进阶数据结构： AVL树
嘿，各位技术潮人！好久不见甚是想念。生活就像一场奇妙冒险，而编程就是那把超酷的万能钥匙。此刻，阳光洒在键盘上，灵感在指尖跳跃，让我们抛开一切束缚，给平淡日子加点料，注入满满的passion。准备好和我一起冲进代码的奇幻宇宙了吗？Let's go！
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AVL相关概念：
AVL树是由二叉搜索树加上一定的限制而形成的树，AVL树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL树引入了平衡因子这个概念，每个节点都有平衡因子，任何节点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说AVL树的每个节点的平衡因子等于1/-1/0，但AVL树不是必须要平衡因子，但引入平衡因子能让我们更方便去观察和控制树是否平衡。
AVL因为它的平衡条件，使得我们树的高度可以控制在logN，那么搜索的时间复杂度也就是logN咯，相比于二叉搜索树有了质的提升。
AVL树的结构
#include<utility> using namespace std; template<class K, class V> struct AVLTreeNode { pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; int _bf;//平衡因子 AVLTreeNode(pair<K, V> kv) : _kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , bf(0) { } }; template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: //... private: Node* _root = nullptr; }; Insert
我们要插入一个值在AVL树中的前半过程和二叉平衡树一样，都是先找到要插入的位置然后插入，插入后就有一点不一样了，在AVL树中最重要的要进行更新平衡因子，也就是_bf。
平衡因子的更新：
平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度，只有子树发生了变换我们才会影响平衡因子，也就是我们插入节点，会增加高度，如果我们插入的节点在parent的右侧parent的平衡因子++，反之--，parent的变化也影响着我们是否要继续向上更新平衡因子。1.更新过后parent的平衡因子等于0更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
2.更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向 上更新。
3.更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束
4.不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。
插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现：
bool Insert(pair<K, V> kv) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; //插入操作 while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if(cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { //插入失败 return false; } } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else parent->_left = cur; cur->_parent = parent; //更新平衡因子 while (parent) { if (cur = parent->_right) { parent->_bf++; } else if (cur = parent->_left) { parent->_bf--; } if (parent->_bf == 0) break; else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //继续更新 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //旋转操作 //... break; } else assert(false); } return true; }旋转
右旋：
当出现这种情况时，我们可以将根节点拿下来称为3节点的右树，
这就叫作右旋，我们再一般化一下：
我们仅仅需要改变三个节点的指向就可以了。
当parent的平衡因子为-2且cur的平衡因子为-1的时候就右旋，将根节点旋下来，将subL的右子树给parent的左子树。
实现如下：
void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; Node* ppnode = parent->_parent; if (subLR) subLR->_parent = parent; parent->_left = subLR; parent->_parent = subL; subL->_right = parent; if (parent == _root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { subL->_parent = ppnode; if (ppnode->_right = parent) ppnode->_right = subL; else if ppnode->_left = subL; } parent->_bf = subL->_bf = 0; }左单旋：
左单旋就是一样的思路咯，就不一一继续赘述了，当parent的平衡因子等于2且cur的平衡因子等于1时要进行左单旋。
代码：
void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subL->_left; Node* ppnode = parent->_parent; if (subRL) subRL->_parent = parent; parent->_right = subRL; parent->_parent = subR; subR->_left = parent; if (parent == _root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { subR->_parent = ppnode; if (ppnode->_right = parent) ppnode->_right = subR; else if ppnode->_left = subR; } parent->_bf = subR->_bf = 0; }右左双旋：
当出现这种情况时，我们无论是左单旋还是右单旋，都无法将它变成AVL平衡树，
将它左旋只会就成了这个玩意。
我们正确的解决方法是什么呢 我们可以将5节点进行右旋，最后左旋3号节点：
我们再来特殊化处理一下：
但我们在b点插入还有点讲究：
这是三种情况，我们就来实现一下代码吧：
void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(subR); RotateL(parent); if (bf == 1) { subRL->_bf = subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) { subRL->_bf = parent->_bf = 0; subR->_bf = -1; } else if (bf == 0) { parent->_bf = subR->_bf = 0; } else { assert(false); } }同样的 来看看
左右双旋：
代码如下：
void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subR->_right; int bf = subRL->_bf; RotateR(subL); RotateL(parent); if (bf == 1) { subLR->_bf = subL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) { subLR->_bf = parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if (bf == 0) { parent->_bf = subL->_bf = 0; } else { assert(false); } }完整的插入：
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) // 新增：处理根节点为空 { _root = new Node(kv); return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; //插入操作 while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { //插入失败 return false; } } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else parent->_left = cur; cur->_parent = parent; //更新平衡因子 while (parent) { if (cur == parent->_right) { parent->_bf++; } else if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } if (parent->_bf == 0) break; else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //继续更新 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) RotateR(parent); else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) RotateL(parent); else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) RotateLR(parent); else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) RotateRL(parent); break; } else assert(false); } return true; }其他简单的操作：
Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } int Size() { return _Size(_root); } int Height() { return _Height(_root); } bool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); } private: int _Size(Node* root) { return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; } int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } bool _IsBalanceTree(Node* root) { // 空树也是AVL树 if (nullptr == root) return true; // 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差 int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); int diff = rightHeight - leftHeight; // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树 if (abs(diff) >= 2) { cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl; return false; } if (root->_bf != diff) { cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl; return false; } // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); }测试：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include<iostream> using namespace std; #include"AVLTree.h" // 测试代码 void TestAVLTree1() { AVLTree<int, int> t; // 常规的测试用例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; // 特殊的带有双旋场景的测试用例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; for (auto e : a) { if (e == 18) { int x = 0; } t.Insert({ e, e }); std::cout << "Insert" << e << "->"; cout << t.IsBalanceTree() << endl; } t.InOrder(); cout << t.IsBalanceTree() << endl; } #include<vector> // 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等 void TestAVLTree2() { const int N = 10000000; vector<int> v; v.reserve(N); srand(time(0)); for (size_t i = 0; i < N; i++) { v.push_back(rand() + i); } size_t begin2 = clock(); AVLTree<int, int> t; for (auto e : v) { t.Insert(make_pair(e, e)); } size_t end2 = clock(); cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl; cout << t.IsBalanceTree() << endl; cout << "Height:" << t.Height() << endl; cout << "Size:" << t.Size() << endl; size_t begin1 = clock(); // 确定在的值 /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/ // 随机值 for (size_t i = 0; i < N; i++) { t.Find((rand() + i)); } size_t end1 = clock(); cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl; } int main() { TestAVLTree2(); return 0; }
