基于 2-RSS-1U 的双足机器人并联踝关节分析与实现

设计考量与参数优化： 相比于 UPU 或 UPS 等其他构型，RSS 结构在力矩传递上具有显著优势，力矩传递比在整个运动空间内变化更小。这保证了脚踝在不同姿态下都能保持稳定、可预测的力矩输出能力。

在设计阶段，重点关注了以下几个关键几何参数：

• l_bar: 电机驱动臂的长度。
• l_rod: 中间连杆的长度。
• l_spacing: 两条并联运动链之间的间距。

论文中的设计参数（l_bar=85mm, l_rod=135mm, l_spacing=43mm），在保证结构紧凑的同时，实现了 Roll 方向 [-20, 20] 度和 Pitch 方向 [-58, 42] 度的宽阔运动范围。

运动学解算：从电机到足部的精确映射

有了先进的机械结构，下一步是建立精确的数学模型，以实现有效控制。这包括逆运动学、正运动学和雅可比矩阵的求解。

1. 逆运动学 (IK): 从目标姿态到电机指令

这是控制中最基础的一步：给定脚掌的目标姿态（q_roll, q_pitch），计算出两个驱动电机应达到的角度（θ1, θ2）。

• 求解逻辑：转化为几何约束求解问题。
  1. 根据目标 q_roll 和 q_pitch，确定脚掌平台在小腿坐标系下的旋转矩阵。
  2. 利用旋转矩阵，计算连杆与脚掌的连接点 C1 和 C2 的三维坐标。
  3. 对于每条运动链，构成由固定点 A_i、计算点 C_i 和已知连杆长度约束的空间几何问题。
  4. 通过求解该几何约束，得到电机角度 θ_i 的解析解。
• 实现：该问题存在封闭形式的解析解。这意味着 IK 计算速度极快，且没有奇异性或多解问题，为实时位置控制提供了坚实基础。

2. 雅可比矩阵 (Jacobian): 速度与力矩的传递桥梁

雅可比矩阵建立了机器人关节空间速度与任务空间（末端执行器）速度之间的线性关系。

• 关节空间：由两个主动驱动电机的角度 θ = [θ₁, θ₂]ᵀ 构成。速度为 θ̇ = [θ̇₁, θ̇₂]ᵀ。
• 任务空间：由脚掌的姿态角 q = [q_roll, q_pitch]ᵀ 构成。角速度为 q̇ = [q̇_roll, q̇_pitch]ᵀ。

逆运动学函数表示为 θ = f(q)。对其求导，根据链式法则得到：

θ̇ = (∂f/∂q) * q̇

这个偏导数矩阵 ∂f/∂q 就是雅可比矩阵 J。因此，速度关系可以写为：

[ θ̇₁ ]   [ ∂θ₁/∂q_roll  ∂θ₁/∂q_pitch ]   [ q̇_roll ]
[    ] = [                              ] * [        ]
[ θ̇₂ ]   [ ∂θ₂/∂q_roll  ∂θ₂/∂q_pitch ]   [ q̇_pitch ]

其中每一项的物理意义清晰明了。例如，∂θ₁/∂q_roll 表示当 q_pitch 不变时，q_roll 的微小变化引起的电机 1 角度变化。

核心作用：

• 速度控制：实现从期望脚掌角速度到所需电机角速度的直接计算。
• 力矩控制：通过转置矩阵 J^T，建立末端力矩与电机驱动力矩之间的关系。这使得我们可以精确控制脚掌与地面的接触力，实现柔顺控制等高级功能。

3. 正运动学 (FK): 从编码器读数到实际姿态

这是 IK 的逆问题：根据电机编码器读取的实际角度（θ1, θ2），反算出脚掌的当前姿态（q_roll, q_pitch）。这对于状态估计和闭环控制至关重要。

• 挑战：无法直接求得解析解，对应复杂的高阶多项式方程组。
• 解决方案：牛顿 - 拉夫逊（Newton-Raphson）迭代法。
  1. 定义误差函数：e(q) = θ_actual - f_IK(q_guess)。目标是找到 q 使误差趋近于零。
  2. 迭代求解：从初始猜测值 q_k 开始，利用雅可比矩阵更新： q_{k+1} = q_k + J⁻¹(q_k) * e(q_k)
  3. 收敛：重复迭代直至误差小于阈值。该方法收敛速度极快，通常在几次迭代内即可达到高精度，满足实时性要求。

参考实现代码

为了便于工程落地，以下提供一份基于 C++ 和 Eigen 库的逆运动学参考实现。代码封装了机构几何参数配置与求解逻辑，可直接用于验证或集成。

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <stdexcept>

// 并联机构几何参数结构体
struct ExternalParameters {
    double pm_ankle_a_1[3] = {0.0, 53, 180}; // 执行器 1 的 A 点坐标 [mm]
    double pm_ankle_c_1[3] = {-70.0, 53, 0.0}; // 执行器 1 的 C 点初始坐标 [mm]
    double pm_ankle_bar_rod_1[2] = {70, 180}; // 执行器 1 连杆长度 [法兰杆，连杆] [mm]
    double pm_ankle_a_2[3] = {0.0, -53, 100.0}; // 执行器 2 的 A 点坐标 [mm]
    double pm_ankle_c_2[3] = {-70.0, -53, 0.0}; // 执行器 2 的 C 点初始坐标 [mm]
    double pm_ankle_bar_rod_2[2] = {70, 100}; // 执行器 2 连杆长度 [法兰杆，连杆] [mm]
};

// 单个执行器的几何参数
struct AnkleActuatorParams {
    Eigen::Vector3d r_Ai_0;           // A 点在基坐标系下的位置向量 [mm]
    Eigen::Vector3d r_Ci_0_initial;   // C 点在初始姿态下的位置向量 [mm]
    double l_bar;                     // 法兰杆长度 [mm]
    double l_rod;                     // 连杆长度 [mm]
    double alpha_offset_rad;          // 电机零位偏移 [rad]
    double l_bar_sq;                  // l_bar 的平方，用于加速计算 [mm^2]
    double l_rod_sq;                  // l_rod 的平方，用于加速计算 [mm^2]

    AnkleActuatorParams() : l_bar(0), l_rod(0), alpha_offset_rad(0), l_bar_sq(0), l_rod_sq(0) {}

    AnkleActuatorParams(const Eigen::Vector3d& r_ai_0, const Eigen::Vector3d& r_ci_0_initial,
                        double lbar, double lrod, double alpha_rad = 0.0)
        : r_Ai_0(r_ai_0), r_Ci_0_initial(r_ci_0_initial), l_bar(lbar), l_rod(lrod), alpha_offset_rad(alpha_rad) {
        if (l_bar <= 1e-9) {
            throw std::runtime_error("l_bar 必须大于零");
        }
        l_bar_sq = l_bar * l_bar;
        l_rod_sq = l_rod * l_rod;
    }
};

// 绕 X 轴旋转的旋转矩阵
Eigen::Matrix3d Rx(double angle_rad) {
    return Eigen::AngleAxisd(angle_rad, Eigen::Vector3d::UnitX()).toRotationMatrix();
}

// 绕 Y 轴旋转的旋转矩阵
Eigen::Matrix3d Ry(double angle_rad) {
    return Eigen::AngleAxisd(angle_rad, Eigen::Vector3d::UnitY()).toRotationMatrix();
}

// 计算单个执行器的逆运动学
// 输入：roll 和 pitch 角度，执行器几何参数
// 输出：pair<电机角度 [rad], 计算是否成功>
std::pair<double, bool> calculate_single_theta_i_internal(double q_roll_rad, double q_pitch_rad,
                                                          const AnkleActuatorParams& params) {
    const Eigen::Vector3d& r_Ai = params.r_Ai_0;
    // 计算旋转后的 C 点位置
    Eigen::Matrix3d X_rot = Ry(q_pitch_rad) * Rx(q_roll_rad);
    Eigen::Vector3d r_Ci = X_rot * params.r_Ci_0_initial;
    Eigen::Vector3d r_Ci_minus_r_Ai = r_Ci - r_Ai;

    // 计算中间变量 a, b, c
    double a_val = r_Ci_minus_r_Ai.x();
    double b_val = (r_Ai - r_Ci).z();
    double norm_sq_r_Ci_minus_r_Ai = r_Ci_minus_r_Ai.squaredNorm();

    if (params.l_bar < 1e-9) {
        std::cerr << "错误：l_bar 接近零" << std::endl;
        return {0.0, false};
    }

    double c_val = (params.l_rod_sq - params.l_bar_sq - norm_sq_r_Ci_minus_r_Ai) / (2.0 * params.l_bar);

    // 检查 arcsin 参数的有效性
    double den_asin = a_val * a_val + b_val * b_val;
    double inner_sqrt_term = a_val * a_val + b_val * b_val - c_val * c_val;

    if (inner_sqrt_term < -1e-9) {
        std::cerr << "错误：配置不可达，平方根项为负 (" << inner_sqrt_term << ")" << std::endl;
        return {0.0, false};
    }
    if (inner_sqrt_term < 0) inner_sqrt_term = 0;

    double num_asin = b_val * c_val + std::abs(a_val) * std::sqrt(inner_sqrt_term);
    if (std::abs(den_asin) < 1e-12) {
        std::cerr << "错误：arcsin 分母接近零" << std::endl;
        if (std::abs(num_asin) < 1e-9) {
            std::cout << "警告：奇异构型，theta 未定义" << std::endl;
        }
        return {0.0, false};
    }

    double arg_asin = num_asin / den_asin;
    if (std::abs(arg_asin) > 1.0 + 1e-9) {
        std::cerr << "错误：arcsin 参数超出定义域 [-1, 1]: " << arg_asin << std::endl;
        return {0.0, false};
    }
    arg_asin = std::max(-1.0, std::min(1.0, arg_asin));

    // 计算电机角度
    double theta_i_rad = std::asin(arg_asin);
    theta_i_rad += params.alpha_offset_rad;
    return {theta_i_rad, true};
}

// 并联机构逆解结果
struct AnkleIKSolution {
    double theta_1_rad; // 执行器 1 的电机角度 [rad]
    bool success_1;     // 执行器 1 计算是否成功
    double theta_2_rad; // 执行器 2 的电机角度 [rad]
    bool success_2;     // 执行器 2 计算是否成功

    AnkleIKSolution() : theta_1_rad(0), success_1(false), theta_2_rad(0), success_2(false) {}
};

// 计算并联机构的逆运动学（两个执行器）
AnkleIKSolution calculate_ankle_ik_both_actuators(double q_roll_rad, double q_pitch_rad,
                                                  const AnkleActuatorParams& params_1,
                                                  const AnkleActuatorParams& params_2) {
    AnkleIKSolution solution;
    auto result_1 = calculate_single_theta_i_internal(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_1);
    solution.theta_1_rad = result_1.first;
    solution.success_1 = result_1.second;

    auto result_2 = calculate_single_theta_i_internal(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_2);
    solution.theta_2_rad = result_2.first;
    solution.success_2 = result_2.second;

    return solution;
}

// 并联机构控制类
class PMAnkle {
public:
    ExternalParameters ext_params;
    AnkleActuatorParams params_1; // 执行器 1 的参数
    AnkleActuatorParams params_2; // 执行器 2 的参数

    PMAnkle() {}

    // 初始化并联机构的几何参数
    void PMankleInit() {
        // 初始化执行器 1
        Eigen::Vector3d r_A_1_vec(ext_params.pm_ankle_a_1[0], ext_params.pm_ankle_a_1[1], ext_params.pm_ankle_a_1[2]);
        Eigen::Vector3d r_C_1_vec(ext_params.pm_ankle_c_1[0], ext_params.pm_ankle_c_1[1], ext_params.pm_ankle_c_1[2]);
        double L_bar_1 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_1[0];
        double L_rod_1 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_1[1];
        double alpha_1_rad = 0.0;
        params_1 = AnkleActuatorParams(r_A_1_vec, r_C_1_vec, L_bar_1, L_rod_1, alpha_1_rad);

        // 初始化执行器 2
        Eigen::Vector3d r_A_2_vec(ext_params.pm_ankle_a_2[0], ext_params.pm_ankle_a_2[1], ext_params.pm_ankle_a_2[2]);
        Eigen::Vector3d r_C_2_vec(ext_params.pm_ankle_c_2[0], ext_params.pm_ankle_c_2[1], ext_params.pm_ankle_c_2[2]);
        double L_bar_2 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_2[0];
        double L_rod_2 = ext_params.pm_ankle_bar_rod_2[1];
        double alpha_2_rad = 0.0;
        params_2 = AnkleActuatorParams(r_A_2_vec, r_C_2_vec, L_bar_2, L_rod_2, alpha_2_rad);

        std::cout << "并联机构初始化完成" << std::endl;
        std::cout << " 执行器 1 - L_bar: " << params_1.l_bar << " mm, L_rod: " << params_1.l_rod << " mm" << std::endl;
        std::cout << " 执行器 2 - L_bar: " << params_2.l_bar << " mm, L_rod: " << params_2.l_rod << " mm" << std::endl;
    }

    // 计算给定姿态角度下的电机角度
    AnkleIKSolution getAnkleMotorAngles(double q_roll_rad, double q_pitch_rad) {
        return calculate_ankle_ik_both_actuators(q_roll_rad, q_pitch_rad, params_1, params_2);
    }
};

int main() {
    PMAnkle ankle_ankle;
    std::cout << "=== 踝关节并联机构逆运动学求解 ===" << std::endl;
    ankle_ankle.PMankleInit();

    // 设置目标姿态角
    double q_roll_deg = 10.0;
    double q_pitch_deg = 10.0;
    double q_roll_rad = q_roll_deg * M_PI / 180.0;
    double q_pitch_rad = q_pitch_deg * M_PI / 180.0;

    std::cout << "\n目标姿态角:" << std::endl;
    std::cout << " Roll: " << q_roll_deg << " 度 (" << q_roll_rad << " rad)" << std::endl;
    std::cout << " Pitch: " << q_pitch_deg << " 度 (" << q_pitch_rad << " rad)" << std::endl;

    // 求解逆运动学
    AnkleIKSolution solution = ankle_ankle.getAnkleMotorAngles(q_roll_rad, q_pitch_rad);
    std::cout << "\n电机角度:" << std::endl;
    if (solution.success_1) {
        std::cout << " 电机 1: " << solution.theta_1_rad * 180.0 / M_PI << " 度 (" << solution.theta_1_rad << " rad)" << std::endl;
    } else {
        std::cout << " 电机 1: 计算失败" << std::endl;
    }
    if (solution.success_2) {
        std::cout << " 电机 2: " << solution.theta_2_rad * 180.0 / M_PI << " 度 (" << solution.theta_2_rad << " rad)" << std::endl;
    } else {
        std::cout << " 电机 2: 计算失败" << std::endl;
    }
    return 0;
}

编译并运行上述代码，即可根据设定的目标姿态获取对应的电机角度。开发者可根据实际硬件尺寸修改 ExternalParameters 中的参数，该实现可作为基础框架进行扩展。