【数据结构】一文读懂二叉树与堆：从结构到实现，解锁高效算法基石

Ne0inhk

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【数据结构】一文读懂二叉树与堆：从结构到实现，解锁高效算法基石
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二叉树

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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1.2 树的相关概念

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结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点（亲兄弟）B、F不是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

空树高度为0，只有根节点高度为一

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1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedefint DataType;structTreeNode{structTreeNode* leftChild;// 第一个孩子结点---左孩子structTreeNode* rightBrother;// 指向其下一个兄弟结点-----右兄弟 DataType data;// 结点中的数据域};
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无论一个父亲节点有多少孩子，child指向左边第一个节点

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

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2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
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从上图可以看出：

1.二叉树不存在度大于2的结点

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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2.2 特殊的二叉树：

  1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
    说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
    的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
    应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
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2.3二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
  2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n , 度为2的分支结点个数为m ,则有 n＝m＋1
  4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log(n+1) 底数默认为2
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对
    于序号为i的结点有：

1.若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

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2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

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3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

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大堆跟小堆都是完全二叉树

大堆：所有的父亲>=儿子 根节点最大

小堆：所有的父亲<=儿子 根节点最小

3.3堆的实现

同样使用多文件操作，Heap.h用来放函数的声明，Heap.c放函数的实现，test.c用来测试

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1.定义一个堆
typedefint HPDataType;typedefstructHeap{ HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;
2.初始化
voidHPInit(HP* php){assert(php); php->a =NULL; php->capacity = php->size =0;}
3.销毁
voidHPDestroy(HP* php){assert(php);free(php->a); php->a =NULL; php->capacity = php->size =0;}
4.向上调整
voidAdjustUp(HPDataType* a,int child){int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(a[child]<a[parent]){Swap(&a[child],&a[parent]); child = parent; parent =(child -1)/2;//去找原来父亲的父亲}else{break;}}}
5.堆的插入

插入数据时，把数据插在最后一个再向上调整

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voidHPPush(HP* php, HPDataType x){assert(php);if(php->size == php->capacity){//扩容int newcapacity = php->capacity ==0?4: php->capacity *2; HPDataType* tmp =(HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity *sizeof(HPDataType));if(tmp ==NULL){perror("realloc fail");return;} php->a = tmp; php->capacity = newcapacity;} php->a[php->size]= x; php->size++;AdjustUp(php->a, php->size -1);//数组下标从0开始}
6.向下调整
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voidAdjustDown(HPDataType* a,int n,int parent){//假设法 先假设左孩子小int child = parent *2+1;while(child < n)//child>=n 说明孩子不存在 调整到叶子了 n是数组大小{//找出小的孩子if(child +1< n && a[child +1]< a[child])//当左孩子取n-1时 右孩子a[n]越界访问 所有要再加一个判断条件{ child++;//child+1变成右孩子}if(a[child]< a[parent]){Swap(&a[child],&a[parent]); parent = child; child = parent *2+1;}else{break;}}}
7.删除堆顶数据

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法

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voidHPPop(HP* php){assert(php);assert(php->size >0);Swap(&php->a[0],&php->a[php->size -1]); php->size--;AdjustDown(php->a, php->size,0);}
8.判空
bool HPEmpty(HP* php){assert(php);return php->size ==0;}
9.返回堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php)//返回堆顶元素{assert(php);assert(php->size >0);return php->a[0];}
10.按顺序打印

给一个数组让他按顺序打印

#include"Heap.h"voidTest01(){int a[]={2,4,5,7,3,2,1,5}; HP hp;HPInit(&hp);for(size_t i =0; i <sizeof(a)/sizeof(int); i++){HPPush(&hp, a[i]);//push就是建堆 把a[i]依次放入php->a}while(!HPEmpty(&hp)){printf("%d",HPTop(&hp));HPPop(&hp);}}intmain(){Test01();return0;}
11.程序源码

Heap.h

#pragmaonce#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<assert.h>#include<stdbool.h>typedefint HPDataType;typedefstructHeap{ HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;voidHPInit(HP* php);voidHPDestroy(HP* php);voidHPPush(HP* php, HPDataType x);voidHPPop(HP* php);//删除堆顶的数据voidAdjustUp(HPDataType* a,int x);voidAdjustDown(HPDataType* a,int n,int parent); HPDataType HPTop(HP* php); bool HPEmpty(HP* php);

Heap.c

#define_CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include"Heap.h"voidSwap(HPDataType* p1, HPDataType* p2){ HPDataType tmp =*p1;*p1 =*p2;*p2 = tmp;}voidHPInit(HP* php){assert(php); php->a =NULL; php->capacity = php->size =0;}voidHPDestroy(HP* php){assert(php);free(php->a); php->a =NULL; php->capacity = php->size =0;}voidHPPush(HP* php, HPDataType x){assert(php);if(php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity ==0?4: php->capacity *2; HPDataType* tmp =(HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity *sizeof(HPDataType));if(tmp ==NULL){perror("realloc fail");return;} php->a = tmp; php->capacity = newcapacity;} php->a[php->size]= x; php->size++;AdjustUp(php->a, php->size -1);//数组下标从0开始}//向上调整voidAdjustUp(HPDataType* a,int child){int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(a[child]<a[parent]){Swap(&a[child],&a[parent]); child = parent; parent =(child -1)/2;//去找原来父亲的父亲}else{break;}}}voidHPPop(HP* php){assert(php);assert(php->size >0);Swap(&php->a[0],&php->a[php->size -1]); php->size--;AdjustDown(php->a, php->size,0);}voidAdjustDown(HPDataType* a,int n,int parent){//假设法 先假设左孩子小int child = parent *2+1;while(child < n)//child>=n 说明孩子不存在 调整到叶子了 n是数组大小{//找出小的孩子if(child +1< n && a[child +1]< a[child])//当左孩子取n-1时 右孩子a[n]越界访问 所有要再加一个判断条件{ child++;//child+1变成右孩子}if(a[child]< a[parent]){Swap(&a[child],&a[parent]); parent = child; child = parent *2+1;}else{break;}}} HPDataType HPTop(HP* php)//返回堆顶元素{assert(php);assert(php->size >0);return php->a[0];} bool HPEmpty(HP* php){assert(php);return php->size ==0;}

test.c

#define_CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include"Heap.h"voidTest01(){int a[]={2,4,5,7,3,2,1,5}; HP hp;HPInit(&hp);for(size_t i =0; i <sizeof(a)/sizeof(int); i++){HPPush(&hp, a[i]);//push就是建堆 把a[i]依次放入php->a}/*while (!HPEmpty(&hp)) { printf("%d", HPTop(&hp)); HPPop(&hp); }*/int k =0;scanf("%d",&k);while(k--){printf("%d ",HPTop(&hp));HPPop(&hp);}}intmain(){Test01();return0;}

3.4 堆的应用

1.TOP-k问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
    将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
voidPrintTopK(int* a,int n,int k){// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换}voidTestTopk(){int n =10000;int* a =(int*)malloc(sizeof(int)*n);srand(time(0));for(size_t i =0; i < n;++i){ a[i]=rand()%1000000;} a[5]=1000000+1; a[1231]=1000000+2; a[531]=1000000+3; a[5121]=1000000+4; a[115]=1000000+5; a[2335]=1000000+6; a[9999]=1000000+7; a[76]=1000000+8; a[423]=1000000+9; a[3144]=1000000+10;PrintTopK(a, n,10);}
2.堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆
    升序：建大堆
    降序：建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序
    建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
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