数据结构：八种常见排序算法详解

特性总结

• 是对直接插入排序的优化。当 gap > 1 时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。
• 当 gap == 1 时，数组已经接近有序了，这样就会很快。

void ShellSort(int* arr, int n) {
    int gap = n;
    while (gap > 1) {
        gap = gap / 3 + 1; // +1 是因为当 gap=1 时是直接插入排序
        for (int i = 0; i < n - gap; i++) {
            int end = i;
            int tmp = arr[end + gap];
            while (end >= 0) {
                if (arr[end] > tmp) {
                    arr[end + gap] = arr[end];
                    end -= gap;
                } else {
                    break;
                }
            }
            arr[end + gap] = tmp;
        }
    }
}

2.1.2.1 希尔排序的时间复杂度计算

希尔排序的时间复杂度估算较为复杂，因为 gap 的取值很多。《数据结构 (C 语言版)》—严蔚敏书中给出的时间复杂度为 O(n^1.3) 左右。

2.2 选择排序

选择排序的基本思想：每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完。

2.2.1 直接选择排序

// 优化后
void SelectSort(int* arr, int n) {
    int begin = 0, end = n - 1;
    while (begin < end) {
        int mini = begin, maxi = begin;
        for (int i = begin + 1; i <= end; i++) {
            if (arr[i] > arr[maxi]) {
                maxi = i;
            }
            if (arr[i] < arr[mini]) {
                mini = i;
            }
        }
        if (begin == maxi) {
            maxi = mini;
        }
        Swap(&arr[mini], &arr[begin]);
        Swap(&arr[maxi], &arr[end]);
        ++begin;
        --end;
    }
}

特性总结

• 思考非常好理解，但是效率不是很好，实际中很少使用。
• 时间复杂度：O(N^2)。
• 空间复杂度：O(1)。

2.2.2 堆排序

堆排序是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

2.3 交换排序

交换排序基本思想：根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置。

2.3.1 冒泡排序

冒泡排序是一种最基础的交换排序。之所以叫做冒泡排序，因为每一个元素都可以像小气泡一样，根据自身大小一点一点向数组的一侧移动。

void BubbleSort(int* arr, int n) {
    int exchange = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                exchange = 1;
                Swap(&arr[j], &arr[j + 1]);
            }
        }
        if (exchange == 0) {
            break;
        }
    }
}

特性总结

• 时间复杂度：O(N^2)。
• 空间复杂度：O(1)。

2.3.2 快速排序

快速排序是 Hoare 于 1962 年提出的一种二叉树结构的交换排序方法。其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后对左右子序列重复该过程。

快速排序实现主框架：

void QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    if (left >= right) return;
    int keyi = _QuickSort(arr, left, right);
    QuickSort(arr, left, keyi - 1);
    QuickSort(arr, keyi + 1, right);
}

如何找基准值，并把基准值放到指定的位置上？主要有以下几种实现方式：

2.3.2.1 Hoare 版本（重要）

算法思路：创建左右指针，确定基准值。right 从右向左找出比基准值小的数据，left 从左向右找出比基准值大的数据，左右指针数据交换，进入下次循环。

注意：跳出循环后 right 位置的值一定不大于 key。如果 left 和 right 指定的数据和 key 值相等时也要交换，是为了避免大量重复数据时无法进行有效的分割排序。

int _QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    int keyi = left;
    left++;
    while (left <= right) {
        while (left <= right && arr[right] > arr[keyi]) {
            --right;
        }
        while (left <= right && arr[left] < arr[keyi]) {
            ++left;
        }
        if (left <= right) Swap(&arr[left++], &arr[right--]);
    }
    Swap(&arr[keyi], &arr[right]);
    return right;
}

递归的时间复杂度 = 单次递归的时间 * 循环次数 = nlogn。循环次数是二叉树的高度。

2.3.2.2 挖坑法

思路：创建左右指针。先从右向左找出比基准小的数据，找到后立即放入左边坑中，当前位置变为新的"坑"，然后从左向右找出比基准大的数据，找到后立即放入右边坑中，结束循环后将最开始存储的分界值放入当前的"坑"中。

int _QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    int hole = left;
    int key = arr[hole];
    while (left < right) {
        while (left < right && arr[right] > key) {
            --right;
        }
        arr[hole] = arr[right];
        hole = right;
        while (left < right && arr[left] < key) {
            ++left;
        }
        arr[hole] = arr[left];
        hole = left;
    }
    arr[hole] = key;
    return hole;
}

2.3.2.3 Lomuto 前后指针（重要）

创建前后指针，从左往右找比基准值小的进行交换，使得小的都排在基准值的左边。

int _QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    int prev = left, cur = left + 1;
    int key = left;
    while (cur <= right) {
        if (arr[cur] < arr[key] && ++prev != cur) {
            Swap(&arr[cur], &arr[prev]);
        }
        ++cur;
    }
    Swap(&arr[key], &arr[prev]);
    return prev;
}

快速排序特性总结

• 时间复杂度：O(nlogn)。
• 空间复杂度：O(logn)。

2.3.2.4 非递归版本（重要）

非递归版本的快速排序需要借助数据结构：栈。

void QuickSortNonR(int* arr, int left, int right) {
    ST st;
    STInit(&st);
    STPush(&st, right);
    STPush(&st, left);
    while (!STEmpty(&st)) {
        int begin = STTop(&st); STPop(&st);
        int end = STTop(&st); STPop(&st);
        
        int keyi = begin;
        int prev = begin;
        int cur = begin + 1;
        while (cur <= end) {
            if (arr[cur] < arr[keyi] && ++prev != cur) Swap(&arr[prev], &arr[cur]);
            ++cur;
        }
        Swap(&arr[keyi], &arr[prev]);
        keyi = prev;
        
        if (keyi + 1 < end) {
            STPush(&st, end);
            STPush(&st, keyi + 1);
        }
        if (begin < keyi - 1) {
            STPush(&st, keyi - 1);
            STPush(&st, begin);
        }
    }
    STDestroy(&st);
}

2.4 归并排序（重要）

归并排序建立在归并操作上的一种有效的排序算法，采用分治法。将已有序的的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

核心步骤是先分解，再合并。

void _MergeSort(int* arr, int left, int right, int* tmp) {
    if (left >= right) return;
    int mid = (right + left) / 2;
    _MergeSort(arr, left, mid, tmp);
    _MergeSort(arr, mid + 1, right, tmp);
    
    int begin1 = left, end1 = mid;
    int begin2 = mid + 1, end2 = right;
    int index = begin1;
    
    while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) {
        if (arr[begin1] < arr[begin2]) {
            tmp[index++] = arr[begin1++];
        } else {
            tmp[index++] = arr[begin2++];
        }
    }
    while (begin1 <= end1) tmp[index++] = arr[begin1++];
    while (begin2 <= end2) tmp[index++] = arr[begin2++];
    
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        arr[i] = tmp[i];
    }
}

void MergeSort(int* arr, int n) {
    int* tmp = malloc(sizeof(int) * n);
    _MergeSort(arr, 0, n - 1, tmp);
    free(tmp);
}

归并排序特性总结

• 时间复杂度：O(nlogn)。
• 空间复杂度：O(n)。

2.5 测试代码：排序性能对比

为了直观感受不同算法的效率，我们可以编写测试代码对比它们在相同数据量下的运行时间。

void TestOP() {
    srand(time(0));
    const int N = 100000;
    int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a7 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        a1[i] = rand(); a2[i] = a1[i]; a3[i] = a1[i];
        a4[i] = a1[i]; a5[i] = a1[i]; a6[i] = a1[i]; a7[i] = a1[i];
    }
    
    int begin1 = clock(); InsertSort(a1, N); int end1 = clock();
    int begin2 = clock(); ShellSort(a2, N); int end2 = clock();
    int begin3 = clock(); SelectSort(a3, N); int end3 = clock();
    int begin4 = clock(); HeapSort(a4, N); int end4 = clock();
    int begin5 = clock(); QuickSort(a5, 0, N - 1); int end5 = clock();
    int begin6 = clock(); MergeSort(a6, N); int end6 = clock();
    int begin7 = clock(); BubbleSort(a7, N); int end7 = clock();
    
    printf("InsertSort:%d\n", end1 - begin1);
    printf("ShellSort:%d\n", end2 - begin2);
    printf("SelectSort:%d\n", end3 - begin3);
    printf("HeapSort:%d\n", end4 - begin4);
    printf("QuickSort:%d\n", end5 - begin5);
    printf("MergeSort:%d\n", end6 - begin6);
    printf("BubbleSort:%d\n", end7 - begin7);
    
    free(a1); free(a2); free(a3); free(a4); free(a5); free(a6); free(a7);
}

2.6 非比较排序

2.6.1 计数排序

计数排序又称为鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用。

操作步骤：统计相同元素出现次数，根据统计的结果将序列回收到原来的序列中。

void CountSort(int* arr, int n) {
    int min = arr[0], max = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (arr[i] > max) max = arr[i];
        if (arr[i] < min) min = arr[i];
    }
    
    int range = max - min + 1;
    int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range);
    if (count == NULL) {
        perror("malloc fail");
        exit(1);
    }
    memset(count, 0, sizeof(int) * range);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count[arr[i] - min]++;
    }
    
    int index = 0;
    for (int i = 0; i < range; i++) {
        while (count[i]--) {
            arr[index++] = i + min;
        }
    }
    free(count);
}

特性总结

• 在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限。
• 时间复杂度：O(n + range)。
• 空间复杂度：O(range)。
• 稳定性：稳定。

3. 排序算法复杂度及稳定性分析

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

四种不稳定排序举例包括：直接选择排序、希尔排序、堆排序、快速排序。

本节全部代码汇总

为了方便查阅，以下是完整的头文件与实现代码整合。

Stack.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<stdlib.h>
typedef int STDataType;
typedef struct Stack {
    STDataType* arr;
    int top;
    int capacity;
} ST;
void STInit(ST* ps);
void STDestroy(ST* ps);
void STPush(ST* ps, STDataType x);
void STPop(ST* ps);
STDataType STTop(ST* ps);
int STSize(ST* ps);
bool STEmpty(ST* ps);

Stack.c

#include"Stack.h"
void STInit(ST* ps) {
    ps->arr = NULL; ps->top = ps->capacity = 0;
}
void STDestroy(ST* ps) {
    if (ps->arr) free(ps->arr); ps->arr = NULL; ps->top = ps->capacity = 0;
}
void STPush(ST* ps, STDataType x) {
    assert(ps);
    if (ps->top == ps->capacity) {
        int newCapacity = ps->capacity == 0 ? 4 : 2 * ps->capacity;
        STDataType* tmp = (STDataType*)realloc(ps->arr, newCapacity * sizeof(STDataType));
        if (tmp == NULL) { perror("realloc"); exit(1); }
        ps->arr = tmp; ps->capacity = newCapacity;
    }
    ps->arr[ps->top++] = x;
}
void STPop(ST* ps) {
    assert(!STEmpty(ps)); ps->top--;
}
STDataType STTop(ST* ps) {
    assert(!STEmpty(ps)); return ps->arr[ps->top - 1];
}
int STSize(ST* ps) {
    assert(ps); return ps->top;
}
bool STEmpty(ST* ps) {
    assert(ps); return ps->top == 0;
}

Sort.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<memory.h>
#include<stdlib.h>
void InsertSort(int* arr, int n);
void ShellSort(int* arr, int n);
void SelectSort(int* arr, int n);
void HeapSort(int* arr, int n);
void BubbleSort(int* arr, int n);
void QuickSort(int* arr, int left, int right);
void QuickSortNonR(int* arr, int left, int right);
void MergeSort(int* arr, int n);
void CountSort(int* arr, int n);
void Swap(int* x, int* y) {
    int tmp = *x; *x = *y; *y = tmp;
}
void AdjustDown(int* arr, int parent, int n) {
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n) {
        if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1]) child++;
        if (arr[child] > arr[parent]) {
            Swap(&arr[child], &arr[parent]);
            parent = child; child = parent * 2 + 1;
        } else break;
    }
}
void HeapSort(int* arr, int n) {
    for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) AdjustDown(arr, i, n);
    int end = n - 1;
    while (end > 0) {
        Swap(&arr[0], &arr[end]);
        AdjustDown(arr, 0, end);
        end--;
    }
}
void SelectSort(int* arr, int n) {
    int begin = 0, end = n - 1;
    while (begin < end) {
        int mini = begin, maxi = begin;
        for (int i = begin + 1; i <= end; i++) {
            if (arr[i] > arr[maxi]) maxi = i;
            if (arr[i] < arr[mini]) mini = i;
        }
        if (begin == maxi) maxi = mini;
        Swap(&arr[mini], &arr[begin]);
        Swap(&arr[maxi], &arr[end]);
        ++begin; --end;
    }
}
void BubbleSort(int* arr, int n) {
    int exchange = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                exchange = 1;
                Swap(&arr[j], &arr[j + 1]);
            }
        }
        if (exchange == 0) break;
    }
}
int _QuickSort1(int* arr, int left, int right) {
    int keyi = left; left++;
    while (left <= right) {
        while (left <= right && arr[right] > arr[keyi]) --right;
        while (left <= right && arr[left] < arr[keyi]) ++left;
        if (left <= right) Swap(&arr[left++], &arr[right--]);
    }
    Swap(&arr[keyi], &arr[right]); return right;
}
int _QuickSort2(int* arr, int left, int right) {
    int hole = left; int key = arr[hole];
    while (left < right) {
        while (left < right && arr[right] > key) { --right; arr[hole] = arr[right]; hole = right; }
        while (left < right && arr[left] < key) { ++left; arr[hole] = arr[left]; hole = left; }
    }
    arr[hole] = key; return hole;
}
int _QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    int prev = left, cur = left + 1; int key = left;
    while (cur <= right) {
        if (arr[cur] < arr[key] && ++prev != cur) Swap(&arr[cur], &arr[prev]);
        ++cur;
    }
    Swap(&arr[key], &arr[prev]); return prev;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right) {
    if (left >= right) return;
    int keyi = _QuickSort(arr, left, right);
    QuickSort(arr, left, keyi - 1);
    QuickSort(arr, keyi + 1, right);
}
void QuickSortNonR(int* arr, int left, int right) {
    ST st; STInit(&st);
    STPush(&st, right); STPush(&st, left);
    while (!STEmpty(&st)) {
        int begin = STTop(&st); STPop(&st);
        int end = STTop(&st); STPop(&st);
        int keyi = begin; int prev = begin; int cur = begin + 1;
        while (cur <= end) {
            if (arr[cur] < arr[keyi] && ++prev != cur) Swap(&arr[prev], &arr[cur]);
            ++cur;
        }
        Swap(&arr[keyi], &arr[prev]); keyi = prev;
        if (keyi + 1 < end) { STPush(&st, end); STPush(&st, keyi + 1); }
        if (begin < keyi - 1) { STPush(&st, keyi - 1); STPush(&st, begin); }
    }
    STDestroy(&st);
}
void _MergeSort(int* arr, int left, int right, int* tmp) {
    if (left >= right) return;
    int mid = (right + left) / 2;
    _MergeSort(arr, left, mid, tmp);
    _MergeSort(arr, mid + 1, right, tmp);
    int begin1 = left, end1 = mid;
    int begin2 = mid + 1, end2 = right;
    int index = begin1;
    while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) {
        if (arr[begin1] < arr[begin2]) tmp[index++] = arr[begin1++];
        else tmp[index++] = arr[begin2++];
    }
    while (begin1 <= end1) tmp[index++] = arr[begin1++];
    while (begin2 <= end2) tmp[index++] = arr[begin2++];
    for (int i = left; i <= right; i++) arr[i] = tmp[i];
}
void MergeSort(int* arr, int n) {
    int* tmp = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    _MergeSort(arr, 0, n - 1, tmp);
    free(tmp);
}
void CountSort(int* arr, int n) {
    int min = arr[0], max = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (arr[i] > max) max = arr[i];
        if (arr[i] < min) min = arr[i];
    }
    int range = max - min + 1;
    int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range);
    if (count == NULL) { perror("malloc fail"); exit(1); }
    memset(count, 0, sizeof(int) * range);
    for (int i = 0; i < n; i++) count[arr[i] - min]++;
    int index = 0;
    for (int i = 0; i < range; i++) {
        while (count[i]--) arr[index++] = i + min;
    }
    free(count);
}
void InsertSort(int* arr, int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int end = i; int tmp = arr[end + 1];
        while (end >= 0) {
            if (arr[end] > tmp) { arr[end + 1] = arr[end]; end--; }
            else break;
        }
        arr[end + 1] = tmp;
    }
}
void ShellSort(int* arr, int n) {
    int gap = n;
    while (gap > 1) {
        gap = gap / 3 + 1;
        for (int i = 0; i < n - gap; i++) {
            int end = i; int tmp = arr[end + gap];
            while (end >= 0) {
                if (arr[end] > tmp) { arr[end + gap] = arr[end]; end -= gap; }
                else break;
            }
            arr[end + gap] = tmp;
        }
    }
}

test.c

#include"Sort.h"
void printArr(int* arr, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", arr[i]);
    printf("\n");
}
void test01() {
    int a[] = { 6, 1, 2, 7, 9, 3 };
    int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
    printf("排序之前:"); printArr(a, n);
    CountSort(a, n);
    printf("排序之后:"); printArr(a, n);
}
void TestOP() {
    srand(time(0));
    const int N = 100000;
    int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    int* a7 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        a1[i] = rand(); a2[i] = a1[i]; a3[i] = a1[i];
        a4[i] = a1[i]; a5[i] = a1[i]; a6[i] = a1[i]; a7[i] = a1[i];
    }
    int begin1 = clock(); InsertSort(a1, N); int end1 = clock();
    int begin2 = clock(); ShellSort(a2, N); int end2 = clock();
    int begin3 = clock(); SelectSort(a3, N); int end3 = clock();
    int begin4 = clock(); HeapSort(a4, N); int end4 = clock();
    int begin5 = clock(); QuickSort(a5, 0, N - 1); int end5 = clock();
    int begin6 = clock(); MergeSort(a6, N); int end6 = clock();
    int begin7 = clock(); BubbleSort(a7, N); int end7 = clock();
    printf("InsertSort:%d\n", end1 - begin1);
    printf("ShellSort:%d\n", end2 - begin2);
    printf("SelectSort:%d\n", end3 - begin3);
    printf("HeapSort:%d\n", end4 - begin4);
    printf("QuickSort:%d\n", end5 - begin5);
    printf("MergeSort:%d\n", end6 - begin6);
    printf("BubbleSort:%d\n", end7 - begin7);
    free(a1); free(a2); free(a3); free(a4); free(a5); free(a6); free(a7);
}
int main() {
    test01();
    // TestOP();
    return 0;
}