【算法】【动态规划】斐波那契数模型
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一、动态规划解题模版
- 状态表示：我们一般创建一个一维数组dp，把dp表填满，其中的某一个值就是结果。而状态表示就是指这个dp表中元素的含义；
1.1. 来源：题目要求，经验+题目要求 ，分析问题的过程中的重复子问题 - 状态转移方程：dp[ i ] = ?
- 初始化：保证根据状态转移方程填表时不越界
- 填表顺序：为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了
- 返回值：题目要求 + 状态表示
二、第N个泰波那契数
题目链接：第N个泰波那契数
题目描述：
- 第四个数是钱三个数的和，第一二三个数定下位0 1 1，返回第n个数
题目解析：
解题思路：
- 状态表示：dp[ i ] 表示的 i 个泰波那锲数
- 状态转移方程：dp[ i ] = dp[ i - 1] + dp[ i - 2] + dp[ i - 3]
- 初始化：dp[ 0 ] = 0, dp[ 1 ]= 1, dp[ 2 ] = 1
- 填表顺序：顺序从左向右填表即可
- 返回值： dp[ n ]
解题代码：
//时间复杂度：O(N)//空间复杂度：O(N)classSolution{publicinttribonacci(int n){if(n <3)return n ==0?0:1;//创建dp表int[] dp =newint[n +1];//初始化 dp[0]=0; dp[1]= dp[2]=1;//填表for(int i =3; i <= n; i++){ dp[i]= dp[i-1]+ dp[i-2]+ dp[i-3];}//返回值return dp[n];}}空间优化：只创建长度为三的数组即可：
//时间复杂度：O(N)//空间复杂度：O(1)classSolution{publicinttribonacci(int n){if(n <3)return n ==0?0:1;//创建dp表int[] dp =newint[]{0,1,1};//填表for(int i =3; i <= n; i++){int tmp = dp[0]; dp[0]= dp[1]; dp[1]= dp[2]; dp[2]= tmp + dp[0]+ dp[1];}//返回值return dp[2];}}三、⾯试题 08.01. 三步问题
题目链接：⾯试题 08.01. 三步问题](https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/description/)
题目描述：
题目解析：
- 每一次上楼梯有三个选择： 1 2 3 ，返回走 到第n阶梯 步有多少种走法
解题思路:
- 状态表示：dp[ i ] 表示第 i 阶的上楼方式种类数
- 状态转移方程：dp[ i ] = dp[ i - 1] + dp[ i - 2] + dp[ i - 3]
- 初始化：dp[ 0 ] = 1, dp[ 1 ]= 1, dp[ 2 ] = 2 （小孩有3种走法，那么小孩的上一个台阶的可能就是 i-1， i-2， i-3 ）
- 填表顺序：顺序从左向右填表即可
- 返回值： dp[ n ]
解题代码：
//时间复杂度：O(N)//空间复杂度：O(N)classSolution{publicintwaysToStep(int n){if(n <3)return n;//建立dp表int[] dp =newint[n+1];//初始化 dp[0]= dp[1]=1; dp[2]=2;//填表for(int i =3; i <= n; i++){ dp[i]=((dp[i-1]+ dp[i-2])%1000000007+ dp[i-3])%1000000007;}//返回值return dp[n];}}四、746. 使⽤最⼩花费爬楼梯（easy）
题目链接：746. 使⽤最⼩花费爬楼梯（easy）
题目描述：
题目解析：
- 给我们一个cost数组，表示走出这一个台阶需要的花费，
- 可以选择第一步从cost[ 0 ] 还是 cost [ 1 ]开始。
- 让我们返回到达楼顶的最小总花费。
解题思路:
- 状态表示：dp[ i ] 表示走到第 i 阶的最小花费
- 状态转移方程：dp[ i ] = dp[i-1]+cost[i-1] 和 dp[i-2]+cost[i-2] 的较小值
- 初始化：表的长度要比cost大1，表示楼顶
- 填表顺序：顺序从左向右填表即可
- 返回值： dp[ n ]
解题代码：
//时间复杂度：O(N)//空间复杂度：O(N)classSolution{publicintminCostClimbingStairs(int[] cost){int n = cost.length;if(n ==2)returnMath.min(cost[0],cost[1]);//状态转移表int[] dp =newint[n+1];//状态转移方程for(int i =2; i <= n; i++){ dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[n];}}五、91.解码⽅法
题目链接：91.解码⽅法
题目描述：
题目解析：
- 给我们一个编码规则，数字1 - 26 对应表示字母A - Z
- 给我们一个纯数字的字符串，让我们将字符串进行拆分，拆分后的字符串，对应的所有子串都可以对应表示成字母
- 求可以拆分的种数
解题思路:
- 状态表示：dp[ i ] 表示字符串中 0 到 i 字符的合法拆分结果
- 状态转移方程：
2.1. i 位置上字符为 1 到 9 的字符 单独解码成功 dp[ i ] += dp[ i - 1]
2.2. i 与 i-1位置上的字符组合是 10 到 26 的合法编码 dp[ i ] += dp[ i-2 ] - 初始化：
3.1. dp[ 0 ] ：第一个字符不为0，就dp[ 0] = 1，为0就返回0
3.2. dp[ 1 ]：该字符不为0，dp[ 1 ] += dp[ 0 ]，与第0个字符组成合法编码10 - 26 ，dp[ 1 ] += 1;
填表顺序：从左到右
返回值：dp[ n-1 ]
解题代码：
classSolution{publicintnumDecodings(String s){//前导0if(s.charAt(0)=='0')return0;int n = s.length();char[] ch = s.toCharArray();//只有一个字符if(n ==1)return1;int[] dp =newint[n];//初始化 dp[0]=1;//初始化第二个元素if(ch[1]!='0'&& ch[0]!='0') dp[1]+=1;int t =(ch[1]-'0')+(ch[0]-'0')*10;if(t >=10&& t <=26) dp[1]+=1;//填表for(int i =2; i < n; i++){//该字符单独组if(ch[i]!='0') dp[i]+= dp[i-1];//与前一个字符组 t =(ch[i]-'0')+(ch[i-1]-'0')*10;if(t >=10&& t <=26) dp[i]+= dp[i-2];}return dp[n-1];}}
