【数据结构】时间复杂度和空间复杂度
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数据结构前言
1.什么是数据结构？
数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的 数据元素的集合。
2.什么是算法？
算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
3.数据结构和算法的重要性
现在公司对学生代码能力的要求是越来越高了，大厂笔试中几乎全是算法题而且难度 大，中小长的笔试中才会有算法题。算法不仅笔试中考察，面试中面试官基本都会让现场写代 码。而算法能力短期内无法快速提高了，至少需要持续半年以上算法训练积累，否则真正校招时 笔试会很艰难，因此算法要早早准备。
算法的时间复杂度和空间复杂度
1.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：
longlongFib(int N){if(N <3)return1;returnFib(N-1)+Fib(N-2);}斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
**时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。**在计算
机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.3 复杂度在校招中的考察
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？voidFunc1(int N){int count =0;for(int i =0; i < N ;++ i){for(int j =0; j < N ;++ j){++count;}}for(int k =0; k <2* N ;++ k){++count;}int M =10;while(M--){++count;}printf("%d\n", count);}2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3常见时间复杂度计算举例
实例1：
// 计算Func2的时间复杂度？voidFunc2(int N){int count =0;for(int k =0; k <2* N ;++ k){++count;}int M =10;while(M--){++count;}printf("%d\n", count);}F(N) = 2*N+10->O(N)
实例2:
// 计算Func3的时间复杂度？voidFunc3(int N,int M){int count =0;for(int k =0; k < M;++ k){++count;}for(int k =0; k < N ;++ k){++count;}printf("%d\n", count);}时间复杂度 O(M+N) O(max{M,N})
如果M远大于N->O(M)
如果N远大于M->O(N)
实例3:
// 计算Func4的时间复杂度？voidFunc4(int N){int count =0;for(int k =0; k <100;++ k){++count;}p(rintf("%d\n", count);}//O(1) 代表常数次O(1)不是代表一次 代表常数次
实例4:
// 计算strchr的时间复杂度？constchar*strchr(constchar* str,int character );while(*str){if(*str==character)return str;else++str;}最好O(1) 最坏O(N)
实例5:冒泡排序
/ 计算BubbleSort的时间复杂度？ voidBubbleSort(int* a,int n){assert(a);for(size_t end = n; end >0;--end){int exchange =0;for(size_t i =1; i < end;++i){if(a[i-1]> a[i]){Swap(&a[i-1],&a[i]); exchange =1;}}if(exchange ==0)break;}}N-1+N-2+……+2+1 = N(N-1)/2–>O(N^2)*
实例6:二分查找
// 计算BinarySearch的时间复杂度？intBinarySearch(int* a,int n,int x){assert(a);int begin =0;int end = n-1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while(begin <= end){int mid = begin +((end-begin)>>1);if(a[mid]< x) begin = mid+1;elseif(a[mid]> x) end = mid-1;elsereturn mid;}return-1;}二分查找 O(logN) 默认以2为底
实例7:
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？longlongFac(size_t N){if(0== N)return1;returnFac(N-1)*N;}Fac(N)—>N次
Fac(N-1)–>N-1次
Fac(N-2)–>N-次
……
Fac(1)–>1次
递归时间复杂度:所有递归调用次数累加
等差数列求和 时间复杂度为O(N^2)
实例8:
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？longlongFib(size_t N){if(N <3)return1;returnFib(N-1)+Fib(N-2);}等比数列求和 2^(N-1)-1
时间复杂度为O(2^n)
面试题1：消失的数字
思路一
先排序，再依次查找，如果下一个值不等于前一个+1，下一个值就是消失的数字
冒泡排序 O(N^2)
qsort O(N*logN)
思路二
先求0到N,再依次减去数组中值，剩下的那个值就是消失的数字
intmissinNumber(int* nums,int numsSize){int N=numsSize;int ret-=N(N+1)/2;for(int i=0;i<numsSize;++i){ ret-=sums[i];}}N太大会存在溢出风险
思路三
异或(相同的值==0)
intmissinNumber(int* nums,int numsSize){int N=numsSize;int x=0;for(int i=0;i<numsSize;++i){ x^=nums[i];}for(int j=0;j<=N;++j){ x^=j;}}面试题2：轮转数组
思路一
先看旋转一次
int tmp=nums[numsSize-1];for(int i =numsSize-2;i>=0;i--){ nums[i+1]=nums[i];} nums[0]=tmp;真实的旋转次数 K%=N
时间复杂度:O(K*N)
最好的情况:k%N=0
最坏的情况:K%N=N-1–>O(N^2)
voidrotate(int* nums,int numsSize,int k){ k%=numsSize;while(k--){//旋转一次int tmp=nums[numsSize-1];for(int i =numsSize-2;i>=0;i--){ nums[i+1]=nums[i];} nums[0]=tmp;}}思路二
voidreverse(int*a,int left,int right){while(left<right){int tmp=a[left]; a[left]=a[right]; a[right]=tmp;++left;--right;}}voidrotate(int* nums;int sumsSize;intk){ k%=sumsSize;reverse(nums,0,numsSize-k-1);reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);reverse(nums,0,numsSize-1);}3.空间复杂度
空间复杂度（Space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。它通常用大O表示法来表示，记作S(n)=O(f(n)) ，其中 n是问题的规模， f(n) 是算法所占存储空间的函数。空间复杂度的分析有助于了解算法在执行时所需的内存资源，从而评估算法的效率和可行性。
常见的空间复杂度：O(N^2) O(N) O(1)
实例
//计算阶乘递归Fac的空间复杂度longlongFac(size_t N){if(N==0)return1;returnFac(N-1)*N;}因为每次调用都占用一个空间 所以空间复杂度为O(N)
