跳到主要内容 机械控制工程与自动控制原理期末复习：核心考点与真题解析 | 极客日志
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机械控制工程与自动控制原理期末复习：核心考点与真题解析 本课程旨在帮助机械类学子掌握《机械控制工程基础》或《自动控制原理》的核心内容，拒绝枯燥推导，用通俗语言梳理知识体系，助力期末高分及考研复试。 课程核心覆盖 重点攻克拉普拉斯变换、系统数学模型建立、传递函数求法、时域分析、稳态误差计算、根轨迹绘制法则、频域分析、伯德图（Bode 图）画法以及奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据等必考难点。无论你是要应付期末大考，还是准备考研复试，这套高分笔记和名校期…
PhpPioneer 发布于 2026/4/6 更新于 2026/4/13 本课程旨在帮助机械类学子掌握《机械控制工程基础》或《自动控制原理》的核心内容，拒绝枯燥推导，用通俗语言梳理知识体系，助力期末高分及考研复试。
课程核心覆盖
重点攻克拉普拉斯变换、系统数学模型建立、传递函数求法、时域分析、稳态误差计算、根轨迹绘制法则、频域分析、伯德图（Bode 图）画法以及奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据等必考难点。无论你是要应付期末大考，还是准备考研复试，这套高分笔记和名校期末真题解析都能帮你精准避坑！
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专题一：控制系统基本概念与数学模型
🎯 本专题核心目标
理解控制系统的基本原理与结构。
掌握建立系统微分方程 模型的方法。
熟练掌握传递函数 的概念、求取及性质。
掌握方框图化简 和梅森增益公式 求系统传递函数。
1. 控制系统基本概念
1.1 开环与闭环控制
开环控制 ：控制量与被控量之间没有反馈 联系。结构简单，但抗干扰能力差，精度依赖于前校准。
特点 ：输入 → 控制器 → 执行机构 → 被控对象 → 输出
闭环控制（反馈控制） ：利用偏差 进行控制，系统输出量会反馈回来与输入量比较 。
特点 ：输入 → 比较器 → 控制器 → 执行机构 → 被控对象 → 输出 → (反馈环节) → 比较器核心 ：检测偏差，纠正偏差 。具有自动修正被控量偏离的能力，抗干扰性好，但系统可能变得复杂，甚至不稳定。
1.2 控制系统的基本组成
给定元件 ：产生输入信号（期望值）。比较元件 ：将反馈信号与输入信号进行比较，产生偏差信号 。校正/控制元件 ：根据偏差信号，按某种规律（如 P，PI，PID）产生控制信号。放大元件 ：放大控制信号的幅值或功率。执行元件 ：直接驱动被控对象。被控对象 ：需要控制的设备或过程。测量/反馈元件 ：检测被控量并将其转换成与输入信号同类型的反馈信号。
1.3 控制系统分类
按信号传递的形式 ：
连续系统 ：系统中所有信号都是时间的连续函数。离散系统 ：系统中至少有一处信号是离散的（如脉冲序列、数字编码）。
按元件特性 ：
线性系统 ：满足叠加性 和齐次性 。可用线性微分方程描述。非线性系统 ：不满足叠加性和齐次性。含有非线性元件。
按系统参数 ：
定常系统 ：系统参数不随时间变化。时变系统 ：系统参数随时间变化。
1.4 对控制系统的基本要求（性能指标）
稳定性 （稳）：系统受到扰动后，其动态过程会衰减并最终恢复到原平衡状态或跟踪新的指令。是系统正常工作的首要条件 。准确性 （准）：稳态时，系统输出与期望值之间的误差（稳态误差 $e_{ss}$）要小。快速性 （快）：系统的动态过程（如阶跃响应的上升时间、峰值时间、调节时间）要平稳、迅速。
2. 控制系统的数学模型 数学模型是分析和设计控制系统的基础。主要有微分方程 、传递函数 、方框图 、信号流图 等。
2.1 微分方程
步骤 ：
确定输入 $r(t)$ 和输出 $c(t)$。
列写原始方程组。
消去中间变量，得到仅含输入、输出及其各阶导数的方程。
标准化：输出项在左，输入项在右，导数降幂排列。
例题 1：列写微分方程
已知电路系统中，输入为电压 $u_r(t)$，输出为电容电压 $u_c(t)$，$R$ 和 $C$ 为常数。请列写该系统的微分方程。
解 ：根据基尔霍夫电压定律，有：
$u_r(t) = R i(t) + u_c(t)$
对于电容，有 $i(t) = C \frac{du_c(t)}{dt}$。代入上式得：
$u_r(t) = RC \frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t)$
整理成标准形式：
$RC \frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t) = u_r(t)$
2.2 传递函数 (Transfer Function) 🚀重中之重 在零初始条件 下，系统输出量的拉普拉斯变换 与输入量的拉普拉斯变换 之比。
定义式 ：
$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)}$
其中，$C(s) = \mathcal{L}[c(t)]$，$R(s) = \mathcal{L}[r(t)]$，初始条件均为零。性质 ：
只取决于系统本身的结构与参数 ，与输入、初始条件无关。
适用于线性定常连续系统 。
是复变量 s 的有理分式（$s = \sigma + j\omega$）。
传递函数与微分方程一一对应。将微分方程中的微分算子 $\frac{d}{dt}$ 替换为 $s$，$\frac{d^n}{dt^n}$ 替换为 $s^n$ 即可转换。
例题 2：求传递函数
已知系统的微分方程为：
$\frac{d^2c(t)}{dt^2} + 5\frac{dc(t)}{dt} + 6c(t) = 2\frac{dr(t)}{dt} + r(t)$
求其传递函数 $G(s)$。
解 ：在零初始条件下，对等式两边取拉普拉斯变换：
$\mathcal{L}[\frac{d^2c(t)}{dt^2}] = s^2C(s), \quad \mathcal{L}[\frac{dc(t)}{dt}] = sC(s)$
$\mathcal{L}[\frac{dr(t)}{dt}] = sR(s)$
因此有：
$(s^2 + 5s + 6)C(s) = (2s + 1)R(s)$
传递函数为：
$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{2s + 1}{s^2 + 5s + 6}$
典型环节的传递函数 （必须牢记）：
比例环节：$G(s) = K$
积分环节：$G(s) = \frac{1}{s}$
微分环节：$G(s) = s$
惯性环节：$G(s) = \frac{K}{Ts+1}$
振荡环节：$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$
延迟环节：$G(s) = e^{-\tau s}$
2.3 方框图及其化简 方框图直观地表示了系统中各环节的函数功能和信号流向。
基本元素 ：信号线、方框（环节）、比较点（求和点）、引出点。基本连接方式 ：串联、并联、反馈。等效变换法则（化简关键） ：
串联 ：$G(s) = G_1(s)G_2(s)$并联 ：$G(s) = G_1(s) \pm G_2(s)$反馈连接 （负反馈）：
$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)}$
其中 $G(s)$ 为前向通道传递函数，$H(s)$ 为反馈通道传递函数。'-'对应负反馈 ，'+'对应正反馈 。比较点前移/后移 ，引出点前移/后移 （需熟记等效变换公式，考试常考）。
化简目标 ：将复杂的多回路方框图，通过等效变换，化为一个等效的方框，即系统的总传递函数。
例题 3：方框图化简求传递函数
已知系统方框图如下（文字描述）：
前向通道第一个环节 $G_1(s)$ 的输出，同时进入并联的 $G_2(s)$ 和 $H_1(s)$，$G_2(s)$ 的输出与从 $G_1(s)$ 引出的信号在比较点 A 相加后，再经过 $G_3(s)$ 得到输出 $C(s)$。$C(s)$ 经过反馈环节 $H_2(s)$ 后，在比较点 B 与输入 $R(s)$ 相减。
请通过方框图化简，求系统闭环传递函数 $\Phi(s) = C(s) / R(s)$。
解题思路 ：
先处理内环。观察 $G_2(s)$ 和 $H_1(s)$ 构成的局部反馈。
根据反馈公式化简这个局部回路，得到一个等效环节 $G_{内}(s) = \frac{G_2(s)}{1 + G_2(s)H_1(s)}$。
此时 $G_1(s)$ 与 $G_{内}(s)$ 串联，再与 $G_3(s)$ 串联构成主前向通道 $G(s) = G_1(s) \cdot G_{内}(s) \cdot G_3(s)$。
整个系统是一个以 $G(s)$ 为前向通道，$H_2(s)$ 为反馈通道的负反馈系统。
应用反馈公式得到总传递函数：
$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H_2(s)} = \frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s)}{1 + G_2(s)H_1(s) + G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s)}$
(具体化简步骤需根据实际给出的传递函数表达式进行)
2.4 信号流图与梅森增益公式 对于复杂系统，使用梅森增益公式 直接求总传递函数更为简便。
相关术语 ：源节点、阱节点、前向通道、回路、不接触回路。梅森增益公式 ：
$G = \frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} P_k \Delta_k$
其中：
$G$：从源节点到阱节点的总增益（传递函数）。
$P_k$：第 $k$ 条前向通道 的增益。
$\Delta$：特征式 。
$\Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_bL_c - \sum L_dL_eL_f + ...$
$\sum L_a$：所有单独回路 的增益之和。
$\sum L_bL_c$：所有两两互不接触回路 的增益乘积之和。
$\sum L_dL_eL_f$：所有三个互不接触回路 的增益乘积之和。
$\Delta_k$：在 $\Delta$ 中，去掉与第 $k$ 条前向通道 $P_k$相接触的所有回路 后的余子式。
例题 4：应用梅森公式求传递函数
已知某系统的信号流图有如下特征：
前向通道 1：$P_1 = G_1G_2G_3$，与所有回路都接触。
前向通道 2：$P_2 = G_4G_3$，与回路 $L_1$ 不接触。
单独回路有三个：
$L_1 = -G_1H_1$，$L_2 = -G_3H_2$，$L_3 = -G_1G_2G_3H_3$。
其中，回路 $L_1$ 和 $L_2$ 互不接触。
求系统传递函数 $C(s)/R(s)$。
解 ：
求特征式 $\Delta$ ：
所有单独回路之和：$\sum L_a = L_1 + L_2 + L_3 = -G_1H_1 - G_3H_2 - G_1G_2G_3H_3$
两两不接触回路乘积之和：$\sum L_bL_c = L_1 \cdot L_2 = (-G_1H_1) \cdot (-G_3H_2) = G_1G_3H_1H_2$
无三个及以上的不接触回路。
因此：
$\Delta = 1 - (L_1 + L_2 + L_3) + (L_1L_2) = 1 + G_1H_1 + G_3H_2 + G_1G_2G_3H_3 + G_1G_3H_1H_2$求各前向通道对应的余子式 $\Delta_k$ ：
对于 $P_1$，它与所有回路 $L_1, L_2, L_3$ 都接触，故 $\Delta_1 = 1$。
对于 $P_2$，它与 $L_2, L_3$ 接触，但与 $L_1$ 不接触。因此，在 $\Delta$ 中去掉与 $P_2$ 接触的回路，即去掉包含 $L_2$ 和 $L_3$ 的项。注意 $\Delta$ 中 $L_1L_2$ 项包含了 $L_2$，也应去掉。最后只剩下与 $L_1$ 相关的部分。实际上，$\Delta_2 = 1 - (L_1) = 1 + G_1H_1$。
(更严谨的方法：从 $\Delta$ 的表达式中，删去所有包含与 $P_2$ 接触的回路 $L_2, L_3$ 的项。)
代入梅森公式 ：
$G = \frac{1}{\Delta} (P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2) = \frac{G_1G_2G_3 \cdot 1 + G_4G_3 \cdot (1 + G_1H_1)}{1 + G_1H_1 + G_3H_2 + G_1G_2G_3H_3 + G_1G_3H_1H_2}$
📝 本专题要点速记卡 概念 要点 公式/关键点 闭环控制 基于偏差，消除偏差；抗干扰，可能不稳定 反馈结构 传递函数 零初始条件 ，拉氏变换比；系统固有属性$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)}$ 典型环节 比例、积分、惯性、振荡… 必须熟记其标准形式 方框图化简 串联乘、并联加、反馈公式；移动比较/引出点 负反馈：$\frac{G}{1+GH}$ 梅森公式 求复杂系统传递函数的利器 $G=\frac{1}{\Delta}\sum P_k\Delta_k$，$\Delta=1-\sum L_a+\sum L_bL_c-...$
专题二：时域分析与稳定性判据
📚 专题概述 本专题研究系统在时域（时间 t）内的动态性能和稳定性，是评价和设计控制系统的直接依据。核心是根据系统的数学模型（微分方程/传递函数）分析其输出随时间变化的特性 ，并判断系统是否稳定。这是考试的重中之重！
🎯 第一部分：时域性能指标与典型响应
1.1 典型输入信号
阶跃信号 $r(t) = A \cdot 1(t)$：最常用，考验系统跟踪突加指令的能力。斜坡信号 $r(t) = A \cdot t$加速度信号 $r(t) = \frac{A}{2}t^2$脉冲信号 $r(t) = \delta(t)$
1.2 时域性能指标（针对单位阶跃响应 ） 以典型的欠阻尼二阶系统阶跃响应曲线（脑中想象）为参考，定义：
上升时间 $t_r$ ：响应从**终值的 10% 上升到 90%**所需时间。（或 0%~100%）峰值时间 $t_p$ ：响应达到第一个峰值 所需时间。超调量 $\sigma%$ ：衡量振荡程度。
$\sigma% = \frac{c(t_p) - c(\infty)}{c(\infty)} \times 100%$
关键公式（二阶系统） ：$\sigma% = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100%$，仅与阻尼比 $\zeta$ 有关。调节时间 $t_s$ ：响应进入并保持在终值±Δ%（通常Δ=2% 或 5%）误差带 内所需的最短时间。衡量快速性 。
近似公式（二阶系统，Δ=2%） ：$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$； （Δ=5%） ：$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$。
$\zeta$：阻尼比；$\omega_n$：无阻尼自然振荡频率。
稳态误差 $e_{ss}$ ：$t \to \infty$ 时，期望输出与实际输出的差。在第二部分单独详述 。 🔔 核心思想 ：性能指标**'快、稳、准'**—— $t_s$（快）、$\sigma%$（稳）、$e_{ss}$（准）。
📈 第二部分：一阶与二阶系统时域分析
2.1 一阶系统 标准形式传递函数：$\Phi(s) = \frac{K}{Ts+1}$，通常 $K=1$，即 $\Phi(s) = \frac{1}{Ts+1}$。
单位阶跃响应 ：$c(t) = 1 - e^{-t/T}, \quad t \ge 0$特点 ：无超调，无振荡。关键参数 ：时间常数 T 。
$t=0$ 时，初始斜率 = $1/T$。
$t=T$ 时，$c(T) = 0.632$；$t=3T$ 时，$c(3T) = 0.95$；$t=4T$ 时，$c(4T) = 0.982$。
调节时间 ：$t_s(2%) = 4T$；$t_s(5%) = 3T$。 T 越小，系统响应越快。
2.2 二阶系统（⭐核心重点⭐） 标准形式传递函数：
$\Phi(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$
特征方程 ：$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$特征根（闭环极点） ：$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$根据阻尼比 $\zeta$ 分类：
$\zeta$ 范围 系统类型 极点位置 单位阶跃响应特点 $\zeta = 0$ 无阻尼 共轭虚根 $\pm j\omega_n$ 等幅正弦振荡 $0 < \zeta < 1$ 欠阻尼 实部为负的共轭复根 衰减振荡 （最常见）$\zeta = 1$ 临界阻尼 相等负实根 $-\omega_n$ 最快无超调响应 $\zeta > 1$ 过阻尼 两个不等负实根 缓慢，无超调 $\zeta < 0$ 不稳定 极点有正实部 发散
💎 欠阻尼二阶系统（$0 < \zeta < 1$）性能指标公式（必须牢记！）
峰值时间：$t_p = \frac{\pi}{\omega_d}$，其中 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$（阻尼振荡频率）
超调量：$\sigma% = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100%$
调节时间（近似）：
$t_s(2%) \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} \quad t_s(5%) \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$
上升时间：$t_r \approx \frac{\pi - \beta}{\omega_d}$，$\beta = \arctan(\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta})$
$\zeta$ 决定振荡程度 （超调量）。
$\omega_n$ 决定振荡快慢 （$t_p, t_r$ 与 $\omega_d$ 反比，$\omega_d$ 与 $\omega_n$ 正比）。
$t_s$ 与 $\zeta \omega_n$（极点的实部绝对值）成反比。极点离虚轴越远，$t_s$ 越小，响应越快。
⚖️ 第三部分：稳定性判据（⭐绝对重点⭐）
3.1 稳定性的基本概念
定义 ：线性定常系统，若初始扰动引起的响应随时间增长逐渐衰减并趋于零，则系统渐近稳定 。工程上通常指渐近稳定。充要条件 （线性系统）：闭环系统特征方程的所有根（闭环极点）均具有负实部 （即全部位于 s 平面左半部分）。判断方法 ：不解特征根，直接根据特征方程系数判断根的位置。主要工具是劳斯判据 。
3.2 劳斯判据 (Routh-Hurwitz Criterion) 用于判断特征方程 $a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_1 s + a_0 = 0$ 的根中具有正实部根的个数。
第一步：系统稳定的必要条件 （非充分！）
特征方程所有系数 $a_i > 0$（或同号，且不缺项）。若不满足，则系统不稳定 。
第二步：列写劳斯表
劳斯表前两行由特征方程系数构成：
$\begin{array}{c|ccccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \ s^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ s^0 & & & & \ \end{array}$
其中，
$b_1 = \frac{- \begin{vmatrix} a_n & a_{n-2} \ a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}$
$b_2 = \frac{- \begin{vmatrix} a_n & a_{n-4} \ a_{n-1} & a_{n-5} \end{vmatrix}}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}}$
…
$c_1, c_2$ 等由前两行类似计算。
第三步：劳斯判据结论
系统稳定的充要条件 ：劳斯表第一列所有元素均大于零 。第一列元素符号改变的次数 = 特征方程中具有正实部根的个数 。
3.3 劳斯判据的特殊情况（⚠️ 考试难点！）
劳斯表某一行第一个元素为零，其余元素不全为零 。
处理方法 ：用一个很小的正数 $\epsilon$ 代替零，继续计算劳斯表。分析 ：计算完成后，令 $\epsilon \to 0^+$，考察第一列符号变化。
劳斯表某一行全为零 。
原因 ：特征方程存在关于原点对称的根（如大小相等符号相反的实根，共轭虚根等）。处理方法 ：
a. 用全零行的上一行 系数构造一个辅助方程 $A(s) = 0$。
b. 对辅助方程关于 $s$求导 ，用所得导数方程的系数代替全零行。
c. 继续计算劳斯表。分析 ：辅助方程的根就是原特征方程的一部分根。这些根的实部可由辅助方程解出。劳斯表继续完成后，用于判断其余根的分布。
🎯 第四部分：稳态误差分析
4.1 误差与稳态误差定义
误差 $e(t) = r(t) - c(t)$（按输出定义），或 $e(t) = r(t) - b(t)$（按输入定义，常用）。
稳态误差 ：$e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s \cdot E(s)$（利用终值定理！⚠️ 使用前提：$sE(s)$ 的极点均在 s 左半平面，即系统稳定且能使用终值定理）。对于典型单位反馈系统：$E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}$，故 $e_{ss} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{R(s)}{1 + G(s)}$。
4.2 系统型别与静态误差系数 开环传递函数写成时间常数形式：$G(s) = \frac{K \prod (\tau_i s+1)}{s^\nu \prod (T_j s+1)}$。
$\nu$ ：系统的型别 （积分环节个数）。$\nu = 0, I, II, ...$ 型系统。静态误差系数 （用于快速计算典型输入下的稳态误差）： 静态位置误差系数 $K_p$ 静态速度误差系数 $K_v$ 静态加速度误差系数 $K_a$ 定义 $\lim_{s \to 0} G(s)$ $\lim_{s \to 0} sG(s)$ $\lim_{s \to 0} s^2G(s)$ $\nu=0$ 型 $K$ $0$ $0$ $\nu=I$ 型 $\infty$ $K$ $0$ $\nu=II$ 型 $\infty$ $\infty$ $K$
4.3 典型输入下的稳态误差（⭐表格必须背熟⭐） 输入信号 $r(t)$ 稳态误差 $e_{ss}$ 0 型系统 I 型系统 II 型系统 阶跃 $A \cdot 1(t)$ $\frac{A}{1+K_p}$ $\frac{A}{1+K}$ 0 0 斜坡 $A \cdot t$ $\frac{A}{K_v}$ $\infty$ $\frac{A}{K}$ 0 加速度 $\frac{A}{2}t^2$ $\frac{A}{K_a}$ $\infty$ $\infty$ $\frac{A}{K}$
要无静差 ($e_{ss}=0$) 地跟踪某类输入信号，系统开环传递函数中必须含有足够多的积分环节 （型别 $\nu$ 至少等于输入信号的阶次）。
增加开环增益 K 可以减小（但不能消除）有静差系统的稳态误差 。
🔍 重点与难点剖析
二阶系统公式应用 ：给出 $\zeta, \omega_n$，要能快速计算出 $\sigma%, t_p, t_s$。反之，给出响应曲线或指标，也要能反推 $\zeta, \omega_n$。稳定性与劳斯判据 ：
先检查必要条件（系数全正） ，不满足直接下不稳定结论。列劳斯表要仔细 ，计算容易出错。两种特殊情况的处理是高频考点 ，必须掌握步骤。劳斯判据只能判断是否有右半平面根，不能给出具体极点值 （除了辅助方程的根）。
稳态误差计算 ：
第一步永远是先判断系统稳定性 ！不稳定则谈稳态误差无意义（终值定理不适用）。分清系统型别 ($\nu$) 和开环增益 (K) ，对照表格直接写答案是最快方法。对于非单位反馈 或扰动作用 下的稳态误差，需先求出对应的误差传递函数，再用终值定理 $e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s)$ 计算。
📝 典型例题 例题 1（填空题） ：某单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s) = \frac{10}{s(0.1s+1)}$，则该系统是____型系统，开环增益为____。在单位阶跃输入下，其稳态误差 $e_{ss}=$ ___；在单位斜坡输入下，其稳态误差 $e {ss}=$ ____。
例题 2（计算题） ：已知单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线显示，其超调量 $\sigma% = 16.3%$，峰值时间 $t_p = 0.5\pi$ 秒。试求该系统的传递函数 $\Phi(s)$。
例题 3（劳斯判据题） ：已知系统的特征方程为 $s^5 + 2s^4 + 2s^3 + 4s^2 + s + 1 = 0$。试用劳斯判据判断系统的稳定性，并指出正实部根的个数。
例题 4（综合题） ：某单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+3)}$。
(1) 求使系统稳定的 K 值范围。
(2) 若要求系统的稳态速度误差系数 $K_v \ge 0.5$，试确定 K 的取值范围。
(3) 综合 (1)(2)，确定同时满足稳定性和稳态误差要求的 K 值范围。
例题 5（简答题） ：调节时间 $t_s$ 的近似公式 $t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$ (Δ=2%) 是如何推导出来的？它的物理意义是什么？
专题三：频域分析与频率响应
🎯 专题核心目标 在6 小时 内，掌握频域分析的基本概念、核心方法（Bode 图、Nyquist 图）以及应用它们进行系统稳定性判据 和性能分析 的能力。频域法是工程中极其重要的分析和设计工具。
一、基本概念与基础知识
1.1 频率特性
定义 ：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应特性。如何求取 ：将系统传递函数 $G(s)$ 中的 $s$ 替换为 $j\omega$，即得频率特性 $G(j\omega)$。表示形式 ：
幅频特性 ：输出与输入振幅比随频率 $\omega$ 的变化关系。$A(\omega)=|G(j\omega)|$相频特性 ：输出与输入相位差随频率 $\omega$ 的变化关系。$\phi(\omega)=\angle G(j\omega)$
1.2 频率特性的图示方法（重点！） 图形名称 横坐标 纵坐标 特点与用途 Nyquist 图 (极坐标图)实部 $Re[G(j\omega)]$ 虚部 $Im[G(j\omega)]$ 一幅图综合表示幅值与相位，用于稳定性判据 。 Bode 图 (对数坐标图)频率 $\omega$ (对数刻度) 幅值 $L(\omega)=20\lg A(\omega)$ (dB) 相位 $\phi(\omega)$ (°) 两幅图（幅频、相频），作图方便，分析性能 直观。
二、典型环节的频率特性（Bode 图基础）🎯 任何复杂系统的 Bode 图都可视为典型环节 Bode 图的叠加。必须记住 以下关键特征：
2.1 比例环节 K
幅频：水平直线 $L(\omega)=20\lg K$ dB
相频：$\phi(\omega)=0°$
2.2 积分环节 $\frac{1}{s}$ 与微分环节 s
积分 $\frac{1}{s}$ ：
幅频：斜率为**-20dB/dec**的直线，穿过点 $(1, 0dB)$。
相频：恒为 -90° 。
微分 s ：
幅频：斜率为**+20dB/dec**的直线，穿过点 $(1, 0dB)$。
相频：恒为 +90° 。
2.3 惯性环节 $\frac{1}{Ts+1}$
转折频率 ：$\omega_T = \frac{1}{T}$幅频 ：
当 $\omega < \omega_T$：近似为 0dB 水平线。
当 $\omega > \omega_T$：近似为斜率为**-20dB/dec**的直线。
在 $\omega_T$ 处，实际值为 $-3dB$。
相频 ：
从 $0°$ 开始，在 $\omega_T$ 处为 $-45°$，最终趋于 $-90°$。
2.4 振荡环节 $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$
自然频率 ：$\omega_n$幅频 ：
低频段：0dB 水平线。
高频段：斜率为**-40dB/dec**的直线。
在 $\omega_n$ 附近会出现谐振峰值 （当 $0 < \zeta < \sqrt{2}/2$ 时），峰值 $M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$，对应谐振频率 $\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$。
相频 ：
从 $0°$ 开始，在 $\omega_n$ 处为 $-90°$，最终趋于 $-180°$。
三、Nyquist 稳定判据（重中之重！）🔥
3.1 原理与公式 用于判断闭环系统 的稳定性，依据是开环频率特性 $G_k(j\omega)$ 的 Nyquist 图。
开环传递函数 ：$G_k(s) = G(s)H(s)$公式核心 ：$N = P - Z$
$P$：开环传递函数 $G_k(s)$ 在右半 s 平面 的极点数。 (已知 )
$N$：当 $\omega$ 从 $0 \to +\infty$ 变化时，开环 Nyquist 曲线 $G_k(j\omega)$逆时针包围 点 $(-1, j0)$ 的圈数 。 (从图上数 )
$Z$：闭环系统在右半 s 平面 的极点数。 (未知，待求 )
稳定性充要条件 ：闭环系统稳定的充要条件是 $Z=0$，即 $N=P$。
3.2 应用步骤（针对最小相位系统 P=0 的简化情况）
确认 开环系统稳定，即开环极点均在左半平面，$P=0$。绘制 或分析开环 Nyquist 图 $G_k(j\omega)$ ($\omega: 0 \to +\infty$) 的大致走向 。判断 ：看图是否包围点 $(-1, j0)$。
若不包围 ($N=0$)，则 $Z = P - N = 0$，闭环稳定 。若包围 ($N \neq 0$)，则 $Z \neq 0$，闭环不稳定 。若恰好穿过 $(-1, j0)$，则系统临界稳定（属于不稳定）。
⚠️ 易错点 ：需要画出完整的 $\omega: 0 \to +\infty$ 的曲线。对于 $G_k(j\omega)$ 在 $\omega=0$ 时趋于无穷大的情况（如含积分环节），需要从正实轴无穷远处，以无穷大半径顺时针补画 $\frac{v \times 90°}{}$ 的圆弧 ($v$ 为积分环节个数)，再连接 $\omega=0^+$ 的点，形成封闭曲线。
四、稳定裕度：衡量系统的'稳定程度'💡 即使系统稳定，也需要知道它离不稳定（临界点 $(-1, j0)$）有多'远'。距离越远，稳定性越好。
4.1 相角裕度 $\gamma$
定义 ：在幅值穿越频率 $\omega_c$ (也称剪切频率，满足 $|G_k(j\omega_c)| = 1$ 或 $L(\omega_c)=0dB$) 处，使系统达到临界稳定所需要附加的滞后相角 。计算公式 ：$\gamma = 180° + \phi(\omega_c)$，其中 $\phi(\omega_c) = \angle G_k(j\omega_c)$。物理意义 ：在 Bode 图的幅频特性穿越 0dB 线 的频率点上，相频特性曲线距离 -180°线的高度差 。要求 ：通常 $\gamma > 0$，且越大越好（一般要求 $\gamma > 30° \sim 60°$）。
4.2 幅值裕度 h (或 $K_g$)
定义 ：在相位穿越频率 $\omega_g$ (满足 $\angle G_k(j\omega_g) = -180°$) 处，开环幅频特性 $|G_k(j\omega_g)|$ 的倒数。计算公式 ：$h = \frac{1}{|G_k(j\omega_g)|}$ 或 $h(dB) = 20\lg h = -20\lg |G_k(j\omega_g)|$。物理意义 ：在 Bode 图的相频特性穿越 -180°线 的频率点上，幅频特性曲线距离 0dB 线的高度差（向下） 。要求 ：通常 $h > 1$ 或 $h(dB) > 0$，且越大越好。 ⚠️ 判断系统稳定性（工程上） ：对于最小相位系统，系统稳定的充要条件是相角裕度 $\gamma > 0$ 且幅值裕度 $h > 1$ 。
五、例题精选
例题 1（填空题） 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 $G_k(s) = \frac{10}{s(0.1s+1)}$，则其**幅值穿越频率 $\omega_c$**约为 ______ rad/s，**相角裕度 $\gamma$**约为 ______ °。（提示：可利用近似计算，惯性环节在转折频率 $\omega_T=10$ 处相角约为 -45°）
解析 ：绘制 Bode 图思路：系统由比例 $K=10$ (20dB)、积分 $\frac{1}{s}$ (-20dB/dec)、惯性 $\frac{1}{0.1s+1}$ ($\omega_T=10$) 环节组成。幅频曲线低频段：在 $\omega=1$ 处，$L(1)=20\lg10=20dB$，斜率为 -20dB/dec。求 $\omega_c$：设 $\omega_c < 10$，则惯性环节未起作用。由 $20\lg10 - 20\lg(\omega_c /1) = 0$，得 $\omega_c = 10$。这与假设矛盾。设 $\omega_c > 10$，则在 $\omega > 10$ 后斜率变为 -40dB/dec。计算从 $\omega=10$ 到 $\omega_c$ 的幅值下降：在 $\omega=10$ 处，$L(10)=20-20\lg(10/1)=0dB$。此后按 -40dB/dec 下降，为使幅值为 0，需要 $\omega_c=10$。因此 $\omega_c=10$。求 $\gamma$：$\phi(\omega_c) = -90°(积分) - \arctan(0.1\times10) = -90° - 45° = -135°$。$\gamma = 180° + (-135°) = 45°$。
答案 ：$\omega_c = 10$，$\gamma = 45$。
例题 2（选择题） 已知单位负反馈系统的开环幅相特性曲线（Nyquist 图）关于实轴对称。当 $\omega$ 从 $0^+$ 变化到 $+\infty$ 时，曲线从第三象限穿过负实轴到第二象限，且与负实轴的交点为 $(-0.5, j0)$。若开环系统稳定（$P=0$），则闭环系统（ ）。
A. 稳定
B. 不稳定
C. 临界稳定
D. 无法判断
解析 ：开环稳定，故 $P=0$。曲线从第三象限出发（$\omega=0^+$），说明含积分环节或在高频段相位更负。关键看它是否包围点 $(-1, j0)$。已知曲线与负实轴交于 $(-0.5, j0)$，该点位于 $(-1, j0)$ 的右侧。对于完整的 Nyquist 路径（需补画无穷大半径圆弧从 $\omega=0^-$ 到 $0^+$），由于开环频率特性曲线本身没有包围 点 $(-1, j0)$，因此 $N=0$。根据判据，$Z = P - N = 0$，闭环系统稳定。
答案 ：A
例题 3（计算题） 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 $G_k(s) = \frac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}$。试用 Nyquist 判据确定使闭环系统稳定时，开环增益 K 的取值范围。
解析 ：确定开环极点 ：$s=0, -1, -2$，均在左半平面，故 $P=0$。闭环稳定需 $N=0$，即 Nyquist 曲线不包围点 $(-1, j0)$。分析 Nyquist 曲线走向 ：令 $s=j\omega$，代入 $G_k(s)$。
$G_k(j\omega) = \frac{K}{j\omega(j\omega+1)(0.5j\omega+1)} = \frac{K}{-\omega^2(1.5) + j[\omega - 0.5\omega^3]}$
求曲线与负实轴的交点 ：令虚部为 0，即 $\omega - 0.5\omega^3 = 0$，解得 $\omega_g = \sqrt{2}$ ($\omega=0$ 舍去)。代入实部：
$Re[G_k(j\omega_g)] = \frac{K}{-(\sqrt{2})^2 \times 1.5} = \frac{K}{-3}$
因此，曲线与负实轴交于点 $(-\frac{K}{3}, j0)$。稳定性条件 ：为使曲线不包围 $(-1, j0)$，交点必须在 $(-1, j0)$ 的右侧，即：
$-\frac{K}{3} > -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{K}{3} < 1 \quad \Rightarrow \quad K < 3$
同时，$K > 0$（通常假设为正增益）。
答案 ：使闭环系统稳定的开环增益范围为 $0 < K < 3$。
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