科赫雪花
科赫雪花于 1904 年由瑞士数学家黑格尔 - 冯 - 科赫提出，是一种分形，即一种不断放大时会重复自己的图形。分形源自递归，递归操作本身就是在重复使用自己定义自己。其图片如下：
Python算法
Python 科赫雪花绘制：数学原理与 turtle 实现
介绍科赫雪花的分形数学原理及递归概念。利用 Python turtle 库，通过递归函数将线段三等分并构建等边三角形凸起来绘制雪花。包含垂直向量计算、坐标公式推导及代码实现步骤，展示从基础三角形到完整雪花的生成过程。
介绍科赫雪花的分形数学原理及递归概念。利用 Python turtle 库，通过递归函数将线段三等分并构建等边三角形凸起来绘制雪花。包含垂直向量计算、坐标公式推导及代码实现步骤，展示从基础三角形到完整雪花的生成过程。
科赫雪花于 1904 年由瑞士数学家黑格尔 - 冯 - 科赫提出，是一种分形，即一种不断放大时会重复自己的图形。分形源自递归，递归操作本身就是在重复使用自己定义自己。其图片如下：
Step 1： 定义一个基线条件，达到条件时，自动结束递归。
Step 2： 写一个算法可能用到多次递归。
阶层的表达式就是一个经典的递归：
def factorial(N):
if N == 1:
return 1
else:
return N * factorial(N - 1)
循环与递归的选择方面：各有千秋，递归优雅紧凑，循环高效快捷，本节我们将用递归绘制分形。
垂直向量计算技巧：已知点 A（a,b），当点 B 为 B (-b,a) 时：
从空间中的一点 A 沿着向量 n 出发，到达点 B 的坐标运算公式：
已知线段的两个端点 A 和 B，求其上面任意一点 C 的坐标公式，其中 a 为点 A 到点 C 的距离，b 为点 B 到点 C 的距离：
这是科赫雪花的第一个片段，我们一共需要 3 个相连接的片段。
t.up() / t.down()：海龟绘图的核心操作，抬笔移动不画线，落笔移动才画线，这里用来'跳'到指定坐标，避免画多余的线；setpos(x,y)：等价于 goto(x,y)，让画笔移动到指定坐标，落笔时会画直线；import turtle
def draw_triangle(x1, y1, x2, y2, x3, y3, t):
t.up()
t.setpos(x1, y1)
t.down()
t.setpos(x2, y2)
t.setpos(x3, y3)
t.setpos(x1, y1)
t.up()
def main():
print('testing turtle graphics...')
# 创建海龟对象
t = turtle.Turtle()
# 隐藏海龟图标
t.hideturtle()
# 调用函数，传入海龟对象和坐标，确保绘制完成后不会关闭 tkinter 窗口
draw_triangle(t, -100, 0, 0, 173.2, 100, 0)
turtle.mainloop()
if __name__ == "__main__":
main()
第一步：把原始大线段 (x1,y1)→(x2,y2) 拆成 4 段更小的线段（科赫雪花的规则）：
(x1,y1) → p1（三等分第一个点）p1 → p2（等边三角形的第一条边）p2 → p3（等边三角形的第二条边）p3 → (x2,y2)（三等分第二个点）第二步：对这 4 条小线段，重复调用同一个函数（递归），让每条小线段也执行'拆分成 4 段 / 直接画'的逻辑 —— 所以形参变成了每条小线段的'起点 + 终点'。
import turtle
import math
# drawKochSF() 计算点的坐标
def drawKochSF(x1, y1, x2, y2, t):
d = math.sqrt((x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2))
r = d/3.0
h = r*math.sqrt(3)/2.0
p3 = ((x1 + 2*x2)/3.0, (y1 + 2*y2)/3.0)
p1 = ((2*x1 + x2)/3.0, (2*y1 + y2)/3.0)
c = (0.5*(x1+x2), 0.5*(y1+y2))
n = ((y1-y2)/d, (x2-x1)/d)
p2 = (c[0]+h*n[0], c[1]+h*n[1])
# 递归
if d > 10: # flake
# flake #1/片段
drawKochSF(x1, y1, p1[0], p1[1], t)
# flake #2/片段
drawKochSF(p1[0], p1[1], p2[0], p2[1], t)
# flake #3/片段
drawKochSF(p2[0], p2[1], p3[0], p3[1], t)
# flake #4/片段
drawKochSF(p3[0], p3[1], x2, y2, t)
else: # draw cone
t.up()
t.setpos(p1[0], p1[1])
t.down()
t.setpos(p2[0], p2[1])
t.setpos(p3[0], p3[1])
# draw sides
t.up()
t.setpos(x1, y1)
t.down()
t.setpos(p1[0], p1[1])
t.up()
t.setpos(p3[0], p3[1])
t.down()
t.setpos(x2, y2)
# main() function
def main():
print('Drawing the Koch Snowflake...')
t = turtle.Turtle()
t.hideturtle()
# draw
try:
drawKochSF(-100, 0, 100, 0, t)
drawKochSF(0, -173.2, -100, 0, t)
drawKochSF(100, 0, 0, -173.2, t)
except:
print("Exception, exiting.")
exit(0)
# wait for user to click on screen to exit
turtle.Screen().exitonclick()
# call main
if __name__ == '__main__':
main()
try-except 代码块，异常捕获机制，专门用来处理绘制过程中可能出现的错误，避免程序直接崩溃。
d > 10 时递归拆分，d ≤ 10 时执行 else 里的绘制逻辑；(-100,0)→(100,0)、(0,-173.2)→(-100,0)、(100,0)→(0,-173.2)；if __name__ == '__main__':
main() # 调用主函数
main() 函数，首先打印提示：Drawing the Koch Snowflake...；t = turtle.Turtle()，隐藏画笔箭头：t.hideturtle()（画笔默认速度，无加速）；try 代码块，准备依次绘制 3 条科赫边。drawKochSF(-100, 0, 100, 0, t)d = √[(-100-100)² + (0-0)²] = 200（>10，触发递归）；r = 200/3 ≈ 66.67，等边三角形高 h = 66.67×√3/2 ≈ 57.74；p1 = (2×(-100)+100)/3, (2×0+0)/3 = (-33.33, 0)；p3 = (-100+2×100)/3, (0+2×0)/3 = (33.33, 0)；c = (0, 0)；n = (0-0)/200, (100-(-100))/200 = (0, 1)；p2 = (0 + 57.74×0, 0 + 57.74×1) = (0, 57.74)。函数不绘制，而是拆成 4 段，依次递归调用自身：
drawKochSF(-100, 0, -33.33, 0, t) → 处理第一段（起点→p1）；drawKochSF(-33.33, 0, 0, 57.74, t) → 处理第二段（p1→p2）；drawKochSF(0, 57.74, 33.33, 0, t) → 处理第三段（p2→p3）；drawKochSF(33.33, 0, 100, 0, t) → 处理第四段（p3→终点）。以「调用 1：drawKochSF(-100, 0, -33.33, 0, t)」为例，继续拆解：
d = √[(-100+33.33)² + 0] ≈ 66.67（>10，继续拆）；p1/p2/p3（比如新 p1≈-77.78，新 p3≈-55.56，新 p2≈-66.67, 19.25）；d ≤ 10（比如拆到第 3 层，d≈7.41），触发 else 分支。else:
# 1. 绘制'凸起'：p1→p2→p3
t.up()
t.setpos(p1[0], p1[1]) # 移动到当前短线段的 p1
t.down()
t.setpos(p2[0], p2[1]) # 画 p1→p2
t.setpos(p3[0], p3[1]) # 画 p2→p3
# 2. 绘制两端：起点→p1，p3→终点
t.up()
t.setpos(x1, y1) # 移动到当前短线段的起点
t.down()
t.setpos(p1[0], p1[1]) # 画起点→p1
t.up()
t.setpos(p3[0], p3[1]) # 移动到当前短线段的 p3
t.down()
t.setpos(x2, y2) # 画 p3→终点
完成当前短线段的绘制后，函数执行完毕，回到上一层递归调用，继续处理下一段，直到第一层递归的 4 段都处理完，第一条边绘制结束。
drawKochSF(0, -173.2, -100, 0, t)：
else 绘制逻辑；drawKochSF(100, 0, 0, -173.2, t)：
turtle.Screen().exitonclick()：等待你点击画布，程序退出；若绘制中出现任何错误（比如递归深度超限、坐标计算异常），触发 except 块：打印 Exception, exiting. 并退出程序。
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