.pm_ankle_c_2[0], ext_params.pm_ankle_c_2[1], ext_params.pm_ankle_c_2[2]);
        double L_bar_2 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_2[0];
        double L_rod_2 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_2[1];
        double alpha_2_rad = 0.0;
        params_2 = AnkleActuatorParams(r_A_2_vec, r_C_2_vec, L_bar_2, L_rod_2, alpha_2_rad);

        std::cout << "并联机构初始化完成" << std::endl;
        std::cout << " 执行器 1 - L_bar: " << params_1.l_bar << " mm, L_rod: " << params_1.l_rod << " mm" << std::endl;
        std::cout << " 执行器 2 - L_bar: " << params_2.l_bar << " mm, L_rod: " << params_2.l_rod << " mm" << std::endl;
    }

    // 计算给定姿态角度下的电机角度
    AnkleIKSolution getAnkleMotorAngles(double q_roll_rad, double q_pitch_rad) {
        return calculate_ankle_ik_both_actuators(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_1, params_2);
    }
};

int main() {
    PMAnkle ankle_ankle;
    std::cout << "=== 踝关节并联机构逆运动学求解 ===" << std::endl;
    ankle_ankle.PMankleInit();

    // 设置目标姿态角
    double q_roll_deg = 10.0;
    double q_pitch_deg = 10.0;
    double q_roll_rad = q_roll_deg * M_PI / 180.0;
    double q_pitch_rad = q_pitch_deg * M_PI / 180.0;

    std::cout << "\n目标姿态角:" << std::endl;
    std::cout << " Roll: " << q_roll_deg << " 度 (" << q_roll_rad << " rad)" << std::endl;
    std::cout << " Pitch: " << q_pitch_deg << " 度 (" << q_pitch_rad << " rad)" << std::endl;

    // 求解逆运动学
    AnkleIKSolution solution = ankle_ankle.getAnkleMotorAngles(q_roll_rad, q_pitch_rad);
    std::cout << "\n电机角度:" << std::endl;
    if (solution.success_1) {
        std::cout << " 电机 1: " << solution.theta_1_rad * 180.0 / M_PI << " 度 (" << solution.theta_1_rad << " rad)" << std::endl;
    } else {
        std::cout << " 电机 1: 计算失败" << std::endl;
    }
    if (solution.success_2) {
        std::cout << " 电机 2: " << solution.theta_2_rad * 180.0 / M_PI << " 度 (" << solution.theta_2_rad << " rad)" << std::endl;
    } else {
        std::cout << " 电机 2: 计算失败" << std::endl;
    }
    return 0;
}

以上代码展示了如何根据目标姿态解算电机角度。实际应用中，建议结合具体的传感器反馈对参数进行微调，并加入异常处理机制以确保运行安全。