Python--科赫雪花--数学原理--turtle绘图
科赫雪花
科赫雪花于1904年由瑞士数学家黑格尔-冯-科赫提出，是一种分形，即一种不断放大时会重复自己的图形。分形源自递归，递归操作本身就是在重复使用自己定义自己。其图片如下：
递归的基础知识
递归操作的基本步骤
step1：定义一个基线条件，达到条件时，自动结束递归
step2：写一个算法可能用到多次递归
阶层的表达式就是一个经典的递归，
def factorial(N): if N == 1 return 1 else: return N*factorial(N-1)循环与递归的选择方面：各有千秋，递归优雅紧凑，循环高效快捷，本节我们将用递归绘制分形。
数学内容补充
垂直向量计算技巧：已知点A（a,b），当点 B为B (-b,a) 时，
从空间中的一点A沿着向量n出发,到达点B的坐标运算公式：
已知线段的两个端点A和B，求其上面任意一点C的坐标公式， 其中a为点A到点C的距离，b为点B到点C的距离
科赫雪花的相关参数计算
这是科赫雪花的第一个片段，我们一共需要3个相连接的片段。
海龟turtle绘图
绘制三角形--热身
t.up()/t.down()：海龟绘图的核心操作，抬笔移动不画线，落笔移动才画线，这里用来 “跳” 到指定坐标，避免画多余的线；setpos(x,y)：等价于goto(x,y)，让画笔移动到指定坐标，落笔时会画直线；
triangle.py
import turtle def draw_triangle(x1, y1, x2, y2, x3, y3,t): t.up() t.setpos(x1, y1) t.down() t.setpos(x2, y2) t.setpos(x3, y3) t.setpos(x1, y1) t.up() def main(): print('testing turtle graphics...') # 创建海龟对象 t = turtle.Turtle() # 隐藏海龟图标 t.hideturtle() # 调用函数，传入海龟对象和坐标,确保绘制完成后不会关闭tkinter窗口 draw_triangle(t, -100, 0, 0, 173.2, 100, 0) turtle.mainloop() if __name__ == "__main__": main()
绘制科赫雪花--实践
第一步：把原始大线段 (x1,y1)→(x2,y2) 拆成 4 段更小的线段（科赫雪花的规则）：
- 第 1 段：
(x1,y1) → p1（三等分第一个点） - 第 2 段：
p1 → p2（等边三角形的第一条边） - 第 3 段：
p2 → p3（等边三角形的第二条边） - 第 4 段：
p3 → (x2,y2)（三等分第二个点）
第二步：对这 4 条小线段，重复调用同一个函数（递归），让每条小线段也执行 “拆分成 4 段 / 直接画” 的逻辑 —— 所以形参变成了每条小线段的 “起点 + 终点”。
koch.py
import turtle import math # drawKochSF()计算点的坐标 def drawKochSF(x1, y1, x2, y2, t): d = math.sqrt((x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2)) r = d/3.0 h = r*math.sqrt(3)/2.0 p3 = ((x1 + 2*x2)/3.0, (y1 + 2*y2)/3.0) p1 = ((2*x1 + x2)/3.0, (2*y1 + y2)/3.0) c = (0.5*(x1+x2), 0.5*(y1+y2)) n = ((y1-y2)/d, (x2-x1)/d) p2 = (c[0]+h*n[0], c[1]+h*n[1]) # 递归 if d > 10: # flake #1/片段 drawKochSF(x1, y1, p1[0], p1[1], t) # flake #2/片段 drawKochSF(p1[0], p1[1], p2[0], p2[1], t) # flake #3/片段 drawKochSF(p2[0], p2[1], p3[0], p3[1], t) # flake #4/片段 drawKochSF(p3[0], p3[1], x2, y2, t) else: # draw cone t.up() t.setpos(p1[0], p1[1]) t.down() t.setpos(p2[0], p2[1]) t.setpos(p3[0], p3[1]) # draw sides t.up() t.setpos(x1, y1) t.down() t.setpos(p1[0], p1[1]) t.up() t.setpos(p3[0], p3[1]) t.down() t.setpos(x2, y2) # main() function def main(): print('Drawing the Koch Snowflake...') t = turtle.Turtle() t.hideturtle() # draw try: drawKochSF(-100, 0, 100, 0, t) drawKochSF(0, -173.2, -100, 0, t) drawKochSF(100, 0, 0, -173.2, t) except: print("Exception, exiting.") exit(0) # wait for user to click on screen to exit turtle.Screen().exitonclick() # call main if __name__ == '__main__': main() try-except 代码块，异常捕获机制，专门用来处理绘制过程中可能出现的错误，避免程序直接崩溃。
- 递归阈值：线段长度
d > 10时递归拆分，d ≤ 10时执行else里的绘制逻辑； - 雪花由 3 条线段组成：
(-100,0)→(100,0)、(0,-173.2)→(-100,0)、(100,0)→(0,-173.2)；
阶段 1：程序启动与初始化
if __name__ == '__main__': main() # 调用主函数- 执行
main()函数，首先打印提示：Drawing the Koch Snowflake...； - 创建海龟画笔对象：
t = turtle.Turtle()，隐藏画笔箭头：t.hideturtle()（画笔默认速度，无加速）； - 进入
try代码块，准备依次绘制 3 条科赫边。
阶段 2：绘制第一条边 drawKochSF(-100, 0, 100, 0, t)
步骤 1：计算几何参数（第一次调用）
- 线段长度
d = √[(-100-100)² + (0-0)²] = 200（>10，触发递归）； - 三等分长度
r = 200/3 ≈ 66.67，等边三角形高h = 66.67×√3/2 ≈ 57.74； - 三等分点：
p1 = (2×(-100)+100)/3, (2×0+0)/3 = (-33.33, 0)；p3 = (-100+2×100)/3, (0+2×0)/3 = (33.33, 0)； - 线段中点
c = (0, 0)； - 法向量
n = (0-0)/200, (100-(-100))/200 = (0, 1)； - 凸起顶点
p2 = (0 + 57.74×0, 0 + 57.74×1) = (0, 57.74)。
步骤 2：递归拆分（d=200>10）
函数不绘制，而是拆成 4 段，依次递归调用自身：
- 调用 1：
drawKochSF(-100, 0, -33.33, 0, t)→ 处理第一段（起点→p1）； - 调用 2：
drawKochSF(-33.33, 0, 0, 57.74, t)→ 处理第二段（p1→p2）； - 调用 3：
drawKochSF(0, 57.74, 33.33, 0, t)→ 处理第三段（p2→p3）； - 调用 4：
drawKochSF(33.33, 0, 100, 0, t)→ 处理第四段（p3→终点）。
步骤 3：递归深入（直到 d ≤ 10）
以「调用 1：drawKochSF(-100, 0, -33.33, 0, t)」为例，继续拆解：
- 计算该线段长度
d = √[(-100+33.33)² + 0] ≈ 66.67（>10，继续拆）； - 计算该段的
p1/p2/p3（比如新 p1≈-77.78，新 p3≈-55.56，新 p2≈-66.67, 19.25）； - 再次拆成 4 段，递归调用……
- 这个过程会持续，直到某次计算出的
d ≤ 10（比如拆到第 3 层，d≈7.41），触发else分支。
else: # 1. 绘制“凸起”：p1→p2→p3 t.up() t.setpos(p1[0], p1[1]) # 移动到当前短线段的p1 t.down() t.setpos(p2[0], p2[1]) # 画p1→p2 t.setpos(p3[0], p3[1]) # 画p2→p3 # 2. 绘制两端：起点→p1，p3→终点 t.up() t.setpos(x1, y1) # 移动到当前短线段的起点 t.down() t.setpos(p1[0], p1[1]) # 画起点→p1 t.up() t.setpos(p3[0], p3[1]) # 移动到当前短线段的p3 t.down() t.setpos(x2, y2) # 画p3→终点步骤 5：递归回溯
完成当前短线段的绘制后，函数执行完毕，回到上一层递归调用，继续处理下一段，直到第一层递归的 4 段都处理完，第一条边绘制结束。
阶段 3：绘制第二、第三条边（重复阶段 2）
- 调用
drawKochSF(0, -173.2, -100, 0, t)：- 计算该线段长度≈200（>10），递归拆分→直到 d≤10，执行你的
else绘制逻辑； - 这条边是「(0,-173.2)→(-100,0)」，是倒置等边三角形的左斜边；
- 计算该线段长度≈200（>10），递归拆分→直到 d≤10，执行你的
- 调用
drawKochSF(100, 0, 0, -173.2, t)：- 同理，递归拆分→绘制，是倒置等边三角形的右斜边。
阶段 4：程序收尾
- 3 条边的递归绘制全部完成（无论图形是否正常）；
- 执行
turtle.Screen().exitonclick()：等待你点击画布，程序退出；
若绘制中出现任何错误（比如递归深度超限、坐标计算异常），触发 except 块：打印 Exception, exiting. 并退出程序。
