数据结构：二叉树基础与 C 语言实现

要注意，完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是完全二叉树。如下图的树就不是完全二叉树：

4. 二叉树的顺序存储（完全二叉树）

对于一个完全二叉树的存储，前面提到完全二叉树的编号是连续的。所以，对于完全二叉树来说，我们可以用数组来进行存储，用下标来进行编号。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，而在逻辑上是一颗二叉树。

5. 二叉树的一些性质

1. 若规定根结点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根结点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。
3. 对任何一棵二叉树，如果度为 0 的叶结点个数为 n₀，度为 2 的分支结点个数为 n₂，则有 n₀ = n₂ + 1。
4. 若规定根结点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h = log₂(n + 1)。

最后一点，也是最重要的一点：

对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号：

• 若父亲在数组中下标为 i，则该父亲的左孩子下标为 2 * i + 1；右孩子下标为 2 * i + 2。
• 若孩子在数组中下标为 i，则该孩子的父亲下标为 (i - 1) / 2。

注意：前提是这些下标所对应的值存在！！！**

以上的性质都是基于数学推导的基本常识，感兴趣的可以自己尝试推导一下。

三、二叉树的实现（重点）

1. 二叉树的链式存储（非完全二叉树）

前面我们说到存储完全二叉树可以用数组，是因为完全二叉树的编号是连续的。而非完全二叉树却不是如此，若强行用数组来存储会浪费大量的空间。

那么除了数组，我们还可以用什么来储存二叉树呢？我们会想到链式存储。

链式存储顾名思义，就是用链表来表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是创建一链表，使每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域。左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。

2. 实现思路

知道了用链式存储，现在就可以开始实现代码了。与单链表的实现类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：

1. 节点中存储的数据
2. 指向节点左孩子的指针
3. 指向节点右孩子的指针

3. 代码实现

本文以创建一个 char 类型的二叉树为例。

（1）文件结构

在写复杂程序时，建议养成写多个头文件和源文件的好习惯，这样条理清晰也不会乱。

• BTNode.h：用于存放函数声明和一些库函数的头文件。
• BTNode.c：用于存放函数的定义（二叉树的主体）。
• Test.c：用于测试实现的二叉树的运行效果。

（2）定义二叉树

首先我们要定义一个二叉树。这里之前讲过，创建一个类似链表的结构，每个结点里面包含三个成员：节点中存储的数据、指向左孩子的指针、指向右孩子的指针。

代码演示（在头文件 BTNode.h 中编写）：

// 重定义，方便修改类型
typedef char BTDataType; // 表示每个节点的类型

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;           // 节点中存储的数据
    struct BinaryTreeNode* left;  // 指向左孩子的指针
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向右孩子的指针
} BTNode;

在定义二叉树的代码中，有两个需要注意的点：

1. 本文是以 char 类型为例，但如果以后要将二叉树中的元素类型修改成 int 类型或是其他类型，一个一个修改就很麻烦。所以我们重定义 char 类型为 BTDataType，并将接下来代码中的 char 类型全部写成 BTDataType。这是为了方便我们以后对类型进行修改，仅需将 char 改为其他类型即可。
2. 在定义二叉树的同时重定义二叉树的变量名为 BTNode，方便以后使用。

（3）构建二叉树

小编这里通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建了二叉树。要先有一个二叉树，才能对二叉树进行操作。（关于怎么构建的不重要，大家也可以将一个一个结点进行插入，但这不是重点！！！重点是之后二叉树的实现！！！）

代码演示：

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

（4）二叉树遍历（前中后序）

要想对二叉树进行操作，肯定少不了遍历二叉树。但是要怎么遍历是个问题，这里一共有 4 种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。这四种遍历主要在于遍历顺序的不一样，我们一一来拆解。

• 前序遍历

  前序遍历是指遍历时先遍历根、接着左子树、最后右子树。还要注意，这个遍历是递归进行的！当遍历完根后，开始遍历左子树，就以左子树为起始位置，继续从根遍历、接着左子树、最后右子树，以此循环，直到全部遍历结束。

  // 二叉树前序遍历
  void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
      // 当遍历到空就返回
      if (root == NULL) {
          return;
      }
      // 打印根，然后递归遍历左子树、右子树
      printf("%c ", root->data);
      BinaryTreePrevOrder(root->left);
      BinaryTreePrevOrder(root->right);
  }
  

• 中序遍历

  中序遍历原理与前序遍历一样，只是遍历的顺序不一样。中序遍历是指遍历时先遍历左子树、接着根、最后右子树。

  // 二叉树中序遍历
  void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
      if (root == NULL) {
          return;
      }
      // 递归遍历左子树、打印根、递归遍历右子树
      BinaryTreeInOrder(root->left);
      printf("%c ", root->data);
      BinaryTreeInOrder(root->right);
  }
  

• 后序遍历

  后序遍历原理与前序遍历也一样，只是遍历的顺序不一样。后序遍历是指遍历时先遍历右子树、接着左子树、最后根。

  // 二叉树后序遍历
  void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
      if (root == NULL) {
          return;
      }
      // 递归遍历左子树、递归遍历右子树、打印根
      BinaryTreePostOrder(root->left);
      BinaryTreePostOrder(root->right);
      printf("%c ", root->data);
  }
  

（5）二叉树的层序遍历

这里特意把层序遍历与前三个遍历分开写，可以看出层序的不一样了。确实，层序遍历与前三种遍历差了很多。

• 什么是层序遍历？

  层序遍历就是一层一层地遍历。比如下图的二叉树，该二叉树层序遍历的结果就是【1，2，3，4，5，6，7】，也就是一层一层遍历，这就是层序遍历。

• 代码思路是什么？

  我们怎么做到遍历完 1，2，3 后去遍历 4，5 呢？此时也无法直接通过 2 来找到 4，5 了。这时我们可以想到我们之前学过的东西——队列。我们可以在每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，直到队列为空。

  例如：

  • 开始时放入 1，此时队列【1】
  • 取出 1，并放入 2、3，此时队列【2，3】
  • 取出 2，并放入 4、5，此时队列【3，4，5】
  • 取出 3，并放入 6、7，此时队列【4，5，6，7】
  • ...以此类推

  在前面的学习中已经讲解过了队列了，这里就不赘述。知道了要用队列来实现，就可以开始来写代码了。我们创建一个队列，先把第一个根节点存入，接着在每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，以此循环直到队列为空。

  代码演示（不包含队列的实现）：

  // 层序遍历
  void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
      // 先创建一个队列来存储结点
      Queue Q;
      QueueInit(&Q);
      // 先将第一个根结点存入队列中
      if (root) {
          QueuePush(&Q, root);
      }
      // 若队列不为空就循环
      while (!QueueEmpty(&Q)) {
          // 接受队头的数据，并删除队头的结点
          BTNode* root = QueueFront(&Q);
          printf("%c ", root->data);
          QueuePop(&Q);
          // 将队头的左子树、右子树存入队列中（前提是不为空）
          if (root->left) {
              QueuePush(&Q, root->left);
          }
          if (root->right) {
              QueuePush(&Q, root->right);
          }
      }
      // 最后不要忘记了销毁队列
      QueueDestroy(&Q);
  }
  

（6）二叉树节点个数的计算

当我们想要用代码来计数二叉树中的所有节点个数，该怎么办呢？其实这很简单，只需要熟悉递归就行了。当根节点为空时，就计 0；而当根节点为非空时，就 + 1 并递归计算其左右子树再相加。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

（7）二叉树高度的计算

当我们想要用代码来计数二叉树的高度，该怎么办呢？首先我们要知道二叉树高度是什么，是树中结点的最大层次。而二叉树有左子树以及右子树，故左右子树高度更高的一边 + 1 就是树的高度。

所以，我们可以用递归来实现。当根节点为空时，返回 0；而当根节点为非空时，就返回左右子树高度更高的一边并 + 1（根节点本身）。

// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    // 当根节点为空时，返回 0
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    // 返回左右子树高度更高的一边并 + 1（根节点本身）
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

（8）二叉树第 k 层节点个数的计算

当我们想要用代码来计数二叉树第 k 层的节点个数，该怎么办呢？对于一个满二叉树很简单，套公式就行，但非完全二叉树咋办呢？这里依旧是递归：初始 k，若该层不是目标层次，就 k - 1 并递归左右子树。当根节点为空时，返回 0；当根节点为非空且此时 k == 1 时，返回 1（已经到达第 k 层）。

// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    // 当根节点为空时，返回 0
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    // 当根节点为非空且此时 k == 1 时，返回 1（已经到达第 k 层）
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    // 若该层不是目标层次，就 k - 1 并递归左右子树
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

（9）二叉树查找值为 x 的节点

当我们想要用代码来查找值为 x 的节点，该怎么办呢？这里依旧是递归：当根节点为空时，返回空；当根节点的值为 X 时，返回根节点的地址；最后找左右子树。但要注意：该函数返回的是地址，故在递归的过程中地址信息不能丢失，要不断返回。可以先判断返回值是否为真，再决定继续递归还是返回数据。

// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) // 没找到
        return NULL;
    if (root->data == x) // 找到直接返回地址
        return root;
    
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) // 判断返回值，若不为空就返回，为空就找右子树
        return ret1;
    
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2)
        return ret2;
    
    return NULL;
}

（10）判断二叉树是否是完全二叉树

现在，给你一个树，怎么用代码来判断该树是完全二叉树呢？我们可以用到之前的层序遍历来完成。当层序遍历到空结点时，若之后还有数据则不是完全二叉树；当层序遍历到空结点时，若没有数据则是完全二叉树。

原理就是层序遍历，只不过多加入了一层判断。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    // 先创建一个队列来存储结点
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    // 先将第一个根结点存入队列中
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    // 若队列不为空就循环
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        // 接受队头的数据，并删除队头的结点
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        // 判断是否遇到空结点，遇到就跳出循环
        if (root == NULL) {
            break;
        }
        // 将队头的左子树、右子树存入队列中
        QueuePush(&Q, root->left);
        QueuePush(&Q, root->right);
    }
    // 继续循环判断是否有残余结点
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        // 接受队头的数据，并删除队头的结点
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        // 判断是否遇到非空结点，遇到则说明，结点不连续，不是完全二叉树
        if (root != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0; // 假
        }
    }
    // 最后不要忘记了销毁队列
    QueueDestroy(&Q);
    // 最后返回 1（真）
    return 1;
}

四、二叉树实现完整代码

（包含队列的实现）

1. Queue.h

用于存放用来放函数的声明和一些库函数的头文件。

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

// 重定义，方便修改类型
typedef int QDataType; // 表示每个节点的类型

typedef struct QListNode {
    QDataType data;
    struct QListNode* next;
} QNode;

// 队列的结构
typedef struct Queue {
    QNode* front; // 头指针
    QNode* tail;  // 尾指针
    int size;     // 总元素个数
} Queue;

// 初始化队列
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回 0
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列
void QueueDestroy(Queue* q);

2. Queue.c

用于用来放函数的定义 (队列的主体)。

#include "Queue.h"

// 初始化队列
void QueueInit(Queue* q) {
    assert(q);
    q->front = NULL;
    q->tail = NULL;
    q->size = 0; // 全部初始化置 0 / NULL
}

// 队尾入队列
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
    assert(q);
    QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode)); // 直接开辟一个节点的空间
    if (tmp == NULL) // 加一个 if 语句 防止增容失败
    {
        perror("malloc");
        return;
    }
    // 没有问题后就赋值
    tmp->data = data;
    tmp->next = NULL;
    // 注意：当队列中没有节点时，此时插入的节点既是头节点，又是尾节点
    if (q->size == 0) {
        q->front = tmp;
        q->tail = tmp;
    } else {
        q->tail->next = tmp;
        q->tail = tmp;
    }
    q->size++;
}

// 队头出队列
void QueuePop(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0); // 断言顺序表不能为空
    // 注意：当队列中只有一个节点时，头尾节点相等，此时将头节点和尾节点都释放
    if (q->size == 1) {
        free(q->front);
        q->front = NULL;
        q->tail = NULL;
    } else {
        QNode* del = q->front;
        q->front = q->front->next;
        free(del);
    }
    q->size--;
}

// 获取队列头部元素
QDataType QueueFront(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->front->data;
}

// 获取队列队尾元素
QDataType QueueBack(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->tail->data;
}

// 获取队列中有效元素个数
int QueueSize(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size;
}

// 检测队列是否为空
int QueueEmpty(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size == 0;
}

// 销毁队列
void QueueDestroy(Queue* q) {
    assert(q);
    QNode* cur = q->front; // 遍历链表，一一释放空间销毁
    while (cur) {
        QNode* next = cur->next;
        free(cur);
        cur = next;
    }
    q->front = q->tail = NULL;
    q->size = 0; // 全部初始化置 0 / NULL
}

3. BTNode.h

用于存放用来放函数的声明和一些库函数的头文件。

#pragma once
#include "Queue.h"

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

4. BTNode.c

用于用来放函数的定义 (二叉树的主体)。

#include "BTNode.h"

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", root->data);
        QueuePop(&Q);
        if (root->left) {
            QueuePush(&Q, root->left);
        }
        if (root->right) {
            QueuePush(&Q, root->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
    if (*root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
    BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
    free(*root);
    *root = NULL;
}

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL)
        return NULL;
    if (root->data == x)
        return root;
    
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1)
        return ret1;
    
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2)
        return ret2;
    
    return NULL;
}

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, root->left);
        QueuePush(&Q, root->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

5. Test.c

用于测试实现的二叉树的运行效果。大家在写的时候也要多多测试哦。

#include "BTNode.h"

int main() {
    char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    // 通过前序遍历的数组构建二叉树
    BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);
    
    // 二叉树节点个数
    int ret1 = BinaryTreeSize(T);
    printf("二叉树节点个数：%d\n", ret1);
    
    // 二叉树叶子节点个数
    int ret2 = BinaryTreeLeafSize(T);
    printf("二叉树叶子节点个数：%d\n", ret2);
    
    // 二叉树高度
    int ret3 = BinaryTreeHight(T);
    printf("二叉树高度：%d\n", ret3);
    
    // 二叉树第 k 层节点个数
    int ret4 = BinaryTreeLevelKSize(T, 3);
    printf("二叉树第 k 层节点个数：%d\n", ret4);
    
    // 二叉树查找值为 x 的节点
    BTNode* ret5 = BinaryTreeFind(T, 'G');
    if (ret5 == NULL) {
        printf("没有找到\n");
    } else {
        printf("存在%c\n", ret5->data);
    }
    
    // 判断二叉树是否是完全二叉树
    int ret6 = BinaryTreeComplete(T);
    if (ret6) {
        printf("是完全二叉树\n");
    } else {
        printf("不是完全二叉树\n");
    }
    
    printf("\n");
    
    // 二叉树前序遍历
    printf("前序：");
    BinaryTreePrevOrder(T);
    printf("\n\n");
    
    // 二叉树中序遍历
    printf("中序：");
    BinaryTreeInOrder(T);
    printf("\n\n");
    
    // 二叉树后序遍历
    printf("后序：");
    BinaryTreePostOrder(T);
    printf("\n\n");
    
    // 层序遍历
    printf("层序：");
    BinaryTreeLevelOrder(T);
    printf("\n\n");
    
    // 二叉树销毁
    BinaryTreeDestory(&T);
    
    return 0;
}

结语

本文涵盖了二叉树的核心概念与 C 语言实战实现。希望这些内容能帮助你更好地掌握这一重要的数据结构。如果在阅读过程中有任何疑问，欢迎交流探讨。