二分查找经典例题实战解析

核心原理与模板

二分查找不仅仅是针对有序数组，其本质是利用数据的二段性。只要存在一个分界点能将数据分为满足条件和不满足条件两部分，就可以使用二分。

关键细节

1. 循环终止条件 通常使用 left <= right。当 left == right 时仍需比较一次，确认该位置是否为目标值。若使用 left < right，则需根据具体场景调整边界更新逻辑。

2. 中点计算防溢出 (left + right) / 2 在大多数情况下安全，但当两数之和超过整型最大值时会溢出。推荐写法：

   int mid = left + (right - left) / 2;
   

   这利用了起始值加偏移量的思路，既避免了溢出又保证了结果正确。

3. 奇偶数处理 当区间长度为偶数时，中间有两个数。不加 1 取左中点，加 1 取右中点。选择哪种取决于更新逻辑（mid+1 还是 mid），目的是避免死循环。

经典例题实战

1. 基础查找 (LeetCode 704)

这是最朴素的二分模板。适用于严格单调递增序列。

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else if (nums[mid] > target) right = mid - 1;
            else return mid;
        }
        return -1;
    }
};

2. 查找元素的第一个和最后一个位置 (LeetCode 34)

此题需要分别查找左边界和右边界。由于目标值可能重复，找到相等值不能立即返回，需继续收缩区间。

查找左端点

• 当 nums[mid] < target 时，左端点在右侧，left = mid + 1。
• 当 nums[mid] >= target 时，左端点可能在 mid 处，right = mid。
• 循环条件用 left < right，避免死循环。

查找右端点

• 当 nums[mid] <= target 时，右端点可能在 mid 处，left = mid。
• 当 nums[mid] > target 时，right = mid - 1。
• 注意此时求中点需加 1：mid = left + (right - left + 1) / 2，防止 left=mid 导致死循环。

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if (nums.empty()) return {-1, -1};
        
        // 查找左端点
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        
        // 检查是否存在
        if (nums[left] != target) return {-1, -1};
        
        // 查找右端点
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while (l < r) {
            int m = l + (r - l + 1) / 2;
            if (nums[m] <= target) l = m;
            else r = m - 1;
        }
        
        return {left, r};
    }
};

3. x 的平方根 (LeetCode 69)

虽然题目未直接给出数组，但函数 $f(x) = x^2$ 具有单调性，可视为隐式数组。

需注意乘法溢出问题，建议使用 long long 类型存储中间结果。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x < 1) return 0;
        int left = 1, right = x;
        while (left < right) {
            long long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (mid * mid <= x) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return left;
    }
};

4. 搜索插入位置 (LeetCode 35)

寻找第一个大于等于目标值的位置。若所有元素都小于目标值，则返回末尾索引 +1。

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        if (target > nums[right]) return right + 1;
        return left;
    }
};

5. 山脉数组的峰顶索引 (LeetCode 852)

数组先增后减，虽非全局有序，但相对于峰值具有二段性。通过比较 mid 与相邻元素判断坡度方向。

这里采用 mid 与 mid-1 比较的策略：

• 若 arr[mid] > arr[mid-1]，说明处于上升段，峰值在右侧（含 mid），left = mid。
• 否则处于下降段，right = mid - 1。

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left = 1, right = arr.size() - 2;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return left;
    }
};

6. 寻找旋转排序数组中的最小值 (LeetCode 153)

旋转数组由两段递增序列组成。以最后一个元素为基准进行划分：

• 若 nums[mid] > nums[n]，说明 mid 在第一段递增区，最小值在右侧，left = mid + 1。
• 若 nums[mid] <= nums[n]，说明 mid 在第二段，最小值在左侧（含 mid），right = mid。

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size() - 1;
        int left = 0, right = n;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] > nums[n]) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return nums[right];
    }
};

7. 点名问题 (LeetCode 173)

有序数组中缺失一个数字，利用索引与值的对应关系划分区间：

• 若 records[mid] == mid，说明前半部分连续，缺失值在后半部分，left = mid + 1。
• 否则缺失值在前半部分，right = mid。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) {
        int left = 0, right = records.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (records[mid] == mid) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        if (records[right] == right) return right + 1;
        return right;
    }
};

以上七类题型涵盖了二分查找的主要变体。掌握二段性的识别与边界条件的微调，是解决此类问题的关键。