汽车雷达多径环境下幽灵目标检测技术解析

其中：

• $\alpha_k$、$\beta_{k,1}$ 和 $\beta_{k,2}$ 分别表示第 $k$ 个直接路径和第 $k$ 对一阶路径的复振幅。
• $\theta_k$ 表示第 $k$ 个直接路径的 DOD，等于 DOA。
• $\vartheta_k$ 和 $\phi_k$ 表示第 $k$ 对一阶路径的 DOD 和 DOA，其中 $\vartheta_k \neq \phi_k$。
• $f_d$ 是归一化多普勒频率。
• $\mathbf{a}_T(\cdot)$ 和 $\mathbf{a}_R(\cdot)$ 是导向矢量。

导向矢量具体定义为：

$$ \mathbf{a}T(\theta) = \frac{1}{\sqrt{M_T}}\left[e^{j2\pi d{T,1}\sin(\theta)/\lambda}, \ldots, e^{j2\pi d_{T,M_T}\sin(\theta)/\lambda}\right]^T $$

$$ \mathbf{a}R(\phi) = \frac{1}{\sqrt{M_R}}\left[e^{j2\pi d{R,1}\sin(\phi)/\lambda}, \ldots, e^{j2\pi d_{R,M_R}\sin(\phi)/\lambda}\right]^T $$

其中 $\theta$ 和 $\phi$ 分别表示 $\mathbf{a}T(\cdot)$ 和 $\mathbf{a}R(\cdot)$ 的角度，$\lambda$ 表示波长，$d{T,m}$ 和 $d{R,n}$ 表示 TX 和 RX 元素相对于参考阵列的相对距离。

定义 $\mathbf{P}(f_d) = \text{diag}(1, e^{j2\pi f_d}, \cdots, e^{j2\pi f_d(L-1)})$，接收数据矩阵为：

$$ \mathbf{Y} = \sum_{k=1}^{K_0} \alpha_k \mathbf{a}R(\theta_k)\mathbf{a}T^T(\theta_k)\mathbf{X}\mathbf{P}(f_d) + \sum{k=1}^{K_1} \beta{k,1} \mathbf{a}R(\phi_k)\mathbf{a}T^T(\vartheta_k)\mathbf{X}\mathbf{P}(f_d) + \sum{k=1}^{K_1} \beta{k,2} \mathbf{a}_R(\vartheta_k)\mathbf{a}_T^T(\phi_k)\mathbf{X}\mathbf{P}(f_d) + \mathbf{W} $$

经过匹配滤波 $\mathbf{Z} = \mathbf{Y}(\mathbf{X}\mathbf{P}(f_d))^H$ 并向量化后，虚拟 MIMO 阵列信号的一般模型为：

$$ \mathbf{z} = (\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{\beta} + \mathbf{r} $$

其中 $\mathbf{R}_x = \mathbf{X}^*\mathbf{X}^T$，$\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi}) = \mathbf{A}_T(\boldsymbol{\Theta}) \circ \mathbf{A}_R(\boldsymbol{\Phi})$ 表示响应矩阵。

3. 多径检测

3.1 GLRT 检测器

幽灵检测相当于解决耦合的检测 - 估计问题，需区分复合假设 $H_0$（仅含直接路径）与复合替代假设 $H_1$（含直接及一阶路径）。假设矩阵已知，复合二元假设检验如下：

$$ \begin{cases} H_0: \mathbf{z} = (\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}_0)\boldsymbol{\alpha} + \mathbf{r} \ H_1: \mathbf{z} = (\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{\beta} + \mathbf{r} \end{cases} $$

其中 $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{C}^{K_0 \times 1}$ 和 $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{C}^{(K_0+2K_1) \times 1}$ 是未知参数。噪声协方差满足 $\mathbb{E}(\mathbf{r}\mathbf{r}^H) = \sigma^2\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R}$，即 $\mathbf{r} \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2\boldsymbol{\Sigma}_x)$。通过噪声白化变换，测试变为：

$$ \begin{cases} H_0: \bar{\mathbf{z}} \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{\Sigma}_x^{1/2}\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}0)\boldsymbol{\alpha}, \sigma^2\mathbf{I}{M_T M_R}) \ H_1: \bar{\mathbf{z}} \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{\Sigma}x^{1/2}\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{\beta}, \sigma^2\mathbf{I}{M_T M_R}) \end{cases} $$

其中 $\bar{\mathbf{z}} = \boldsymbol{\Sigma}_x^{-1/2}\mathbf{z}$。GLRT 统计量为：

$$ T_{GLRT} = \frac{|\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}_0)\bar{\mathbf{z}}|^2}{|\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\bar{\mathbf{z}}|^2} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} \lambda_G $$

其中 $\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}_0)$ 和 $\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})$ 是相应的正交投影矩阵。

3.2 性能界限和波形优化

图 2 描述：图 2 显示了虚警概率 $P_{fa}$ 与检测阈值 $\lambda_G$ 的关系。随着 $K_1$ 增加，给定阈值下的虚警概率降低，因为假设间的可区分性增加。

在 $H_0$ 下，测试统计量比率 $X$ 具有 Fisher-Snedecor 分布。虚警概率和检测概率的闭式表达式推导如下：

$$ P_{fa} = 1 - \frac{1}{B(2K_1; m)} \sum_{i=0}^{m-1} (-1)^i \binom{m-1}{i} \frac{2K_1 + i}{(1 - 1/\lambda_G)^{2K_1+i}} $$

$$ P_d = 1 - \frac{1}{B(2K_1; m)} \sum_{i=0}^{m-1} (-1)^i \binom{m-1}{i} \frac{2K_1 + i}{\left(\frac{\lambda_G - 1}{\lambda_G + \rho_1}\right)^{2K_1+i}} $$

其中 $\rho_1$ 是品质因数。波形优化问题可形式化为半定规划（SDP）问题：

$$ \begin{align} \max_{\mathbf{R}_x, \boldsymbol{\Pi}} \quad & \text{Tr}\left(\mathbf{E}^H(\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{E} - \boldsymbol{\Pi}\right) \ \text{s.t.} \quad & [\mathbf{R}x]{m,m} = 1, \quad m = 1, 2, \cdots, M_T \ & \boldsymbol{\Lambda} \succeq 0 \ & |\mathbf{R}x - \mathbf{I}{M_T}|^2 \leq \mu \ & \mathbf{R}_x \succeq 0 \end{align} $$

这是一个凸优化问题，可通过标准求解器有效求解。

4. 多径角度估计

由于测试统计量中的矩阵未知，需开发估计方法。

4.1 $H_0$ 假设下的估计器

我们提出一种迭代过程解决角度估计问题。定义 $\mathbf{r}^{(t)}$ 为第 $t$ 次迭代中的残差。直接路径角度集合初始化为空集。

在第 $t$ 次迭代中，插入一条路径到集合中。通过评估以下式子最小化残差的 2-范数：

$$ \hat{\theta}^{(t)} = \arg\max_{\theta^{(t)} \in {\tilde{\theta}_1, \tilde{\theta}_2, \cdots, \tilde{\theta}_G}} \left|(\mathbf{r}^{(t-1)})^H \bar{\mathbf{a}}(\theta^{(t)})\right| $$

随后通过 Gauss-Newton (GN) 迭代来增强此估计的准确性：

$$ \boldsymbol{\Theta}_0^{(t,i+1)} = \boldsymbol{\Theta}_0^{(t,i)} - (\mathbf{H}_0^{(t,i)})^{-1}\mathbf{g}_0^{(t,i)} $$

4.2 $H_1$ 假设下的估计器

在 $H_1$ 下，算法扩展为同时估计直接路径和一阶路径的角度。为减少干扰，分别在两条路径上实现估计过程。

搜索额外一阶路径对的粗略估计通过在两个均匀网格上搜索获得。由于混合路径可能导致 Hessian 秩缺陷，GN 方法可能不稳定。因此，我们采用 LM 方法来更新角度估计，引入阻尼参数 $\mu^{(t,i)}$ 并通过增益比控制。

5. 仿真和实验结果

5.1 仿真设置

图 5 描述：图 5(a) 为均匀线性阵列（ULA），图 5(b) 为稀疏线性阵列（SLA）。虚拟阵列由发射和接收阵列卷积形成。

仿真参数：

• 雷达工作频率 79 GHz，波长 $\lambda = 3.8$ mm。
• 发射元素 $M_T = 6$，接收元素 $M_R = 8$。
• 首先使用 ULA 配置，随后验证 SLA 性能。
• 噪声服从方差 $\sigma^2 = 1$ 的高斯分布。
• 路径幅度根据复高斯分布生成。
• 角度空间离散化步长为 2°。

5.2 估计性能

图 6 描述：图 6 显示了不同算法在 ULA 和 SLA 配置下的 RMSE 性能。所提出的 CSCD 方法优于基于网格的 OMP、IAA 和 LASSO 方法，特别是在高 SNR 条件下，这得益于连续域优化避免了网格失配问题。

RMSE 计算参考正确路径估计，公式如下：

$$ \text{RMSE}1 = \sqrt{\frac{1}{M_C} \sum{m=1}^{M_C} \frac{1}{2|\Omega_1^m|} \sum_{j \in \Omega_1^m} \left[(\vartheta_j^{(m)} - \hat{\vartheta}_j^{(m)})^2 + (\phi_j^{(m)} - \hat{\phi}_j^{(m)})^2\right]} $$

$$ \text{RMSE}0 = \sqrt{\frac{1}{M_C} \sum{m=1}^{M_C} \frac{1}{|\Omega_0^m|} \sum_{j \in \Omega_0^m} (\theta_j^{(m)} - \hat{\theta}_j^{(m)})^2} $$

5.3 检测性能

图 7 描述：图 7 比较了相关性。ULA 显示更清晰的主瓣和较低的旁瓣，而 SLA 旁瓣较高，解释了其性能下降原因。

图 8 描述：图 8 展示了不同组合下的检测概率。ULA 情况下 GLRT-CSCD 性能接近理论上界。在所有情况下，所提出的方法均优于 GLRT-OMP、GLRT-LASSO 和 GLRT-IAA。

图 9 描述：图 9 比较了不同自由度下的检测性能。随着系统自由度增加，检测性能提高，但收益逐渐递减，表明存在最优天线配置。

5.4 实验结果

图 10 描述：图 10(a) 为实验环境照片，混凝土墙创建了多径传播条件。图 10(b) 为雷达点云，蓝色椭圆标记了一阶路径引起的幽灵目标。

图 11 描述：图 11 展示了不同方法的检测结果。GLRT-OMP、GLRT-LASSO 和 GLRT-IAA 未能完全移除幽灵目标，甚至误删静止目标。所提出的 GLRT-CSCD 方法有效消除了所有幽灵目标，同时保留了真实目标。

实验数据由 77 GHz MIMO 雷达获得，$M_T = 8$，$M_R = 16$，均匀间隔。

6. 结论

本文研究了汽车雷达在多径存在下的幽灵目标检测。将间接路径建模为二元复合假设检验，提出了 GLRT 检测器以确定延迟 - 多普勒单元中是否存在间接路径。基于完美角度估计下的理论分析，推导了一种凸波形优化方法。考虑到实际场景角度未知，提出了一种稀疏增强的 CS 方法来估计连续域中的角度参数。仿真结果表明，所提出的算法优于现有的基于网格的估计器。提出的检测器虚警率可控，ULA 情况下的检测性能接近理论界限。实验结果进一步证明了该方法的有效性。

附录

附录 A：$H_0$ 下梯度和 Hessian 矩阵的推导

省略函数上标和输入变量，定义 $F = \mathbf{f}^H\mathbf{f}$，其中 $\mathbf{f} = \bar{\mathbf{z}} - \bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{A}}^\dagger\bar{\mathbf{z}}$。$F$ 相对于 $\boldsymbol{\Theta}_0$ 的梯度计算为：

$$ \mathbf{g}0 = \left[\frac{\partial F}{\partial \theta_1}, \frac{\partial F}{\partial \theta_2}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial \theta{K_0}}\right]^T $$

其中第 $q$ 个元素给出为 $\frac{\partial F}{\partial \theta_q} = 2\text{Re}\left(\left(\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \theta_q}\right)^H \mathbf{f}\right)$。详细推导见正文相关章节。

附录 B：$H_1$ 下梯度和 Hessian 矩阵的推导

类似地，推导 $\mathbf{g}_T$、$\mathbf{g}_R$、$\mathbf{g}_0$ 及 Hessian 块的矩阵表达式。这些表达式涉及矩阵分块形式以及偏导矩阵的各种组合。