递归算法实战：汉诺塔与合并两个有序链表详解

递归算法实战：汉诺塔与合并两个有序链表详解

前言

很多人初学算法时，对递归、搜索与回溯感到既不解又迷茫。看到函数调用自己，往往会产生一种无力感和恐惧感，不清楚代码到底是如何执行的。这非常正常，但理解递归的关键在于转变视角。

本文旨在通过两道经典题目，帮助大家消除对递归的恐惧，建立清晰的解题思路。

递归的核心思维：宏观视角

看待递归最重要的点，是清楚这个函数的功能（作用）到底是什么。

递归的本质是自己调用自己。就像我们之前写代码，调用一个加法函数是为了利用它的功能。同理，在归并排序中，mergesort 的功能就是'让一个无序数组变成有序'。

当我们实现归并时，将数组分成左右两部分，为了让它们分别有序，我们直接调用 mergesort 即可。不要去下意识在意函数调用自己的递归细节展开图，我们要抱着相信的态度去看待递归。虽然我们还没完全实现完函数，但我们调用它本身就是相信它能帮我们实现功能。

例如调用 mergesort(nums, left, mid) 后，心里就要有底：此时左边数组已经完成了排序。至于具体怎么操作的，不要纠结。两边都排好序后，再合并即可。

最后只需注意一点：保证递归有结束条件，通常在函数开头设置终止判断。

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1. 汉诺塔

题目描述

有三根柱子 A、B、C，A 柱上有 n 个大小不同的盘子，从小到大叠放。要求将所有盘子从 A 移动到 C，移动过程中大盘子不能压在小盘子上面。

算法思路

这是一道递归方法的经典题目，我们可以从最简单的情况考虑：

• n=1：只有一个盘子，直接从 A 移到 C。
• n=2：借助 B 柱。1 号（小）移到 B，2 号（大）移到 C，1 号再从 B 移到 C。
• n>2：策略同上。将 A 上面的 n-1 个盘子挪到 B 上，再将最大的盘子挪到 C 上，最后将 B 上的 n-1 个小盘子挪到 C 上。

核心逻辑拆解：

1. 对于规模为 n 的问题，目标是将 A 柱上的 n 个盘子移动到 C 柱。
2. 规模 n 可被拆分为规模 n-1 的子问题：
   • 将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到 B 柱（借助 C）。
   • 将 A 柱上的最大盘子移动到 C 柱。
   • 将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到 C 柱（借助 A）。
3. 当规模变为 n=1 时，直接移动。

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
        dfs(A, B, C, A.size());
    }

    void dfs(vector<int>& x, vector<int>& y, vector<>& z,  n) {
        
         (n == ) {
            z.(x.());
            x.();
            ;
        }
        
        
        (x, z, y, n - );
        
        
        z.(x.());
        x.();
        
        
        (y, x, z, n - );
    }
};