算法实战：一维与二维前缀和模板详解

二维前缀和

核心思路

一维的问题解决后，扩展到二维矩阵同样适用。我们需要构建一个二维前缀和数组 sum[i][j]，表示从 (0, 0) 到 (i, j) 这个矩形区域内所有元素的累加和。

为了简化边界判断，通常在原矩阵外围补上一行和一列 0。这样在计算 sum[i][j] 时，可以直接引用 i-1 和 j-1 位置的值而不越界。

推导递推公式时，可以将当前矩形分解为几个已知部分：

• sum[i-1][j]：上方矩形
• sum[i][j-1]：左方矩形
• sum[i-1][j-1]：重叠部分（被加了两次，需减去）
• matrix[i-1][j-1]：当前点本身的值

综合起来，递推方程为：

sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1];

查询子矩阵和时，假设目标区域左上角为 (x1, y1)，右下角为 (x2, y2)。利用容斥原理：

result = sum[x2][y2] - sum[x1-1][y2] - sum[x2][y1-1] + sum[x1-1][y1-1];

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n = 0, m = 0, q = 0;
    cin >> n >> m >> q;

    // 输入数据，下标从 1 开始
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    // 预处理二维前缀和
    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
        }
    }

    // 处理查询
    int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
    while (q--) {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << '\n';
    }
    return 0;
}