【数据结构】跳表
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1.什么是跳表-skiplist
skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A
Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。
skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。
William Pugh开始的优化思路：
1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所
示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由
于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概
只有原来的一半。
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。
如图b中，查找8，从头结点出发，6比8小，向右走，跳跃到6；8比9小，当前节点向下走，从下面指针出发，7比8小，跳转到7；8比9小，向下走，走不了了，链表中不存在8.
如图c中，查找19,比9大，向右走，跳跃到9；比21小，向下走，比17大，向右走，跳跃到17，比17大，向右走，跳跃到17，比21小，向下走，跟19相等，找到了。
3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方
式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似
二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时
候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格
的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也
包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。
4. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了（按时插入删除，我们仍然需要考虑其他节点对应层指针的连接问题）。细节过程入下图：
2.skiplist的效率如何保证？
上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时
的效率呢？
这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限
制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：
在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：
p = 1/4 maxLevel = 32根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析
如下：
节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
节点层数恰好等于1的概率为1-p。
节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
节点层数大于等于3的概率为p^2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
节点层数大于等于4的概率为p^3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。
……
因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：
现在很容易计算出：
当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。
跳表的平均时间复杂度为O(logN)，
这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数据功底，有兴趣的，可以参考以下文章中的讲解：
铁蕾大佬的博客：http://zhangtielei.com/posts/blog-redis-skiplist.html
William_Pugh大佬的论文：ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/skipLists/skiplists.pdf
3.skiplist的实现
3.1节点和成员设计
跳表因为每个节点是层数是随机的，所以我们使用vector容器存储对应指针。
对于一开始的同节点，我们这里设计成一层高，减少后续不必要遍历消耗。
struct SkiplistNode { int _val; vector<SkiplistNode*> _nextV; SkiplistNode(int val, int level) :_val(val) , _nextV(level, nullptr) { } };class Skiplist { typedef SkiplistNode Node; public: Skiplist() { //为了后续层数随机，这里提供种子 srand(time(0)); // 头节点，层数是1 _head = new SkiplistNode(-1, 1); } private: Node* _head; // 头节点 size_t _maxLevel = 32;//层数的最大高度 double _p = 0.25;/多增加一层的概率p };3.2查找实现
依照跳表的设计，当我们查找一个数时，如果当前层的指针指向的数比要查找的数大，那我们就需要向下走，因为链表是有序的，比较小的数一定在前面，而且层高一定没有当前层指向节点高（如果搞就指向这个更小的数了。）所以我们要找比当前层指向节点小的数，需要向下层走。
反之，如果比当前层指向节点值比要查找的数小，说明要查找的数在后面，我们直接沿当前层指针往后跳转。
bool search(int target) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; while (level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大，向右走 // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走 if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target) { // 向右走 cur = cur->_nextV[level]; } else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]-> _val > target) { // 向下走 --level; } else { return true; } } return false; }3.3前置节点查找
因为跳表中节点的层高没有严格的比例关系，因此一个节点可能由于层高较高，与前后多个节点有关系，如上图中6有4层，0层上，3指向它，6指向7；1层上头结点指向6,6指向9；2层上，头结点指向6,6指向25；3层上头结点指向6,6指向nullptr。
因此当我们删除或者增加一个节点，我们就需要建立它每一层上指针与其他节点间关系，同时也需要修改其他其他节点。
这就意味着当前要插入/删除节点，就需要从整个跳表中找到每一层指针对应的上一个节点，更新指针指向。
解决的思想是利用查找节点过程，因为当一层指针指向空或者比要查找的值大的值时，我们向下走，这同时也意味着此时这层节点就是当前要插入节点的当前层的上一层节点，同时这届指针指向的下层节点也就是插入节点指针要指向的下一个节点。我们通过查找节点不断向下走的过程，就能找到插入节点每一层的上一个节点和要指向的下一层节点。
需要注意的是当查找节点比当前节点大，直接跳转的过程，我们不能更新上一层节点的记录，因为这是只是同层节点间的跳转，我们不能确定插入节点当前层的上一个节点。
vector<Node*> FindPrevNode(int num) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; // 插入位置每一层前一个节点指针 vector<Node*> prevV(level + 1, _head); while (level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大，向右走 // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走 if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num) { // 向右走 cur = cur->_nextV[level]; } else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num) { // 更新level层前一个 prevV[level] = cur; // 向下走 --level; } } return prevV; }3.4插入实现
当我们能找到插入节点的每一层对应上一个节点，我们插入节点只需要更新对应的指向，上一个指针指向它，插入节点指向下一个节点。
这里需要注意的是，插入节点的层数我们封装一个函数来给在最大范围内的随机值，跳表的头结点需要确保是跳表中最高的节点，这样才不会出现无法跳转更高层的问题，所以如果当前的随机值如果比头节点高，我们就需要更新下头结点高度。
void add(int num) { vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); int n = RandomLevel();//随机层数 Node* newnode = new Node(num, n); // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数 if (n > _head->_nextV.size()) { _head->_nextV.resize(n, nullptr); prevV.resize(n, _head); } // 链接前后节点 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i]; prevV[i]->_nextV[i] = newnode; } // Print(); }3.5删除实现
删除节点后，我们需要根据找到的每一层的上一个节点，更新一下对应指针将删除节点上一个节点和指向下一个节点相连。
这里加入删除的节点是最高点，我们更新一下头结点的高度，避免每次从很高的位置向下遍历（不过就几层，相对来说影响不大）。
bool erase(int num) { vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); // 第一层下一个不是val，val不在表中 if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num) { return false; } else { Node* del = prevV[0]->_nextV[0]; // del节点每一层的前后指针链接起来 for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++) { prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i]; } delete del; // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下 int i = _head->_nextV.size() - 1; while (i >= 0) { if (_head->_nextV[i] == nullptr) --i; else break; } _head->_nextV.resize(i + 1); return true; } }3.6随机层数
//产生随机层数 int RandomLevel() { size_t level = 1;//每一个节点最少一层。 // 因为rand() ->[0, RAND_MAX]之间，所以RAND_MAX * _p的数出现概率就是p // 可以视作rand()/RAND_MAX <= p while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel) { ++level; } return level; } //C++中的随机函数库，使用比较麻烦 /*int RandomLevel() { static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count()); static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0); size_t level = 1; while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel) { ++level; } return level; }*/3.7完整代码
struct SkiplistNode { int _val; vector<SkiplistNode*> _nextV; SkiplistNode(int val, int level) :_val(val) , _nextV(level, nullptr) { } }; class Skiplist { typedef SkiplistNode Node; public: Skiplist() { srand(time(0)); // 头节点，层数是1 _head = new SkiplistNode(-1, 1); } bool search(int target) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; while (level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大，向右走 // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走 if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target) { // 向右走 cur = cur->_nextV[level]; } else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level] - > _val > target) { // 向下走 --level; } else { return true; } } return false; } vector<Node*> FindPrevNode(int num) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; // 插入位置每一层前一个节点指针 vector<Node*> prevV(level + 1, _head); while (level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大，向右走 // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走 if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num) { // 向右走 cur = cur->_nextV[level]; } else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num) { // 更新level层前一个 prevV[level] = cur; // 向下走 --level; } } return prevV; } void add(int num) { vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); int n = RandomLevel(); Node* newnode = new Node(num, n); // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数 if (n > _head->_nextV.size()) { _head->_nextV.resize(n, nullptr); prevV.resize(n, _head); } // 链接前后节点 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i]; prevV[i]->_nextV[i] = newnode; } // Print(); } bool erase(int num) { vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); // 第一层下一个不是val，val不在表中 if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num) { return false; } else { Node* del = prevV[0]->_nextV[0]; // del节点每一层的前后指针链接起来 for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++) { prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i]; } delete del; // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下 int i = _head->_nextV.size() - 1; while (i >= 0) { if (_head->_nextV[i] == nullptr) --i; else break; } _head->_nextV.resize(i + 1); return true; } } int RandomLevel() { size_t level = 1; // rand() ->[0, RAND_MAX]之间 while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel) { ++level; } return level; } /*int RandomLevel() { static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count()); static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0); size_t level = 1; while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel) { ++level; } return level; }*/ private: Node* _head; // 头节点 size_t _maxLevel = 32; double _p = 0.25; };4.skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比
1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差
不多。skiplist的优势是：a、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。
b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。
skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包
含的平均指针数目为1.33；
2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言a、哈希表平均时间复杂度是
O(1)，比skiplist快。b、哈希表空间消耗略多一点。skiplist优势如下：a、遍历数据有序
b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。c、哈希表扩容有性能损
耗。d、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。
