基于 Q-learning 算法的机器人迷宫路径规划与 Matlab 实现

2.2.1 Q 函数与贝尔曼方程

Q 函数（动作价值函数）用于评估在某个状态 s 下执行某个动作 a 的预期累积奖励，记为 Q(s,a)。Q 值的大小反映了在该状态下执行该动作的优劣程度，Q 值越大，说明该动作越有可能带来更大的长期累积奖励。

Q-learning 算法基于贝尔曼最优方程更新 Q 值，贝尔曼最优方程描述了最优 Q 值与即时奖励、未来预期奖励之间的关系，其表达式为：

$$Q^(s,a) = E[R_{t+1} + \gamma \max_{a'} Q^(s',a') | s_t = s, a_t = a]$$

其中，$Q^(s,a)$表示状态 s 下执行动作 a 的最优 Q 值；$R_{t+1}$表示执行动作 a 后得到的即时奖励；$\gamma$表示折扣因子（0≤γ<1），用于平衡即时奖励与未来奖励的权重，γ越接近 1，说明智能体越重视未来奖励；$s'$表示执行动作 a 后转移到的新状态；$\max_{a'} Q^(s',a')$表示新状态 s'下所有可能动作的最大 Q 值，即未来奖励的最大预期。

2.2.2 Q 值更新规则

在实际学习过程中，Q 值通过迭代更新逐步逼近最优 Q 值，其更新公式为：

$$Q(s_t,a_t) \leftarrow Q(s_t,a_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \max_{a'} Q(s_{t+1},a') - Q(s_t,a_t)]$$

其中，$\alpha$表示学习率（0<α≤1），用于控制新知识的吸收速度，α越大，新信息对 Q 值的影响越大，学习速度越快，但可能导致 Q 值震荡；α越小，学习越稳定，但收敛速度越慢；$s_t$、$a_t$分别表示 t 时刻的状态和动作；$s_{t+1}$表示 t+1 时刻的新状态。

2.2.3 ε-贪婪策略

为了平衡算法的探索（Exploration）与利用（Exploitation），Q-learning 算法采用ε-贪婪策略选择动作。探索是指机器人尝试新的动作，可能发现更优的路径；利用是指机器人选择当前 Q 值最大的动作，充分利用已学习的知识。

ε-贪婪策略的具体规则为：以概率ε随机选择一个动作（探索），以概率 1-ε选择当前状态下 Q 值最大的动作（利用）。其中，ε的取值范围为[0,1]，ε越大，探索概率越高；ε越小，利用概率越高。在学习过程中，通常采用ε衰减策略，即随着迭代次数的增加，ε逐渐减小，初期以探索为主，后期以利用为主，既保证了算法的探索能力，又能快速收敛到最优策略。

2.3 机器人迷宫路径规划核心要素

机器人迷宫路径规划的核心是将迷宫环境转化为算法可处理的数学模型，明确状态空间、动作空间和奖励函数三个核心要素，为 Q-learning 算法的应用奠定基础。

1. 状态空间：将迷宫离散化为二维栅格地图，每个栅格对应一个状态，通常用栅格的坐标（x,y）或栅格编号表示机器人的位置状态。例如，在 N×M 的迷宫中，状态空间的大小为 N×M，每个状态唯一对应机器人的一个位置。
2. 动作空间：定义机器人的可行移动动作，通常包括上、下、左、右四个方向，若机器人移动越界或碰撞障碍物，则保持原状态不变。动作空间的大小为 4，每个动作对应一个移动方向。
3. 奖励函数：奖励函数是强化学习的核心驱动力，用于给机器人的动作反馈奖励信号，引导机器人学习最优策略。合理的奖励函数设计直接影响算法的收敛速度和路径质量，通常采用'正向激励 + 负向惩罚'的设计原则：到达终点给予较高的正向奖励（如 +10~+100）；碰撞障碍物给予负向惩罚（如 -10）；无效移动（如原地不动、往复移动）给予轻微负向惩罚（如 -1）；部分研究还会加入方向性奖励，如机器人靠近目标点时逐步增加奖励，引导机器人快速向目标移动。

3 基于 Q-learning 的机器人迷宫路径规划实现

3.1 迷宫环境建模

本文采用栅格法构建迷宫环境模型，将迷宫抽象为二维栅格地图，明确栅格的类型和坐标规则，为机器人的路径探索提供环境基础。

1. 栅格类型定义：将栅格分为三种类型，分别是可通行栅格（白色）、障碍物栅格（黑色）、目标栅格（黄色），其中可通行栅格表示机器人可以自由移动的区域，障碍物栅格表示机器人无法穿越的区域，目标栅格表示机器人的终点位置。同时定义起点栅格，作为机器人的初始位置。
2. 坐标规则：以迷宫左上角为原点（0,0），水平向右为 x 轴正方向，垂直向下为 y 轴正方向，每个栅格的坐标（x,y）唯一确定其在迷宫中的位置。例如，在 3×3 的简单迷宫中，起点坐标为（0,0），终点坐标为（2,2），障碍物坐标为（1,1），即可构建一个简单的迷宫环境。
3. 环境参数设置：根据实验需求，设置不同规模的迷宫环境，包括小型迷宫（4×3）、中型迷宫（10×10）和大型迷宫（36×36），分别用于验证算法在不同复杂度环境中的性能。

3.2 Q-learning 算法参数设置

算法参数的设置直接影响 Q-learning 算法的收敛速度和路径规划效果，结合迷宫路径规划的特点，本文设置的核心参数如下：

1. 学习率α：取值为 0.1~0.5，初始设置为 0.2，控制 Q 值的更新步长，平衡学习速度与稳定性。
2. 折扣因子γ：取值为 0.9~0.99，设置为 0.9，表明机器人更重视未来奖励，鼓励机器人探索长远最优路径。
3. 探索率ε：初始值设置为 0.7，采用ε衰减策略，每迭代一次，ε=ε×0.995，直至衰减到最小值 0.01，平衡算法的探索与利用。
4. 迭代次数：根据迷宫规模设置，小型迷宫迭代次数为 200 次，中型迷宫为 500 次，大型迷宫为 1200 次，确保算法能够充分学习并收敛到最优策略。
5. Q 表初始化：Q 表的维度为状态数×动作数，初始值设置为 0 或小随机数，代表机器人初始对环境的无知，随着学习的进行逐步更新 Q 值。

3.3 路径规划流程设计

基于 Q-learning 算法的机器人迷宫路径规划流程主要包括初始化、迭代学习、路径提取三个阶段，具体流程如下：

3.3.1 初始化阶段

1. 构建迷宫栅格地图，定义起点、终点、障碍物的位置，明确状态空间和动作空间；
2. 初始化 Q 表，将所有状态 - 动作对的 Q 值设置为 0；
3. 设置算法核心参数（α、γ、ε、迭代次数等）；
4. 将机器人置于起点位置，初始化当前状态为起点状态。

3.3.2 迭代学习阶段

迭代学习阶段是 Q-learning 算法的核心，机器人通过与环境的交互，不断更新 Q 表，学习最优策略，具体步骤如下：

1. 根据当前状态 s，采用ε-贪婪策略选择动作 a；
2. 执行动作 a，机器人移动到新状态 s'，环境反馈即时奖励 R；
3. 根据 Q 值更新公式，更新当前状态 - 动作对（s,a）的 Q 值；
4. 判断新状态 s'是否为终点状态：若为终点状态，结束当前回合，将机器人重置到起点，进入下一轮迭代；若不为终点状态，将当前状态更新为 s'，重复步骤 1-3，直至达到预设的迭代次数。

3.3.3 路径提取阶段

当算法迭代完成并收敛后，从 Q 表中提取最优路径。具体方法为：从起点状态开始，在每个状态下选择 Q 值最大的动作，移动到新状态，重复此过程，直至到达终点状态，所经过的状态序列即为机器人的最优路径。

4 Q-learning 算法的改进策略

传统 Q-learning 算法在机器人迷宫路径规划中存在明显缺陷：一是收敛速度慢，尤其是在大规模迷宫中，需要大量迭代才能收敛到最优策略；二是易陷入局部最优，由于ε-贪婪策略的局限性，机器人可能长期停留在局部最优路径，无法探索到全局最优路径；三是生成的路径存在冗余拐点，路径平滑性差，影响机器人的移动效率。针对以上问题，本文提出以下改进策略。

4.3 状态空间压缩策略

在大规模迷宫中，状态空间的规模会指数级增加，导致 Q 表维度爆炸，降低算法的运行效率和收敛速度。本文采用层次化 Q-learning 策略，将迷宫划分为多个子区域，每个子区域作为一个子任务，机器人先学习每个子区域内的局部最优路径，再将局部路径整合为全局最优路径。

具体实现方法：将迷宫按照栅格坐标划分为若干个子区域，每个子区域设置一个中间目标点，机器人首先从起点出发，学习到第一个中间目标点的局部最优路径；然后以第一个中间目标点为起点，学习到第二个中间目标点的局部最优路径；依次类推，直至到达终点。通过层次化划分，将大规模状态空间分解为多个小规模状态空间，有效减少 Q 表的维度，提升算法的运行效率和收敛速度。

5 结论与展望

5.1 研究结论

本文围绕基于 Q-learning 算法的机器人迷宫路径规划展开深入研究，通过理论分析、算法设计、仿真实验，得出以下结论：

1. Q-learning 算法作为无模型强化学习算法，无需预先构建环境模型，通过试错学习即可实现机器人在迷宫环境中的自主路径规划，具有良好的适应性和可实现性，适用于未知或动态迷宫环境。
2. 传统 Q-learning 算法在路径规划中存在收敛速度慢、易陷入局部最优、路径平滑性差等缺陷，通过优化奖励函数、采用参数自适应调整和状态空间压缩策略，能够有效改善算法性能。
3. 仿真实验表明，改进后的 Q-learning 算法在收敛速度、路径质量和成功率方面均优于传统 Q-learning 算法，能够适应不同规模的迷宫环境，为机器人自主导航提供了有效的解决方案。

5.2 研究局限性

本文的研究仍存在一些局限性：一是改进算法虽然缓解了维度灾难问题，但在超大规模迷宫（如 100×100 以上）中，Q 表维度仍然较大，算法运行效率有待进一步提升；二是算法主要针对静态迷宫环境进行优化，在动态障碍物密集的环境中，实时性和适应性仍需改善；三是奖励函数和参数调整策略的设计仍有优化空间，可进一步结合环境特征动态调整。

5.3 未来展望

针对本文的研究局限性，未来的研究方向主要包括以下几个方面：

1. 结合深度学习技术，采用 DQN、BiLSTM-D3QN 等深度强化学习算法替代传统 Q 表，解决高维状态空间中的维度灾难问题，提升算法在大规模迷宫环境中的性能。
2. 研究多智能体协作路径规划，多个机器人共享 Q 表，协同探索迷宫环境，提高路径规划的效率和可靠性，适用于复杂场景中的多机器人导航任务。
3. 引入迁移学习技术，将已训练好的 Q 值模型应用于相似的迷宫环境中，减少重复训练时间，提升算法的泛化能力。
4. 结合硬件加速技术（如 FPGA），实现 Q 表的并行更新，提升算法的实时性，满足实际机器人导航的实时需求。