数据结构：二叉树初阶与链式实现

数据结构：二叉树初阶与链式实现

一、树是什么？

1. 树的定义

树是一种非线性数据结构，由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。有一个特殊的结点称为根结点，根结点没有前驱结点。除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。

2. 常见术语

• 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。（例如 A 的度为 6）
• 叶结点或终端结点：度为 0 的结点称为叶结点。（例如 B、H、P 等）
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。（例如 A 为 B 的父结点）
• 子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。（例如 B 为 A 的子结点）
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次。（例如该树高度为 4）

二、二叉树

1. 二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树，其树的度最大为 2。也就是说，一个结点最多有两个分叉。由于普通树的结构复杂，实际应用中最常用的是二叉树。

2. 二叉树的组成

二叉树由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。注意二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

3. 特殊的二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^K - 1，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是完全二叉树。

4. 二叉树的顺序存储

对于完全二叉树，由于其编号连续，可以用数组进行存储，用下标来进行编号。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，而在逻辑上是一颗二叉树。

5. 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根结点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。
3. 对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶结点个数为 n₀，度为 2 的分支结点个数为 n₂，则有 n₀ = n₂ + 1。
4. 若规定根结点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h = log₂(n + 1)。

重要性质： 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号：

• 若父亲在数组中下标为 i，则该父亲的左孩子下标为 2 * i + 1；右孩子下标为 2 * i + 2。
• 若孩子在数组中下标为 i，则该孩子的父亲下标为 (i - 1) / 2。 注意：前提是这些下标所对应的值存在。

三、二叉树的实现

1. 链式存储

前面提到完全二叉树可以用数组存储，而非完全二叉树若强行用数组会浪费大量空间。此时我们使用链式存储。

链式存储即用链表来表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法创建一链表，使每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域。左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。

2. 节点定义

与单链表类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：

1. 节点中存储的数据
2. 指向节点左孩子的指针
3. 指向节点右孩子的指针

为了便于类型修改，我们使用 typedef 重定义数据类型。

// BTNode.h
#pragma once
#include "Queue.h"

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

3. 构建二叉树

这里通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建二叉树。'#' 代表空节点。

// BTNode.c
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

4. 二叉树遍历

前序、中序、后序遍历

这三种遍历主要在于访问根节点的时机不同，均采用递归实现。

• 前序遍历：根 -> 左 -> 右
• 中序遍历：左 -> 根 -> 右
• 后序遍历：左 -> 右 -> 根

// 前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

// 中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

// 后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

层序遍历

层序遍历需要借助队列来实现。思路是每次取出队头结点，将其左右孩子入队，直到队列为空。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* front = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", front->data);
        QueuePop(&Q);
        if (front->left) {
            QueuePush(&Q, front->left);
        }
        if (front->right) {
            QueuePush(&Q, front->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

5. 其他常用操作

节点个数计算

利用递归，根节点为空返回 0，否则返回左子树 + 右子树 + 1。

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

二叉树高度计算

返回左右子树高度较高的一边并 + 1。

int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    int leftH = BinaryTreeHight(root->left);
    int rightH = BinaryTreeHight(root->right);
    return (leftH > rightH ? leftH : rightH) + 1;
}

第 k 层节点个数

初始 k，若该层不是目标层次，就 k - 1 并递归左右子树。到达第 k 层返回 1。

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

查找值为 x 的节点

递归查找，先判断根节点，再找左子树，若未找到再找右子树。

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

判断是否是完全二叉树

利用层序遍历，遇到空节点后，后续不应再有非空节点。

int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* front = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (front == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, front->left);
        QueuePush(&Q, front->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* front = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (front != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

四、完整代码结构

1. 队列实现 (Queue.h / Queue.c)

// Queue.h
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

typedef int QDataType;

typedef struct QListNode {
    QDataType data;
    struct QListNode* next;
}QNode;

typedef struct Queue {
    QNode* front;
    QNode* tail;
    int size;
}Queue;

void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);

// Queue.c
#include "Queue.h"

void QueueInit(Queue* q) {
    assert(q);
    q->front = NULL;
    q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
    assert(q);
    QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
    if (tmp == NULL) {
        perror("malloc");
        return;
    }
    tmp->data = data;
    tmp->next = NULL;
    if (q->size == 0) {
        q->front = tmp;
        q->tail = tmp;
    } else {
        q->tail->next = tmp;
        q->tail = tmp;
    }
    q->size++;
}

void QueuePop(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    if (q->size == 1) {
        free(q->front);
        q->front = NULL;
        q->tail = NULL;
    } else {
        QNode* del = q->front;
        q->front = q->front->next;
        free(del);
    }
    q->size--;
}

QDataType QueueFront(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->front->data;
}

QDataType QueueBack(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->tail->data;
}

int QueueSize(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size;
}

int QueueEmpty(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size == 0;
}

void QueueDestroy(Queue* q) {
    assert(q);
    QNode* cur = q->front;
    while (cur) {
        QNode* next = cur->next;
        free(cur);
        cur = next;
    }
    q->front = q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

2. 测试文件 (Test.c)

#include "BTNode.h"

int main() {
    char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);

    printf("节点个数：%d\n", BinaryTreeSize(T));
    printf("叶子节点个数：%d\n", BinaryTreeLeafSize(T));
    printf("高度：%d\n", BinaryTreeHight(T));
    printf("第 3 层节点个数：%d\n", BinaryTreeLevelKSize(T, 3));

    BTNode* ret = BinaryTreeFind(T, 'G');
    if (ret) {
        printf("找到 G: %c\n", ret->data);
    }

    printf("是否完全二叉树：%s\n", BinaryTreeComplete(T) ? "是" : "否");

    printf("前序：");
    BinaryTreePrevOrder(T);
    printf("\n");
    printf("中序：");
    BinaryTreeInOrder(T);
    printf("\n");
    printf("后序：");
    BinaryTreePostOrder(T);
    printf("\n");
    printf("层序：");
    BinaryTreeLevelOrder(T);
    printf("\n");

    BinaryTreeDestory(&T);
    return 0;
}

---

本文涵盖了二叉树的核心概念与工程实现细节。通过上述代码，你可以直接编译运行并观察不同遍历方式及统计函数的效果。在实际开发中，理解这些底层逻辑有助于更好地设计算法和处理复杂的数据关系。