【数据结构】二叉搜索树 C++ 简单实现：增删查改全攻略
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前言：
今天这篇，我们就从‘0’开始搭一棵 C++ 二叉搜索树：先定义节点结构，再实现最核心的‘插入’和‘查找’，最后攻克最难的‘删除’（包括叶子节点、单孩子节点、双孩子节点三种情况）。全程不跳步、不埋坑，写完后你不仅能运行代码，更能说清‘每一步为什么这么做’。”
1、什么是二叉搜索树？
二叉搜索树又称二叉排序树，如图，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
• 左子树上所有节点的值都小于等于根结点的值；
•右子树上所有节点的值都大于等于根结点的值；
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
注意：二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我 们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值
2、二叉搜索树性能分析
在最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N
所以平均时间的时间复杂度为 O(log n)，最差情况为 O(n)。
说明：虽然二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数 据。
3、key类型二叉搜索树的实现
为什么是key类型二叉搜索树呢？因为我们后面要讲的set/multiset/map/multimap容器的底层数据结构就红黑树（Red-Black Tree）—— 一种 “近似平衡” 的二叉搜索树（BST）。但不同的是，对于set/multiset容器，如下图，集合（Sets）是一种容器，它按照特定顺序存储唯一的元素。
节点结构
template<class K> struct BSTNode { K _key; // 存储数据 BSTNode<K>* _left; // 指向左节点的指针 BSTNode<K>* _right;// 指向右节点的指针 BSTNode(const K& key = 0) //默认构造 :_key(key) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) { } };类结构
template<class K> class BSTree { //typedef BSTNode<K> Node; // typedef对节点对象重命名 using Node = BSTNode<K>; // 使用using重命名 public: // ... private: Node* _root = nullptr; // 成员变量 };说明：下面我们实现过程中默认为值不重复的情形
3.1、插入
思路：
（1）树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
（2）树不空，按二叉搜索树性质，用cur指针遍历二叉搜索树，用一个parent指针记下父亲节点，要插入值key比当前节点大往右走，插入值比当前结点小往左走，直到找到空位置，插入新结点。
（4）确定要插入的节点在父亲节点的左边还是右边，即当_key < parent->_key则将新节点插入到parent的左边，反之则插入到右边。
（5）如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。但是，要确定相同的值要么都往左边走或者都往右边走。
//-------------------------------代码实现------------------------------------------------- bool Insert(const K& key) { Node* node = new Node(key); // 处理空树 if (_root == nullptr) { _root = node; return true; } Node* parent = nullptr; // 记下父亲节点的指针，方便最后连接新节点 Node* cur = _root; // 遍历二叉搜索树 while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } // 确定新节点最后的插入位置 if (key < parent->_key) { parent->_left = node; } else { parent->_right = node; } }3.2、中序遍历
根据二叉搜索树的特性，其中序遍历的结果恰好为一个有序序列（升序）。
为了解决函数调用传参的问题，因为中序遍历的参数_root是成员变量，在类外面调用无法访问成员变量而无法传参，所以，用子函数方式来实现。
// 中序遍历 void MidOrder() { _MidOrder(_root); } // 子函数 void _MidOrder(Node* _root) { if (_root == nullptr) { return; } _MidOrder(_root->_left); cout << _root->_key << " "; _MidOrder(_root->_right); }3.3、查找
思路：
（1）从根开始比较，查找val，val比根的值大则往右边走查找，val比根值小则往左边走查找。
（2）最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在，返回false。
（3）如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。
bool Find(const K& val) { Node* cur = _root; // 遍历查找 while (cur) { if (val < cur->_key) { cur = cur->_left; } else if (val > cur->_key) { cur = cur->_right; } else if (val == cur->_key) { return true; } else { return false; } } }3.4、删除
思路：
（1）要删除节点N的位置有四种情况：
a. 结点N左右孩子均为空 ；b. 结点N左孩子为空，右孩子结点不为空 ；c. 结点N右孩子位空，左孩子结点不为空 ；d. 结点N左右孩子结点均不为空。
（2）对于左右孩子都为空的情况，我们可以将其放在左孩子为空和右孩子为空的情况中处理。即将上面四种情况重新分为：左为空；右为空；左右都不为空三种。
（3）对于左为空，要删除节点N可能为根结点，则让该节点的右节点作为新的根结点；或者是父节点的左节点，则让父节点的_left指针指向节点N的右边；或者父节点的右节点，则让父节点的_right指针指向节点N的左边，右为空类似。
（4）对于左右都不为空，无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除，找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
bool Earse(const K& val) { Node* cur = _root; Node* parent = cur; // 遍历先找到N节点 while (cur) { if (val < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (val > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } // 找到N节点 else { // 左为空 if (cur->_left == nullptr) { // 根结点 if (_root->_key == val) { _root = _root->_right; } else if (cur == parent->_left) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; delete cur; } // 右为空 else if (cur->_right == nullptr) { // 根结点 if (_root->_key == val) { _root = _root->_left; } else if (cur == parent->_right) parent->_right = cur->_left; else parent->_left = cur->_left; delete cur; } // 左右孩子均不为空 else { Node* replaceparent = cur; Node* replace = cur->_right; // 找左子树中最小值的节点R while (replace->_left) { replaceparent = replace; replace = replace->_left; } // 替换节点N与节点R的值 cur->_key = replace->_key; if (replace == replaceparent->_left) { replaceparent->_left = replace->_right; } else { cur->_right = replace->_right; } delete replace; } return true; } } return false; }4、key_value类型二叉搜索树的实现
为什么还有key_value类型二叉搜索树呢？对于map/multimap容器，如下图，映射（Maps）是一种关联容器，它按照特定顺序存储由 “键值（key value）” 和 “映射值（mapped value）” 组合而成的元素。
节点结构
与key类型相比，只是多了个_value。
template<class K, class V> struct BSTNode { K _key; V _value; BSTNode<K, V>* _left; BSTNode<K, V>* _right; BSTNode(const K& key = 0, const V& value = 0) :_key(key) , _value(value) , _left(nullptr) , _right(nullptr) {} };类结构
template<class K, class V> class BSTree { using Node = BSTNode<K, V>; public: // ... private: Node* _root = nullptr; };说明：对于key_value类型我们实现一下其构造，析构等，除了插入操作与key类型有一点不同外，其他操作基本相同，所以我们不再重复解释。
4.1、构造函数
4.1.1 默认构造
// C++11强制生成默认构造 BSTree() = default;4.1.2 拷贝构造
// 拷贝构造（深拷贝） BSTree(const BSTree& tree) { _root = copy(tree._root); } Node* copy(Node* root) { if (root == nullptr) { return nullptr; } // 前序遍历（递归） Node* newroot = new Node(root->_key, root->_value); newroot->_left = copy(root->_left); newroot->_right = copy(root->_right); return newroot; }4.2、赋值重载
// 赋值重载(现代写法) BSTree& operator=(BSTree tree) { swap(_root, tree._root); return *this; }4.3、析构
// 析构函数 ~BSTree() { Destry(_root); _root = nullptr; } void Destry(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } // 后序遍历：防止根结点被释放而找不到左右孩子节点 Destry(root->_left); Destry(root->_right); delete root; }4.4、插入
bool Insert(const K& key, const V& value) { Node* node = new Node(key, value); if (_root == nullptr) { _root = node; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } if (key < parent->_key) { parent->_left = node; } else { parent->_right = node; } return true; }总结
本文主要是简单实现了一下二叉搜索树的最基础的版本，与set/multiset/map/multimap底层的数据结构——平衡二叉搜索树有所不同，并没有过多关注底层实现细节，比如insert，Find返回值等。只是为了能够加深大家对二叉搜索树的理解，方便后面对平衡二叉树的理解。
